CEPH-ekvationen — Universums Historia

CEPH-EKVATIONEN — UNIVERSUMS HISTORIA | a production 2008XI26 | Efter sammanställningar från 1982 | Senast uppdaterade version: 2022-12-09 · Universums Historia

innehåll denna sida · webbSÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i SAKREGISTER · förteckning över alla webbsidor

CEPH-ekvationen | i sammanst. frn P2001_1.wps 2001IX25 baserat på tidigare sammanställningar från 1982-84 | 2008XI26 sammanställning för Universums Historia

CEPH-ekvationen sammanfattar matematikens fyra grundkurvor cirkel, ellips, parabel och hyperbel i en och samma form tillsammans med ett karaktäristiskt excentricitetstal som skiljer individerna åt. Sambandet är speciellt användbart i sammanhang som berör de olika s.k. celesta rörelsebanorna, alltså typ planetbanor. Men CEPH-ekvationen kan också med fördel användas i den elementära utvärderingen av t.ex. olika resultat inom integralkalkylen (CEPH-ekvationen kan relativt enkelt användas direkt för att få fram uttrycken för motsvarande ellipsoidiska, paraboloidiska och hyperboloidiska formegenskaper — men den allmänna litteraturen tycks vara sparsam i deras omnämnande). Speciellt i Universums Historia har CEPH-ekvationen använts i utvecklingen av sambanden för beräkning av atomvikterna, se från ATOMVIKTERNAS ELLIPSEKVATIONER.

CEPH-ekvationen finns (här veterligt December 2008) inte omnämnd i den etablerade litteraturen. Här följer en generalgenomgång.

Alla fyra kurvformerna CRL·EPS·PRB·HRB kan sammanfattas i samma matematisk uttryck

x = (2d[1+e]y – y²[1–e²])^1/2 .............................. CEPH-EKVATIONEN

Sambandet ansluter speciellt till himlakropparna och de möjliga omloppsbanorna kring en centralmassa via avståndet (d).

Termen e anger ett karaktäristiskt excentricitetstal för de olika kurvtyperna:

e=–1 ......................... fritt fall, rät linje utmed d

–1>e<0 ..................... ellipser, apofokus

e= 0 ......................... cirkeln

0<e<1 ..................... ellipser, perifokus

e= 1 ......................... parabeln

e > 1 ......................... hyperblerna

Ellips Cirkel Ellips Parabel Hyperbel

CEPH-EKVATIONEN

SATELLITERNAS ELEMENTÄRA OMLOPPSBANOR

CEPH-ekvationen sammanfattar alla de fyra s.k. klassiska kägelsnitten även kallade de koniska sektionerna cirkel, ellips, parabel och hyperbel i ett enda sammanhängande matematiskt beräkningsbart uttryck, sambandet ovan/nedan med variabeln i y och funktionsresultatet i x.

x = (2d[1+e]y – y²[1–e²])^1/2................. CEPH-EKVATIONEN

e = –1 ...................... fritt fall

0 > e >–1 ................ ellipser

e = ±0 ..................... cirkel

1 > e > 0 .................. ellipser

e = + 1 .................... parabel

e > 1 ........................ hyperbler

CEPH-ekvationens sammanfattande form (typ ovan) har eftersöks på webben @INTERNET men ännu (-November 2008) inte hittats. Flera webbkällor finns som beskriver Kägelsnitten eller De Koniska Sektionerna — med tillhörande vidlyftiga matematiska utläggningar. Dock finns (här veterligt ännu) ingen som sammanfattar alla fyra i någon (uppenbart) enkel direkt praktiskt beräkningsbar form typ CEPH-ekvationen.

CEPH-ekvationen är — som det har visat sig — trots allt elementär i både matematiken och fysiken och borde därmed finnas väl representerad (men gör tydligen inte det); Då den framkommit i min egen historia i samband med studiet av gravitationsfysiken, ges i följande presentation den sammanhängande härledande berättelsen (ur mitt eget arkiv) som beskriver i varje fall ett sätt på vilket CEPH-ekvationen tar form. Som särskilt praktiskt exempel på hur CEPH-ekvationen framstår i Universums Historia, se Härledningen till Atomära massdefekterna genom Elliptiska Ekvationer enligt TNED.

CEPH-ekvationen har före denna framställning (2008XII5) omnämnts i följande htm-filer med ställen i Universums Historia enligt

ATOMTRIANGELN.htm .................... Intervallets oförstörbarhet II

ElektriskaLaddningen.htm .................. Ljusvägarna i gravitationsfältet

ExpBekr.htm .................................... SOLRANDSOBSERVATIONERNA FRÅN 1919

Fysiens7Principer.htm ....................... Upptäckten av mönstergeometrin för kärnsyntesen, ellipsfunktionen, CEPH-ekvationen

index.htm ........................................ mekanikens indelning (pågående skisser)

UniversumsHistoriaInledning.htm ........ återstående avsnitt, samma som ovan i Fysiken7, nu överflyttat dit 2008XII5

CEPHEKVATIONENS HÄRLEDNING OCH PRESENTATION

Ytmomentets beteckning K, se Keplers ytmoment, har getts historisk referens med association till Johannes Kepler (1571-1630). Han introducerade begreppet genom sina berömda observationer av Solsystemets planeter. Hans upptäckter har namngetts som de så kallade Keplers tre lagar för planeternas rörelse (Keplers tre rörelselagar, eller bara Keplers tre lagar). Den andra av dessa är den som (här) kallas ytmomentet (K=rv=v_nd).

Eftersom de två fysikens centrala aspekter, gravitationen och elektriciteten, uppför sig som fenomen under inverkan av en centralkraft, intar betydelsefullheten hos K och dess tillämpbarhet en enorm omfattning.

Tillämpning i PREFIXxSIN

ELLIPSENS ANSLUTNING TILL KEPLERMOMENTET

Ellipsen kan ritas och relateras som visas i ovanstående illustration.

r ................................ lillaxeln

R ............................... storaxeln

Af .............................. Apofokus, den längst bort, förenklad beteckning A

Pf ............................... Perifokus, den närmast, förenklad beteckning P

E ................................ stora excentricitetstalet, r/R

E° .............................. ellipsvinkeln

Cf ............................. centrum till fokus

e ................................ lilla excentricitetstalet, Cf/R

Planeternas omloppsperiod

Av särskilt intresse för Keplers ytmoment är den celesta mekaniken (himlakropparnas rörelser).

Figuren nedan visar en elliptisk omloppsbana. m är omloppskroppen kopplad till den centrala fixpunkten P där m ändra riktning beroende på inverkan från P utmed den lokala s.k. ortsvektorn d, dvs., den linje utefter vilken kraften på m verkar.

ytmomentet i ellipsen

Ytmomentet i Ellipsen — PREFIXxSIN — för ytmomentet enbart, se utförligt i Ytmomentet
K=v_nd ; v_n/v=cosA ; K=vd·cosA ; A=Ellipsvinkeln, d=r ; K=vr·cosA=vr·(a/r)=va
K=2(EPS_AR)/T, EPS_AR= 2pr²E/T, [E=cosA=a/r] ; K= 2par/T, = va ; 2pr/T= v

När m intar positionen som i figuren, är vinkeln A lika med ellipsvinkeln där d=r. Som

cosA=E=a/r=v_n/v=a/d finner vi direkt från de bägge sista delarna att

v_nd = va = K = 2A/T

Den totala ellipsytan är EPS_AR= pr²E = pr²a/r = pra — vilket vi ser enklare genom att betrakta ellipsen som en vridning av cirkeln; på samma sätt som vi vrider en kvadrat aa en vinkel A (via en axel utmed ena a-sidan) och därmed ena sidan förkortas enligt b=a·cosA och därmed den totalt projicerade ytan ab, så gäller också för hela cirkelskivans vridning: EPS_AR=CRL_AR(cosE°=E). Således

v_nd = va = K = 2(pra)/T

Från den andra och sista delen får vi v=2pr/T där den totala perioden T blir

T = 2pr/v ; T/2p = r/v

v = r · 2p/T

Som vi ser, är detta samband identiskt med sambandet för en helt cirkulär bana med v som en konstant hastighet helt igenom;

Känner vi v och T, kan r bestämmas.

För att ellipsen med sambandet ovan ska gälla, måste v avgränsas till ändpunkten hos ellipsens lillaxel a. [Andra, mera allmänna samband blir mera krävande]. Emellertid, eftersom det finns en sådan v-konstellation för varje ellipsbana som arbetar under inverkan av en centralkraft, kan vi använda den för att erhålla ett allmänt samband som gäller för det celesta och varje annat elliptiskt omloppsobjekt. Men för att förverkliga denna detalj måste vi först känna till ett samband med den cirkulära accelerationen, se särskilt i centralaccelerationen om ej redan bekant. Vi förutsätter här full bekantskap.

Tillämpning Centralaccelerationen (samma som Centripetalaccelerationen)

ELLIPSENS KOPPLING TILL GRAVITATIONEN

Som visades i ytmomentet delar cirkel och ellips samma betingelser för hastigheten när omloppskroppen i ellipsen intar positionen vid lillaxelns ändpunkt.

v = r · 2p/T0 = rw

Genom denna unika koppling kan ellipsbanan anslutas direkt till gravitationen genom likheterna för v. För centralaccelerationen fann vi tidigare att

å = rw² ............................. centralaccelerationen

Från gravitationslagen får vi därmed direkt det cirkulära sambandet

F = ma = må = mrw² = r^–2Gm₂m som ger oss

r³w² = Gm₂

där den centrala och cirkulära accelerationen å=v²/r=rw² neutraliseras av den gravitella accelerationen a.

w anger vinkelaccelerationen från v=2pr/T₀=(2p/T₀)r=wr som ger w = v/r.

m₂ är centralmassan eller centralkroppen i P, en av ellipsens bägge fokuspunkter. Som vi ser är omloppskroppens massa egal: liten eller stor omloppsmassa fungerar på samma sätt.

Avståndet till Månen

TILLÄMPNING

Med tillämpningen av den allmänna gravitationslagen på celesta objekt i allmänhet, förutsätts det att endast två kroppar åt gången framträder i ett i övrigt tomt kosmos. Då detta aldrig är det praktiska fallet, speciellt i observationen av Månens omloppsbana, måste vi acceptera allmänna (mindre) avvikelser i de enkla beräkningarna. Bara med en mera djupgående inspektion och observationer under längre tidrymder (hundratals år) kan mera precisa och realistiska förhållanden fastställas.

Månen är till att börja med (starkt) påverkad av Solen, men också av de omgivande planeterna. Den ideala Månellipsen kring Jorden kommer då att uppvisa flera extra rörelser. De två främsta är

1. Månellipsen själv roterar

2. hela Månelliptiska planet roterar

Tillsammans med den aktuella Månbanans ellips, kan dessa rotationer förorsaka åtskilliga svårigheter i bestämningen av den aktuella omloppsperiod (T₀) som Månen behöver för att fullborda ett helt varv i sin egen ellips. Vi måste vara klara över att endast med en högt driven undersökning kan naturen i dessa detaljer klarläggas — bara så att ingen läsare (här) ska få för sig att ämnet på något som helst sätt är enkelt avklarat.

I det följande exemplet ska vi förutsätta att perioden T₀ är (approximativt) lika med den så kallade nodmånaden eller drakmånaden. Utöver fasperioden (som är längre med två dygn), är denna period den enklaste att observera då den helt enkelt betyder varannan gång som Månen passerar ekliptikan; Ekliptikan är planet som Jordbanan kring Solen finns till i; Månplanets ellips lutar ca 5° relativt ekliptikan, så Månen ”går upp” genom ekliptikaplanet och ”går ner” genom den två gånger per varv; perioden (T₀) kan då (enklast) bestämmas där t.ex. Månen just är på väg upp.

Vi använder suffixet d för dygn (eng. days) motsvarande tidrymd 24 timmar enligt

1 d = 86 400 S

Exempel

Genom observation ses Månen rotera 360 grader eller ett helt varv i sin ellips under

T₀ = 27d 5t 5m 34,08s = (27,2122)d = 2,351134 T6 S ..................... nodmånaden [BAs167sp2ö]

Använd Encartavärdet (ENCARTA 99 Earth) för Jordmassan 5,97 T24 KG för att beräkna medelavståndet (R) till Månen genom det nyligen härledda sambandet

r³w² = Gm₂ med

G = 6,67 t11 M³(S²KG)^–1

Svar: r = (w^–2Gm₂)^1/3 = [(2p[2,351134 T6]^–1)^–2(6,67 t11)(5,970 T24)]^1/3 = 3,8203 T8 M

Medelavståndet (R) till Månen specificeras generellt i den allmänna facklitteraturen enligt R=3,844 T8 M [BAs166, 384 390 KM] .

Medelavståndets värde för alla planeter

Genom att använda samma relation som i föregående exempel

r³w² = Gm₂

kan de ungefärliga omloppsdimensionerna för planeterna i vårt Solsystem beräknas — om man först kan bestämma avståndet Jorden-Solen (R_SUN). Med R_SUN ges då centralmassan m₂, sambandet ovan, och därifrån kan alla andra planeters R beräknas om man känner deras period T₀.

Avståndet Jorden-Solen (R_SUN) framkom först i samband med mera noggranna metoder för bestämningen av ljushastigheten (c, från slutet av 1800-talet). Det standardiserade värdet är (från 1978)

R_SUN = 1AU = 1,49598 T11 M [BAs9ö].

Om vi bryter ut perioden ur det föregående uttrycket

[r³w² = r³(2p/T)² = r³(2p)²/T² = Gm₂] får vi

r³T₀^–2 = k = (2p)^–2 · Gm₂ ............................... @ 3,36 T18 M³S^–2 med m₂ som Solmassan 1,989 T30 KG

Det var denna k-proportionalitet benämnd Keplers tredje lag som Kepler (1571-1630) fann genom sina extensiva undersökningar under 1600-talet — och som senare inspirerade Isaac Newton i dennes formulering av allmänna gravitationslagen.

Keplers tre lagar [ref. BKLVIsp744n, FMs68sp2n, BAs159sp2ö, m.fl.]:

I Varje planet rör sig i en ellips med Solen i ena fokus

II Linjen Solen-Planeten översveper lika stora ytor på lika långa tider

III Relationen R³/T₀² är konstant för alla planeter, R banellipsens storaxel, T₀ omloppstiden

Efter andra världskriget (från runt 1945) när radarn utvecklades, kunde mera noggranna mätningar göras av avståndet Jorden-Solen. Nuvarande värdet (från 1978 i källan nedan) för RSUN kallas en astronomisk enhet och betecknas 1AU med värdet

1 AU ................................. 1,495 9787 T11 M [BAs161] RSUN

Exempel — bestämning av Solmassan

Perioden för Jordens rotation kring Solen relativt fixstjärnorna, det så kallade sideriska året, är känd enligt

T₀ = 365,25636 d = 365d 6t 9m 9,54s .................... sideriska året, ”stjärnåret” [ENCARTA 99 Year]

Använd detta värde tillsammans med standardvärdet RSUN=1AU ovan för att bestämma Solmassan.

Lösning:

Vi använder uttrycket r³w²=Gm₂ med w=2p/T₀ som ger

r³w²G^–1 = m₂

Svar: m₂ = (1,495 9787 T11)³ · (2p/[365,25636 · 86400])² · (6.67 t11)^–1 = 1,98969 T30 KG

Kommentar

Värdet från gängse fackverk [BAs9] är

1,989 T30 KG .................. Solmassan, standardvärde [BAs9]

Konstanten k i Keplers tredje lag gäller som nyligen omnämndes strängt taget bara med två kroppar åt gången. I den verkliga stjärnvärlden påverkar planeterna varandra och k varierar något [i storleksordningen 3,3616 T18 till 3,3648 T18 M³S^–2] beroende på planet. I översiktlig mening blir (alltså, och emellertid) värdet 3,36 så exakt det kan bli.

Vidareutvecklingen av ellipsen i gravitationsfysiken

Elliptiska omloppsbanor

Genom att utveckla den unika kopplingen mellan ellipsen och cirkeln som visades i ELLIPSENS ANSLUTNING TILL KEPLERMOMENTET, kan vi finna en mera exklusiv samling samband för att bestämma elliptiska banor under inverkan av en centralkraftsverkan. Resultatet ger oss grunderna i beräkningen av satellitbanor. Glöm emellertid inte bort att dessa samband är elementära och på intet sätt exakta i motsvarande praktiska fall — även om man KAN använda de enkla sambanden för att initiera verkliga banor.

v = r · 2p/T₀ = rw

För de perfekt cirkulära omloppsbanorna gäller som nyligen härletts att

F = mv²/r = r^–2Gm₂m

v²/r = a = r^–2Gm₂

v² = r^–1Gm₂

Centrifugalaccelerationen i ellipsen vid r från P är samma som i en omskriven cirkel med radien r. I denna del av ellipsbanan tar således g-kraft ma och å-kraft mv²/r precis ut varandra.

I den följande utvecklingarna ska vi i PREFIXxSIN använda termen R för r och en förenklad beteckning för produkten

Gm₂h^–1 som D² med

h =1M/S²

vilket ger accelerationen a i numeriska enheter

D² = Gm₂ · h^–1

= aR² · h^–1 ; UNIT M³S^–2KG^–1 S²M^–1=M²

Gm₂ = D²h

v² = R^–1D²h

Vi får först

(1) v/D = (R^–1h)^1/2

Med anslutning till ytmomentet substituerar vi med RcosA

(2) RcosA vD^–1 = (R^–1h)^1/2 RcosA

där vinkeln A räknas från toppvertikalen som 0°. I figuren nedan indexerar också denna position den centrala cirkulära vinkelreferensen C=0°.

Vid C=90° är vinkeln A lika med ellipsens E° så att E=cosE°=cosA. I den första delen i (2) ger produkten v cosA likhet med normalhastigheten v_n i ytmomentet (inte utritat i illustrationen),

v cosA = v_n

Det reducerar (2) till

(3) v_nRD^–1 = (R^–1h)^1/2 RcosA

där v_nR=K från ytmomentet. Som detta gäller för alla lokala distanser (d) i ytmomentet, inkluderat R, har vi

(4) KD^–1 = E(Rh)^1/2

Från denna relation tillsammans med de aktuella ellipssambanden får man ekvationerna för ellipsbanorna när tre av de fyra parametrarna

v (vAf eller vPf) och

d (Af eller Pf)

är kända.

Resultaten ges i ekvationstablån nedan där beteckningarna har förenklats något (för att öka lärbarhet och översikt).

ELLIPSBANOR UNDER CENTRALKRAFTSVERKAN

D = [Gm₂ · h^–1]^1/2, D i meter;

h =1M/S²;

e = Cf/R, E=r/R, Af+Pf=2R, G= 6,67 t11 M³(S²KG)^–1=JM/(KG)²;

w = 2p/T₀;

Ekvationstablå Ellipsbanorna

Satellitsambanden — ideala elliptiska omloppsbanor

Förenklade beteckningar: A och P ersätter Af och Pf; d ersätter R

h = 1M/S², D = [Gm₂ · h^–1]^1/2, D i meter

® known wanted ¯	e\|d		e\|v_n	d\|v_n
	v_n	D	D	D
e=				1 – A(v_A//D)²/h	0
				P(v_P/D)²/h – 1	1
d=			(1–e)(D/v_A)²h		A
			(1+e)(D/v_P)²h		P
v_n=		DÖ[(1–e)/A]h			v_A
		DÖ[(1+e)/P]h			v_P
D=	v_AÖ[A/(1–e)]/h
	v_PÖ[P/(1+e)]/h

Sambandet för D kan framställas tillsammans med ekvivalenta alternativa vidareutvecklingar enligt

v_A(A[1–e]^–1h^–1)^1/2

v_A(R[1–2(e^–1+1)]^–1h^–1)^1/2

D = w(R³h+)^–1/2 ........................... Allmänt ................... v_Av_P = (Rw)² = v²_C=90°

v_P(R[1–2(e^–1+1)]h^–1)^1/2

v_P(P[1+e]^–1h^–1)^1/2

Exempel

Jordelliptiska banan kring Solen är känd genom följande parametervärden

e 0,0167

R 1,495 9787 T11 M

A 1,52096 T11 M =R(1+e)

P 1,47099 T11 M =R(1–e)

Använd dessa värden med den standardiserade centralmassan lika med Solmassan m₂=1,989 T30 KG tillsammans med de tabellerade ekvationerna ovan i standardiserade fysikaliska enheter för att bestämma

a. hastigheten hos Jorden runt Solen vid apohelium (A)

b. Jordens hastighet vid perihelium (P)

Lösning:

D = [Gm₂ · h^–1]^1/2 = [(6,67 t11)(1,989 T30)]^1/2 = 1,1518 T10 M

Svar: a. v_A= D(A^–1[1–e]h)^1/2 = 29 286,294 M/S

b. v_P= D(P^–1[1+e]h)^1/2 = 30 281,114 M/S

MassCentrumEllipserna

ELLIPSBANORNA FRÅN DERAS GEMENSAMMA MASSCENTRUM

Inledande utveckling av det centrala sambandet

a+c = 2R ..................... allmänt elliptiskt samband

Från utvecklingen a²–b²=x²=c²–(2Cf–b)² finner vi den resulterande kopplingen

c²–a²=4Cf(Cf–b)=4Cf · y. Med c=2R–a visar oss en vidare utveckling att

y = (R–a)R/Cf där R/Cf=1/e med e som ellipsens lilla excentricitetstal. Då är

a = R–ey vilket vi finner också gäller lika väl för c-distansen genom c = R–ey.

Vinkeln mellan b och a betecknas här F° så att b/a=sinF i PREFIXxSIN.

Som b=Cf–y insätter vi föregående samband för y och får då

(eCf – R+a)/a = e sin F. I vänstra delen ersätter vi e med Cf/R så att vi får

(Cf²/R – R+a)/a = e sin F = Cf²/aR – R/a + 1 = (Cf²/R – R)/a + 1.

Efter transformation mellan de bägge delarna får vi

1 – e sin F = (R – Cf²/R)a^–1 = R(1 – Cf²/R²)a^–1 = R(1 – e²)a^–1 = RE²a^–1.

Därmed a = RE²(1 – e sin F)^–1. Med r som gemensam för endera a eller c har vi

r = RE²(1 – e sin F)^–1.

Betrakta i PREFIXxSIN ellipsens

r = RE²/(1 – e sinF)

mellan m₁ och den centrala m₂ separerad av centralavståndet r. R betecknar som tidigare halva ellipsens storaxel,

E=a/R ellipsens stora och e=Ö1–E² dess lilla excentricitetstal med a som halva ellipsens lillaxel, samt F° vinkelrotationen hos r. Det kan också skrivas

r = (r₁+ r₂)E²/(1 – e sinF)

= r₁E²/(1 – e sinF) + r₂E²/(1 – e sinF)

= d₁ + d₂

Detta avbildar en principiell delning av den ursprungliga så kallade relativa ellipsen i två separata ellipser med samma excentricitet. Om, och endast om d₁ och d₂ lyder komponenterna i hävstångslagen (notera att htm-dokumentet till den länken är ett experimentdokument som upptar 1,6MB enbart i textdelen — om man försöker ladda upp den med en mobiltelefon får man bereda sig på en lång väntetid, flera tiotal minuter i sämsta fall; hävstångslagen utgår från ekvivalenta kraftvägar eller energier Fd=mad inom ett s.k. Galileiskt rum, som betyder att accelerationskonstanten a är idealt densamma överallt i det avgränsade rummet, därmed kan ekvivalenterna behandlas enbart på faktorerna md)

m₁d₁ = m₂d₂

finns en centralpunkt P för jämvikt och som kan kallas massans gemensamma centrum eller tyngdpunkten för tvåkropparssystemet m₁m₂. Var och en av de skilda distanserna d₁₂ relaterar således banmässigt likvärdiga som den ursprungliga ellipsen till en (dess) elliptiska fokalpunkt (fokus) — men nu genom två mindre ellipser med halva deras storaxel som r₁₂.

Då summerar r = d₁+ d₂ genom P som de gemensamma fokalpunkterna för bägge de splittade ellipserna.

Figuren nedan komprimerar detaljerna illustrativt.

Som

d₁/d₂ = r₁/r₂ = 2r₁/2r₂ = M₁/M₂

där M (eng. major) betecknar storaxeln i respektive ellips, har vi också från hävstångslagen

d₁/d₂ = m₂/m₁ = r₁/r₂ = M₁/M₂

I respekt till största avståndet r mellan massorna, är P lokaliserad som skild från endera massan via apofokus Af (största elliptiska avståndet mellan m och P). I ellipsen har Af sambandet

Af = R(1+e)

Som de parametriska relationerna i originalet och de splittade ellipserna är desamma, har vi motsvarande

Af₁ = r₁(1+e) och

Af₂ = r₂(1+e)

Som R = r₁ + r₂ vilket ger kvoten r₁/r₂ = (R–r₂)/r₂ = R/r₂ – 1 har vi

m₂/m₁ = r₁/r₂ = R/r₂ – 1

Första och sista delarna ger

m₂/m₁ = R/r₂ – 1 ;

m₂/m₁ + 1 = R/r₂

r₂ = R[m₂/m₁ + 1]^–1

Insättning med Af₂(1+e)^–1 = r₂ från ovanstående, har vi därmed lokalen för P från m₂ som

Af₂(1+e)^–1 = R[m₂/m₁ + 1]^–1 ;

Af₂ = R(1+e)[m₂/m₁ + 1]^–1

Genom en simpel utveckling för Af₁ får vi lokalen för P från m₁ på motsvarande sätt som

Af₁ = R(1+e)[m₁/m₂ + 1]^–1

Applikation

Med m₂ som vår Sol, kommer det gemensamma g-centrumet för P mellan vilkensom planet och Solen att ligga innanför Solsfärens yta. Den planet som ligger närmast Solen är Merkurius.

Bestäm avståndet mellan Solcentrum och P som Af₂ genom följande specifikationer för planeten Merkurius:

1AU 1,495 97 870 T11 M

R 0,387099 AU

e 0,2056

m₁ 0,3303 T24 KG

m₂ 1,989 T30 KG ;

Svar: Af₂ = 11,593 T3 M, @ 12 KM

CEPH-ekvationen

Utvidgning av banorna till paraboliska och hyperboliska

CEPH-EKVATIONEN i PREFIXxSIN

Från tidigare arbeten 1982-84

Utgående från en specifik distans d från en centralmassa (m₂) med en given initiell vektornormal hastighet v_n förefaller det tydligt att omloppskroppen måste bryta varje sluten bana med ett tillräckligt stort v_n. Med förmodan om ett bestämt värde för D kan vi beräkna ett motsvarande e-värde genom typsambandet

P(v_P/D)²h^–1 – 1

genom att ta olika värden på vP. Men detta tillval introducerar två optioner för e, vilket vi finner obekvämt. När v_n utgår från noll, passerar kvantiteten för e från apofokus (A) till perifokus (P). Mittpositionen är där D²/A=v_A² vilket visar en cirkulär bana med det valda d=R. Med ännu en ökning i v_A erhåller vi negativa värden för e — det relevanta är istället att använda sambandet för P. Det visar sig emellertid att vi genomgående kan använda sambandet för P i samtliga fall enligt

e = d(v_nD)²h^–1 – 1

För alla negativa e, från –1 upp till 0, kommer då d att relatera ett apofokus (A) — vilket är det enda att komma ihåg för att få allt rättvänt. Alla de positiva e, från 0 till 1, ger då d som den aktuella perifokus (P). För att beräkna ellipsens storaxel R använder vi det allmänna sambandet från ellipsens geometri via P enligt (d=f=R–Cf; e=Cf/R; d/R=(R–Cf)/R=1–Cf/R=1–e)

R = d(1–e)^–1

Med ett negativt e ger oss detta direkt R genom sambandet för A [som är R = d(1+e)^–1]. Den motsvarande v_n-ekvationen blir då den som gäller för P,

e=–1: v_n = 0 ................................. fritt fall

v_n = D(d^–1[1+e]h)^1/2 e= 0: v_n = D(d^–1h)^1/2 ................... cirkel

e= 1: v_n = D(d^–12h)^1/2 ................. parabel, se nedan

Resultatet av denna undersökning, min historia från runt 1981, ledde fram till upptäckten att hela komplexet gömmer en mera allmän sambandsform som innefattar alla fyra möjliga omloppsbanorna cirkel, ellips, parabel och hyperbel.

härledningen

CEPH-EKVATIONEN FRAMTRÄDER

SPONTANT uppstår frågan:

— När e passerar från 0 till 1 möter vi en allt smalare ellips. Med 0 framträder cirkeln, med 1 återstår bara en rak linje …

— HUR?

— Det är inte en rät linje, utan en parabel. Faktiskt.

— Visa.

Att linjen är rak för e=–1 är lätt att förstå eftersom det då gäller ett rakt och fritt fall utan någon hastighet v. Men ett positivt 1, vad är det?

För att rätt belysa den frågan måste vi undersöka var banan försvinner då e närmar sig 1.

Resonemanget (1982) genomfördes (i min historia) så här:

— Kan man inte utgå ifrån ett bestämt värde (y) mellan utgångspunkten d och centralmassan, relatera detta till ellipsens geometri

— x=E(R²–y²)^1/2 — och sedan beräkna x-värdet i anställningen att v_n-värdena närmar sig e=1-v_n-värdet?

— Värdet för y i ellipsekvationen närmast ovan är nollrelaterat till ellipsens lillaxel. Vi kan då välja y-värdet i x-ekvationen som skillnaden mellan varje R vi får för banorna och en distans från utgångspunkten mot centralmassan;

— Vi låter en rät linje passera genom utgångspunkten, i normal (rät vinkel) till distansen mot centralmassan, betecknar linjen som koordinatsystemets x-axel, normalen till denna genom centralmassan som y-axeln, och väljer sedan godtyckliga värden för y (se vinjettillustrationen).

— Förhållandet mellan detta y och det ovan (nu betecknat y₀) kan då skrivas

y₀+y=R som ger y₀=R–y.

— Med utveckling av sambanden från den givna x-ekvationen ges då

Ellipsen

x = E(R²–y₀²)^1/2 .......... ellipsens ekvation [från y = ÖR²–(x/E)² ges x=EÖ(R²–y²)]

= E(R²–[R–y]²)^1/2

= E(2Ry–y²)^1/2

— Räkning på detta resultat från ett antaget y i antagna värden hos den utgående hastigheten som närmar sig e=1-v_n-värdet, leder oss till att vi närmar oss en ändlig gräns för varje x via varje antaget y.

— Vi behöver emellertid inte explicit räkna vidare på denna utflykt:

— Hela problemet kan lösas mera elegant i utvecklingen av sambandet för x.

— Vi tar in E i parentesen, använder den föregående R-kopplingen, och erhåller

x = (E²2d[1–e]y–[Ey]²)^1/2

E² = 1–e² = 1 –e+e –e² = 1 – e + e(1–e)

= (2d[1+e]y–[Ey]²)^1/2 ;

x = (2d[1+e]y – y²[1–e²])^1/2................. CEPH-EKVATIONEN

Cirkel Ellips Parabel Hyperbel — se efterföljande specifika extrakt

En spontan kristallisation. Emellertid, är vi inte förtrogna med den fulla innebörden av ”e” kommer sambandet att verka ”mystiskt”.

Vi studerar upplösningen.

Cirkeln

Med e=0 får vi direkt d=r som ger

x = (2d[1]y – y²[1])^1/2 = (2dy – y²)^1/2 = (2ry – y²)^1/2 ;

Uttryckt i den vanliga y-formen ges då

2ry–y² = x² = 2ry–y²+r² –r² = r²+2ry–y² – r² = (r–y)² – r²;

x²+r² = (r–y)² ;

Ö(x²+r²) = r–y ;

y = r–Ö(x²+r²);

Lägger vi till +r för att relatera xy-origo till cirkelns centrum gäller tydligen

y = r–Ö(x²+r²) +r

= Ö(x²+r²) ...................................... cirkeln, CEPH_e₌₀

Vi känner igen den formen som den vanliga för cirkelns ekvation.

Parabeln

Med e=1 får vi direkt

x = (4dy)^1/2

y = x²(4d)^–1 ......................................... parabeln, CEPH_e₌₁

v_n = D(d^–12h)^1/2

Det är samma uttryck som vi känner som parabelns ekvation från parabelns geometri.

Hyperbeln

Från hyperbelns geometri känner vi motsvarande samband

y = tan^–1M[(r²+x²)^1/2–r], t = tanM = r/m

y = t^–1[(r²+x²)^1/2–r]

(yt+r)² = r²+x²

y²t²+2ytr+r² = r²+x²

x2 = 2ytr + y2t2 ;

t = r/m, tr = r²/m = m · r²/m² = t²m

x² = 2yt²m + y²t² ;

m = f[(sinM)^–1–1]^–1

d motsvarar f

tan²M = t² = (sinM)^–2 – 1

t²m = [(sinM)^–2 – 1]f[(sinM)^–1–1]^–1 = f[1+(sinM)^–1]

x² = 2yf[1+ (sinM)^–1] + y²[(sinM)^–2 – 1] ; f=d

= 2yd[1+ (sinM)^–1] – y²[1 – (sinM)^–2] .................... hyperbeln, M > 0°

Ersättning av (sinM)^–1 i dessa likheter med e ger oss alldeles tydligt CEPH-ekvationen

x = (2yd[1+e] – y²[1–e²])^1/2 ........................................ hyperbel, CEPH_e_>1

vn = D(d^–1[1+e]h)^1/2

M = asin(e^–1)

För e=1 blir asymptotvinkeln M=0 vilket raderar det hyperboliska alternativet. De giltiga e-värdena för en hyperbolisk väg utgår således från större än 1.

Exempel

På avståndet 1 T7 M från Jordens g-centrum ges en kropp i relativ vila en hastighetskomponent v_n rätvinkligt lodlinjen genom Jordytan. Bestäm om möjligt det absoluta och ideala minimum för denna hastighet om kroppen ska gå i en hyperbolisk kurva relativt Jordmassans centrum. Använd standardiserade fysikaliska enheter (MKSA-systemet) och specificera de använda värdena.

Lösning:

v_n = D(d^–1[1+e]h)^1/2

d = 1 T7 M

m₂ = 5,97 T24 KG

G = 6,67 t11 JM/(JG)²

D = [Gm₂ · h^–1]^1/2 = [(6,67 t11)(5,97 T24)]^1/2 = 1,9954924 T7 M

e_MIN = 1

v_n = 8,92411 T10 M/S

Svar: Minsta hastigheten måste vara större än 8,92411 T10 M/S, vilket gäller för en parabolisk banform.

CEPH-kurvorna och deras tangenter | KÄLLVERK |

CEPH-kurvorna — grundsamband

cirkelns speciella planprojektioner

så härleds och framgår de fyra grundkurvorna och deras tangenter

CIRKEL ELLIPS PARABEL HYPERBEL

cirkelns ekvation

I de följande härledningarna används termen/beteckningen T° (»T-grader») för att beteckna tangentvinkeln såsom distinkt och skild från tangentlinjen (T). Samtliga följande härledningar utgår ifrån Pythagoras Sats a²+b²=c². Med abc ersatta av xyr framstår Pythagoras sats speciellt som cirkelns ekvation enligt

r = Ö x²+y² ............................ CIRKELNS EKVATION — direkt från Pythagoras sats

Vinkeln T° beskriver en ordinär systemvinkel med 0° i referens till det matematiska xy-systemets positiva x-axel 0°. Se även utförligt från MATEMATIKENS GRUNDER om ej redan bekant.

CIRKELN

Cirkelns tangent · Härledning

CIRKELN (CRL)

y = Ör²–x² ............................................ cirkelns ekvation

TANGENT: y/x = tanA ; x/y = tan(–T) = –tanT;

tanT = –x/y

Kommentar:

Bågvinkeln till inversen för tanA som riktningen för tangentlinjen T, atan(x/y), refererar T°=0 till negativa x-axeln. För att för korrekt polaritet för T° måste den roteras 180 grader, vilket betyder samma som en multiplikation med –1.

Alternativt från grundtrigonometrin har vi det allmänna tan(–A)=–tanA och

1/tanA=cotA=tan(90–A). Då får vi med tanA=y/x och T=A+90 sambanden

tanA=y/x=tan(T–90)=–tan(90–T)=–cotT=–1/tanT; tanT=–x/y

Se även från PERCPETIONSANALYSEN.

ELLIPSEN

Ellipsens tangent · Härledning

Cirkeltangentens avbildning

ELLIPSEN (EPS)

x/x₀ = a/r = E ; x/E = x₀ ; y = Ör²–x₀² = Ör²–(x/E)² = (1/E)Ö(rE)²–x² = (1/E)Öa²–x² ;

y = Ör²–(x/E)² ........................................ ellipsens ekvation

TANGENT: tanT₀/tanT = (k/x₀)/(k/x) = x/x₀ = E ;

tanT = tanT₀/E = –x₀/yE = –(x/E)/yE ) = –x/yE²

Kommentar:

Det finns åtminstone tre olika sätt att finna grundkaraktären för ellipsens geometri (ellipsens ekvationer fyller lätt en större mängd boksidor) [cirkelns vridning, reguljär konisk sektion, koncentriska plancirklar]. Den enklaste av dessa är cirkelns vridning, vilket är det alternativ som används här, figuren ovan. I cirkelns vridning kring y-axeln genom ellipsvinkeln E° (den är 90 grader då ellipsen övergår i cirkel) reduceras alla x-faktorer av samma faktor cosE° i PREFIXxSIN. Det är samma som relationen mellan den reducerade cirkelns radie a (ellipsens lillaxel) på x-axeln dividerat med cirkelradien r (ellipsens storaxel); Förhållandet kallas här stora excentricitetstalet,

cosE°=a/r=E. Genom E får ellipsens ekvation samma form som cirkelns ekvation med enda skillnaden att xCRL reduceras av E till xEPS enligt xEPS=xCRL·E med max a för EPS och max r för CRL. För att skilja de olika x-kvantiteterna åt i härledningen, har cCRL indexerats x₀.

Se även Ellipsens karaktär genom perceptionsanalysen — koniska sektionerna. Se även från PERCPETIONSANALYSEN.

PARABELN

Parabelns tangent · Härledning

Cirkeltangentens avbildning

PARABELN · RadieUtvidgning genom Cheops Rektangel, eller Räta vinkelns vridning genom x/2

(x/2)/r = y/(x/2) ;

y = x²/4r .............................................. parabelns ekvation

TANGENT: tanT = y/(x/2) = 2y/x = 2x²/4rx = x/2r

tanT = 2y/x

Kommentar:

Om vi tar x-skärningen (kallas också x-interceptet) för cirkelns tangentlinje T, längden a, i punkten aP (skärningen xT, f.ö. ej särskilt markerad i figuren ovan) och relaterar det interceptet genom aP till en rät vinkel (O.aP.T), får vi de symmetriska relationerna

a/r=y/a som ger a²=yr. Som vi ser är detta identiskt med uttrycket från Cheops Rektangel. Med figurens hjälp ser vi att diagonalen hos denna rektangel är del av cirkelradien genom tangentpunkten där interceptet a blir höjden hos den motsvarande Cheopstriangeln. Genom att relatera a som en variabel x/2 erhåller vi då ändpunkten P hos varje Cheopstriangel från utvidgningen av cirkelradien som en kontinuerlig kurva kallad parabel. Se även parabeln från grundmatematiken i samband med beräkningen av kvadratrötterna.

Se även Parabelns karaktär genom perceptionsanalysen — koniska sektionerna. Se även från PERCPETIONSANALYSEN.

HYPERBELN

Hyperbelns tangent · Härledning

Cirkeltangentens avbildning

HYPERBELN (HRB) · EnhetsHyperbeln med u=y

(y+r)/x = r/x₀ ; y+r = xr/x₀ = x/(x₀/r) = x/(x/Ör²+x²) = Ör²+x² = r+u ; y = u ;

y = –r + Ör²+x² .................................. hyperbelns ekvation

TANGENT: tanT = y/x’, (y=u), = u/x’ = x/(r+u) = x/(r+y) = x/Ör²+x²

tanT = x/(r+y)

EnhetsHRB Asymptot med x₀= r, = 45º.

Kommentar:

Se hyperbeln genom att sätta underdelen på en lampskärm med

öppen cirkulär form mot väggen som antyds av ovanstående illustration;

Ljuset från lampan i PC avbildar en hyperbel på väggen.

Betrakta normalen m till planet C hos en cirkel med radien r och genom dess centralpunkt C. Från en punkt PC på m under cirkeln föreställer vi oss linjer L som passerar genom cirkelbågen totalt via en central- eller konisk projektion. Om vi placerar ett plan (H) rätvinkligt C (som precis vidrör cirkeln C), skär linjerna L planet H i motsvarande H-punkter i en kurva som kallas hyperbel. Med figurens hjälp ser vi att relationen m/r=y/u kommer att gälla för denna typ. Den mest elementära konstellationen finner man där m=r som direkt ger oss y=u så att alla L bildar en 45-graders vinkel med m. I den här produktionen kallas en sådan elementär hyperbel för enhetshyperbel. Som kurvtangenten i vilket fall kommer att visa en avbildning (»mappning») mellan planen CH från cirkelns reguljära tangent, kommer bägge planen CH att dela samma tangentföreningspunkt (J, ej särskilt utmärkt i huvudfiguren ovan) där planen CH möts, alltså någonstans utmed x-linjen. Med cirkeltangenten given, blir hyperbeltangenten helt enkelt linjen T mellan JH.

Asymptotbegreppet

Den maximala vinkelrepresentationen av »den yttersta konlinje L» som kan träffa H-väggen bildar en gränsvinkel (M°) mellan m och L. I Enhetshyperbeln är M=45°. I detta maxläge är motsvarande C-vinkel till L-skärningen med C-bågen (punkten mellan PC.H), räknat från H-väggen som nollreferens, lika med 90°. Med då är också r parallell med H, och L kommer strängt taget aldrig att träffa H. Hyperbelkurvan kommer följaktligen att utsträckas obegränsat i det den närmar sig denna konstanta gränsvinkel. Den begränsande linjen (L) genom M-vinkeln kallas då för hyperbelns asymptot. M-vinkeln kallas analogt för hyperbelns asymptotvinkel.

Se även Parabelns karaktär genom perceptionsanalysen — koniska sektionerna. Se även från PERCPETIONSANALYSEN.

KÄLLVERK TILL GRUNDKURVORNAS HÄRLEDNING

Det finns (ännu veterligt November 2008) inga etablerade verk som beskriver grundkurvorna på det här presenterade sättet. Generellt är webben @INTERNET som referenskälla mera inriktad på att ”förklara” grundkurvorna (cirkeln frånsett) ellips-parabel-hyperbel genom högskolematematikens allmänna formelapparat (jämför t.ex. Wikipedia Conic section 2008-11-28) — som därmed garanterat utestänger de allra flesta människor från ämnet. Det tråkiga är — och som uppmärksammades redan tidigt i min historia genom flödet i den allmänna bibliotekslitteraturen — att det verkar inte finnas någon annan metod i modern akademi. Vilket vill säga: ämnet ”förklaras av professurer inför doktorer”. Den vanliga befolkningen lämnas (som vanligt) helt utanför ämnet. I den andan, och genom min egen historia och dess utveckling, har ovannämnda (betydligt) enklare beskrivningar framkommit (enligt min uppfattning, är det bäst att tillägga). Eller med andra ord: källformerna till den här presentationen av grundkurvornas matematik och geometri är varken mer eller mindre än de olika uppslagen från etablerade källor genom den tillgängliga allmänna bibliotekslitteraturen — som dock tyvärr helt tycks sakna perspektiv på ämnet. Vi hittar dem inte någon annan stans än här, om iakttagelsen är korrekt uppfattad.

Editor2008XI26

PERCEPTIONSANALYSEN från 1987XII12 | De Koniska Sektionerna | Kägelsnitten | Dandelinsfärerna

DE KONISKA SEKTIONERNA PÅ WEBBEN @INTERNET beskrivs på en uppsjö av ställen — på engelska. Det allmänna intrycket (ännu November 2008, min personligt färgade mening) präglas emellertid av en viss anda av diffushet, krånglighet och oklarhet. De koniska sektionerna i etablerade framställningar tycks lida av en gemensam central brist: avsaknad av en klar, tydlig och enhetlig referensgrund i det rent beskrivande begreppet — som INTE använder högskolematematik. Det som fattas — och också det som finns med, verkligen, men som inte lyfts fram tillräckligt mycket och därmed förmörkar snarare än upplyser hela ämnet — är (alldeles tydligt) perceptionsanalysen eller de från 1800-talet så kallade Dandelinsfärerna (från fransmannen-belgaren Germinal Pierre Dandelin 1794-1847, men som alls inte beskrivs i termer av någon »perceptionsanalys») — ”Synkloten” beskriver själva kärnpunkten i ämnets enkla och tydliga förklaring, men har tydligen tappats bort (mer eller mindre); Även fast Dandelinsfärerna omnämns i flera eminenta webbkällor tycks författarna ha svårt att lyfta fram huvudsaken i ljusets fokus: att det är fråga om en fullödig 3D-perceptiv analys (se nedan). Utan den förklarande perceptionsgrunden är och förblir (nämligen) alla beskrivningar av »de koniska sektionerna» mer eller mindre rena hieroglyfer. Läsaren må emellertid döma själv: Här följer den förklarande delen som (enligt min mening) sammankopplar de kringspridda fragmenten till en begriplig och framförallt lättfattlig enhet — utan konstiga (inblandade) högskolegrepp. Se även webbalternativen i referensförteckning till jämförelse i KONISKA SEKTIONER PÅ WEBBEN.

PERCEPTIONSANALYSEN

De Koniska Sektionerna

Kägelsnitten

Dandelinsfärerna

Allting som upptar någon utbredning skild från noll sett från en percpetionspunkt — »användarens position» — ses och beskrivs i formen av en kon, även kallad centralprojektion. Speciellt om synobjektet kan återföras på en cirkulär planyta, som även gäller i fallet då objektet är ett geometriskt klot, kallas synkonen cirkulär (rak eller sned). Vi utgår ifrån dessa detaljer som givna och ”självbevisande” speciellt genom formernas ideala symmetri och likformighet, och utan att vi lägger några som helst aspekter på det fysiska rummets egenskaper varigenom sinnevärldens motsvarande detaljer framträder, kan studeras, analyseras och klassificeras.

Från en perceptionspunkt (A) utanför ett geometriskt klot, är alla avstånd till klotets horisont ekvivalenta. Är det någon »geometrisk sats» som vi alla människor kan förstå intuitivt med excellent klarhet, så är det just den: alla linjer som tangerar klotets yta och som går genom den gemensamma strålpunkten (A), är lika långa, figuren ovan. I den sammanställda figuren nedan får vi således att A.F = A.V, A1.Z = A1.F, osv. Den sammanställda figuren beskrivs vidare utförligt med reducerade termbeteckningar längre ner för respektive sektion parabel, ellips och hyperbel.

Karaktären för De Tre Koniska Sektionerna

— genom Perceptionsanalysen:

PARABELN

P.F = P.L = c

ELLIPSEN

2b = d+c

HYPERBELN

2m = d–c

Illustrationen ovan efter författarens sammanställningar 1987XII12 från tidigare.

De tre perceptiva sektionerna genomgås i tur och ordning nedan.

Vinklar betecknas typ D(O.B.A.O).

Parallella linjer betecknas || typ P.L är || med Y.O.

Beskrivningen görs utifrån de synbart allra enklaste, mest uppenbara och direkt logiska 3D-egenskaperna i observationen av perceptionslinjer via perceptionssfärerna även i dessa sammanhang historiskt benämnda Dandelinsfärer vilket garanterar att ingen utesluts på grund av brist på högskolemeriter.

Om det inte ger med sig med en gång (även »vi proffs» måste också ta om det emellanåt, ibland): ta en paus, ta om det igen — och igen, om det krävs. Det ger med sig. Det är tillåtet att vila, men aldrig att ge upp. Hittar du ett bättre, enklare, sätt att beskriva saken på, visa det, göm det inte.

perceptionsanalysen

PARABELN

P.F = P.L = c

Strålpunkt A: A.F = A.V1. D(A.L.V1.A) = D(O.B.A.O); A.V1 = A.L = A.F = f. Snittplanet P.L är || och lika med konsidan Y.Z1, = P.Q1.

Parabelns karaktär får vi då genom strålpunkten P;

P.F = P.Q1 = Y.Z1 = P.L. Vilket vill säga P.F = P.L = c.

Se även Parabelns ekvation och tangent genom cirkeln.

perceptionsanalysen

ELLIPSEN

2b = d+c

Vi klarlägger först att (A.F = A.V = h)ÖVRE = (A1.F1 = A1.V1 = h1)UNDRE enligt följande:

V|F och V1|F1 är bägge sfärpunkter medan A|A1 är strålpunkter över sfärytan;

Strålpunkt O: (O.V = O.Z); V.Z1(= h + A.Z1[= A.F1 = h + F.F1]) = Z.V1(= Z.A1 + h1) = Q.Q1 = 2h + F.F1;

Z.A1 – F.F1 = 2h – h1;

Strålpunkt A1: A1.Z = A1.F(= h1 + F1.F); Z.A1 – F1.F = h1. Detta tillsammans med slutledet i strålpunkt O ovan ger:

Z.A1 – F.F1 = 2h – h1 = Z.A1 – F1.F = h1; h1 = 2h –h1; 2h1 = 2h; h1 = h, vilket skulle visas.

Vi har därmed också förtydligat att

A.A1 = 2h + F.F1, och A1.F(= A1.Z) = A.F1(= A.Z1).

Ellipsens karaktär 2b=c+d framgår då genom strålpunkt P, (h=h1):

(P.F = P.Q = c) + (P.F1 = P.Q1 = d) = Q.Q1 = konstant = V1.Z = Z1.V = h1(=h) + A1.Z(= A1.F = A.F1) = A.A1 = 2b. Vilket vill säga

c + d = 2b.

Se även Ellipsens ekvation och tangent genom cirkeln.

perceptionsanalysen

HYPERBELN

2m = d–c

Vi sätter A.A1 = K, samt observerar via strålpunkt O att Q.Q1 = V.V1 = Z.Z1 = N.

Vi klarlägger på samma sätt som i ellipsens fall först att (A.F = A.V = h)ÖVRE = (A1.F1 = A1.Z1 = h1)UNDRE enligt följande:

V|F och Z1|F1 är bägge sfärpunkter medan A|A1 är strålpunkter över sfärytan;

Strålpunkt A1: A1.Z(= h1 + Z1.Z) = A1.F(= K + h);

h1 = K – Z1.Z + h ........ = K – N + h.

Strålpunkt A: A.F1(= K + h1) = A.V1(= h + V.V1);

h1 = V.V1 – K + h ......... = N – K + h. Genom likheterna för h1 får vi då

K – N + h = N – K + h; K – N = N – K; 2K = 2N; K = N; Således A.A1 = V.V1 = K = Z.Z1; Med K för dessa i leden ovan för h1 får vi;

h1 = h, vilket skulle visas.

Hyperbelns karaktär 2m=d–c framgår så genom strålpunkt P i kraft av resultaten ovan enligt;

(P.F1 = P.Q1 = d) – (P.F = P.Q = c) = Q.Q1 = N = K = 2m. Vilket vill säga d – c = 2m.

Se även Hyperbelns ekvation och tangent genom cirkeln.

Reflektiva egenskaper | PARABELN | ELLIPSEN | HYPERBELN |

PARABELNS REFLEKTIVITET

Parabelns optiska egenskaper

Eftersom parabelns tangent T definieras som den symmetriska delningen av den likbenta triangeln P.F.F’ från PERCEPTIONSANALYSEN (de koniska sektionerna),

P.F = P.F’; P.F’ | | y (se PERCEPTIONSANALYSEN Parabeln),

framgår parabelns reflektiva egenskap direkt — inkommande A är lika med utgående A, se f.ö. Spegellagen:

Ena vinkelbenet (P.F’) i vinkelrummet för tangentvinkeln (A), ligger alltid parallellt med parabelns y-axel, analogt i normal till x-axeln; ljusstrålar som utgår från F återkastas av parabelkroppen rakt ut som parallella strålar i normal till parabelns x-axel.

Parabelkroppens användning som strålkastare blir därmed självskriven — liksom förmågan att samla upp parallellt inkommande strålar till ett koncentrerat fokus över ett större rymdområde, som i fallet med upptagande (mycket svaga) ljud- och ljusvågor över stora avstånd; vågbildens samlade effekt i fokuspunkten fungerar som en förstärkare. Jämför de jättelika rymdradioteleksopen med sina enorma parabolytor.

ELLIPSENS REFLEKTIVITET

Ellipsens optiska egenskaper

UTVECKLINGSEXEMPEL — vanligt rutat papper, måtten i cM: x=3; y=4; R=5; f=Cf=2,5; K1=3,75; K2=8,75; e=0,5; E=Ö 0,75; hT=1,25; a=3; c=7

Ljus som utgår (t.ex. c) från ellipsens ena fokus reflekteras av ellipskroppen (a) så att ljuset samlas i motstående fokus.

För ellipsreflektivitetens matematiska bevisbarhet finns följande observerade hållpunkter:

· Ellipstangenten T:s normaler dragna från skärningen med cirkeln genomskär ellipsens bägge fokuspunkter

· Cirkeltangenten T:s normal genomskär origo via R och via a (ellipsens kortaste fokusdistans) ellipsens ena fokuspunkt

· I fallet a=c är hT orepresenterad; då gäller reflexionssymmetrin kring x-axeln

· I fallet a=f är hT=0; då gäller reflexionssymmetrin kring y-xeln

· Reflexionssymmetrin saknar algebraisk bevisbarhet, se nedan (via a-faktorn markerad röd i illustrationen ovan: det finns två a med samma värde men olika lokal)

· Bevisningen kan bara ges kvantitativt numeriskt, se nedan, eftersom både cirkelns tangent och ellipsens tangent bägge ingår i lösningskroppen; det finns ingen specifik elliptisk lösning till de ekvivalenter som beskriver ellipstangentens ekvivalent med Spegellagen

Bevis för att ellipsens tangent bildar reflexionsyta med lika vinklar mellan ellipslängderna ac har eftersökts på webben (2008-11-30) men inte hittats. Många webbkällor beskriver — nämligen — detaljen, dessutom i en del fall med avancerade interaktiva animeringar — men ingen förklaring ges. Inte ens ett försök. Här följer ett numeriskt exemplifierat utvecklingsblock som ger ett kvantitativt bevis men indikerar att ett kvalitativt — algebraiskt — bevis INTE kan existera.

Jämför följande utveckling, den ger överensstämmande numeriska ekvivalenter:

Allmänna samband inom trigonometrin i PREFIXxSIN används:

y = RsinT .............. i utvecklingsexemplet är y=4, x=3, R=50mM Cf=25mM=f, hT=12,5mM, E°=60, e=0,5 E=Ö 3/4, sinT=0,8

hT = R(secT – 1) ;

h = d/(1/tanA1 – 1/tanA2) ;

d = f+hT = K1 ger

h1 = K1/(tanT – 1/tanT) ;

d = R+Cf +hT = 2Cf+f+hT = K2 ger

h2 = K2/(tanT – 1/tanT) ;

OM reflektiviteten gäller, gäller att rektanglarna med diagonalerna ac blir likformiga så att ömsesidigt ekvivalenta förhållanden mellan alla motsvarande kopplande triangelsidor gäller. Därmed kan den reflektiva ekvivalensen för ellipsens del prövas/definieras genom följande utvecklingsled:

;

h2/h1 = K2/K1 = (2Cf+f+hT)/(f+hT) = 2Cf/(f+hT) + 1 | = c/a vilket föreligger som uppgift för bevisning = (2R –a)/a = 2R/a – 1 |;

OM likheten gäller, gäller tydligen att

2Cf/(f+hT) + 1 = 2R/a – 1 ;

2Cf/(f+hT) + 2 = 2R/a ;

Cf/(f+hT) + 1 = R/a ;

= (Cf + f + hT)/(f+hT) = (R+hT)/(f+hT) ;

a = (hT+f)/(1+hT/R)

= (hT+f)/secT

= (hT+f)sinT ........... OK

— Men denna ekvivalent kopplar till en NY a-lokal — i normal till CRL-tangenten. Se a-linjen markerad med röd text i figuren ovan.

— Därmed uppkommer frågan: Är det alls meningsfullt att söka en algebraisk ekvivalent?

— OM slutresultatet pekar på en geometrisk pinne med samma numeriska värde som den algebraiska ekvivalentens, men på annat ställe, är det uppenbarligen meningslöst att ens fråga efter en KVALITATIV ekvivalent då en sådan uppenbarligen INTE existerar;

= (R[1/sinT – 1]+f)sinT

= (R/sinT – R+f)sinT

= (R/sinT – Cf)sinT

= R – Cf sinT ............ 3 = 5 – 2,5×0,8 = 5 – 5/2 · 4/5 = 5 – 2

;

sinT = (R–a)/Cf = y(e/Cf) ;

y = (Cf/e) sinT

a = R – Cf sinT

Med dessa samband är det tydligt att rationella lösningar kan erhållas (i obegränsad mängd) som visar exakt ekvivalens genom motsvarande elliptiska xy-samband:

y = (R–a)/e .............. y ska stämma numeriskt exakt med ovanstående y från T

METOD:

Utgå lämpligen från rationella värden på a+c=2R, t.ex. a-värden; Beräkna sedan sinT genom

sinT = (R–a)/Cf .............. Cf=Re med e=Ö 1–E²=sinE° i PREFIXxSIN och E=b/R med b=ellipsens lillaxel, R=storaxeln.

Därmed får man

y = (Cf/e) sinT

som ska stämma exakt numeriskt med

y = (R–a)/e

Vilket vill säga, ekvivalensen

R – a = Cf sinT = ye

ska gälla — om den antagna ellipsens reflektivitet är korrekt uppfattad.

EXEMPEL:

Med 2R=10, Cf=2,5, e=0,5 och a=4 ges, via a+c=2R, c=6; Då är

sinT=(R–a)/Cf=1/2,5=0,4;

y = (Cf/e) sinT = 2,5/0,5 · 0,4 = 2

som ska stämma med

y = (R–a)/e = (5–4)/0,5 = 2

och vilket vi ser stämmer utomordentligt väl.

HYPERBELNS REFLEKTIVITET

Hyperbelns optiska egenskaper

Hyperbelns tangentlinje (T) tudelar hyperbeldistanserna (ac) i två lika vinkelrum (A°) vilket tilldelar hyperbelns reflektivitet extraordinära fokuserande egenskaper, se vidare i resultatbeskrivningen längre ner.

Hyperbelns karaktär tecknas här med termerna 2m=c-a med a som övre hyperbeldistansen i följande beskrivning.

Om spegellagen gäller med hyperbelns tagent (T) som bas och hyperbeldistansen c via vinkeln C° som ljusstråle mot motstående hyperbelkropp, då gäller enligt figurbeteckningarna ovan (höger) att reflexionsvinkeln A° ska vara lika med

A = 90–T – (90–C) = C–T;

Eftersom det också gäller generellt att T = B+A, analogt

A = T–B ges

A = C–T = T–B som ger

2T = C+B;

T = (C+B)/2

Hyperbelns tangent beräknas separat

T = atan x/(r+y)

Genom kontrollräkning finner vi att T-värdena överensstämmer kvantitativt.

EXEMPEL:

Vi använder »enhetshyperbeln» som betyder att asymptotvinkeln M=45° med r=m=1;

Vi använder sedan allmänna samband i hyperbelgeometrin enligt

f = Cf-r

y = (a–f)/(Ö 1+tan²M) ................ särskild härledning;

Geometriskt — SCEN 1:

m+Cf=Xf; för illustration, se exv figurdelen till hyperbelns allmänna ekvation, Cf anger CentrumTillFokus, Xf anger MotståendeXaxeltillNärliggandeFokuspunkt, hyperbelns karaktär 2m=c–a, cd här utbytta mot ac;

c–Xf=c–(m+Cf)=c–m–Cf;

Cf+c–Xf=c–m;

c–Xf=N;

Cf+N=c–m;

Geometriskt — SCEN 2:

Xf–f=2m;

Xf+N –f–N = 2m;

(Xf+N) – (f+N) = 2m;

c – a = 2m = Xf–f;

c–Xf = a–f

= N;

I »3D-triangeln» med hypolängden (Cf+N) och kateterna r.(m+y) är tydligen N tillskottet över konstanten Cf som uppritar hyperbelkurvan på väggplanet (H). Då gäller tydligen i PREFIXxSIN att

y/N = sinM;

y = N sinM; sin = 1/Ö 1+ tan²;

y = (a–f)/(Ö 1+tan²M)

vilket skulle visas. Fortsättningen ger då

r/m = tanM

m/Cf =sinM

y = –r + Ö r²+x²

x = Ö y² + 2yr

som ger Cf=1/(1/Ö2)=Ö2 och f=(Ö2)–1=0,4142135;

Vi antar

a = 2 som ger

x = Ö3,5 = 1,8708286

y = (a+1=3)/Ö2 – 1 = 1,1213203

tanC = d/x = (y+r+Cf=Ö12,5)/x =Ö 12,5/3,5 = 1,8898223; C = 62,114433°

sinB = x/a = (Ö3,5)/2 = 0,9354143; B = 20,704811°

(B+C)/2 = 41,409622°

tanT = x/(r+y) = (Ö3,5)/(3/Ö2) = (Ö7)/3 = 0,8819171;

T = 41,409622°

Och som vi ser stämmer de antagna likheterna utomordentligt.

RESULTAT:

Hyperbelns tangentlinje T delar tydligen hyperbeldistanserna ac i två lika vinkelrum (A°). Det betyder att ljus som riktas utifrån och in mot ena hyperbelns fokuspunkt reflekteras av hyperbeln mot den andra hyperbelgrenens fokuspunkt. Det är här inte bekant vilken praktisk tillämpbarhet denna originella reflexionstyp besitter.

Kommentar:

Det är här inte känt om det finns något (enkelt) motsvarande rent algebraiskt samband som bevisar hyperbelns reflektiva egenskap.

Cirkulärt interfererande egenskaper

ELLIPSEN OCH HYPERBELN GENOM CIRKULÄR INTERFERENS

Speciellt för hyperbeln i nedanstående interferensmönster beskrivs utförligt i Ljusets Interferens hur ljusets våglängd kan grovberäknas med mycket enkla (helt primitiva) medel.

Studera den högra illustrationsbilden från mitten: Formen av en ellips framträder tydligt med växande omfång. Rätvinkligt ellipsens formkurva ser vi också tydliga hyperboliska formationer. Matematiken för dessa ansluter till samma karaktär som visas i perceptionsanalysen. Se även mera utförligt i Vattenvågornas Interferensmönster. Antalet hyperboliska stråk varierar med våglängden (intervallet mellan cirklarna) och avståndet mellan fokuspunkterna och kan användas för enkla beräkningar i elementära studier av ljusets vågnatur.

Genom ellipsens och hyperbelns karaktärer som summerande eller subtraherande en konstant bildas motsvarande förutsättning för ellipsbildning och hyperbelbildning genom två knippen koncentriska cirklar, figuren ovan. Speciellt hyperbelns framträdande ur interferenserna är användbart i fysiken i studiet av ljusets vågnatur. Denna del finns nu (från 2008XII5) i särskild framställning i Vattenvågornas Interferensmönster.

PARABELN

Även parabeln har interferenskriterium — men det är (tydligen) inte lika känt som i fallet ellips-hyperbel.

Den Ungerska webbsidan (2008-12-03)

[http://www.komal.hu/cikkek/dandelin/dandelin.e.shtml] datumreferens saknas,

KöMal — Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools, Conics and Dandelin Spheres, Rita Kós

visar principen och uppslaget till illustrationen nedan,

Parabelns interferensekvivalent består av koncentriska cirklar och parallella linjer, vänster. Interferenskriteriet framgår redan ur parabelns karaktär genom att fokusdistansens ekvivalent (P.F=P.L) tillväxer parallellt med parabelns y-axel. Därmed kan tillväxten ställas ekvivalent på ett givet tillskott (D) — som därmed omfattar både linjeintervallet och cirkelintervallet. Skärningarna framkallar alltså parabeln. Illustrationen höger visar hur de successiva parabelkurvorna framträder med växande fokuslängd (f).

Interferensen som framkallar parabeln ges elementärt av ett koncentriskt cirkelknippe tillsammans med ett knippe parallella ekvidistanta linjer med samma intervall som de koncentriska cirklarna. Denna detalj är redan uppenbar genom parabelns karaktär (P.F = P.L = c); eftersom P.L alltid tillväxer i normal till parabelns x-axel kan den tillväxten också ställas på ekvidistanta tillväxtintervall (D), analogt de parallella linjerna och därmed även de koncentriska cirklarna med samma intervall.

CEPH-ekvationen | Koniska sektioner på webben

KONISKA SEKTIONER PÅ WEBBEN

Kommentar till en del webbkällor:

En del webbkällor som beskriver motsvarande ellipsens karaktär via Dandelinsfärer brukar använda enbart punkterna Q1.F1.P.F.Q — naturligtvis i tanken att »förenkla beskrivningen»;

man inför då snittplanet (ovan vänster, se även illustrationen i ellipsens karaktär) A.A1 i KONEN O.Z1.V1 mellan Dandelinkloten övre-undre och postulerar att snittplanet rör vid de bägge Dandelinkloten i punkterna F.F1. Med den förutsättningen blir det sedan enkelt att påpeka — med perceptionsanalysen underförstådd men inte direkt förtydligad — att P.F=PQ=c och P.Q1=P.F1=d och att summan av dessa är konstant Q.Q1=2b. HUR fokuspunkterna F.F1 sammanhänger med den konstruktionen klargörs dock inte närmare.

Se exv. enda svenska webbkällan som enligt Google innehåller ordet Dandelinsfär,

[http://www.hh.se/download/1872626a1811b3f5b0bee8000142700/kegelsnitt.pdf] s19-20,

KÄGELSNITT (ANDRAGRADSKURVOR), Högskolan i Halmstad (författare och datum saknas)

Det svenska utbudet är generellt (utöver ovan) ytterst magert. Den enda reguljära svenska matematikkällan i ämnet koniska sektioner verkar vara

[http://matmin.kevius.com/kagelsnitt.php] datum saknas,

Matematik minimum — Terminologi, Bruno Kevius

Mitt uppslag till den här illustrerade sammanställningen (från 1987) kommer från boken LÄROBOK I GEOMETRI, DEL I, F. Carlsson 1943/1946. Boken använder Dandelinsfärer och ger sambanden, men utan källuppgifter och utan något omnämnande i koppling till begreppet ”perceptionsanalys”. Termen ”perceptionsanalys” blev min egen spontana omskrivning i ämnets reflexion genom Carlssons bok, samt insikten om att själva typbeskrivningen (med klotens hjälp) är det rätta sättet om det gäller en elementär beskrivning utan komplicerad algebra.

Utan kännedom om Dandelin (1822) som upphovsmannen bakom resonemangen kan man tro att urkunderna sträcker sig åtskilligt långt tillbaka i tiden med tanke på principens enkla form. Först nu (November 2008), i samband med den här presentationen har emellertid upphovsmannen Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) kommit i dagen (i min referens via Wikipedia, se Germinal Pierre Dandelin).

Den engelska delen däremot är desto mera rikt representerad (se »conic section» på t.ex. Google).

Nedan följer en mera omfattande (men ändå kortfattad översiktlig) resultatöversikt från en genomgång av utbudet på webben i ämnet matematikens fyra grundkurvor (December 2008).

WEBBESKRIVNINGAR VIA INTERFERENSMÖNSTER

— ellipser och hyperbler via koncentriska cirkelknippen

Webbkällor som (December 2008) beskriver framträdandet av ellipser och hyperbler via koncentriska cirkelknippen:

INTERAKTIV SVENSK (översatt) animerad illustration av hyperbelbildningen (men inte ellipsformen) via cirkulär interferens;

[http://www.walter-fendt.de/ph14se/interference_se.htm] Last modification: January 18, 2003, 2008-12-03

Interferens mellan två cirkulära eller sfäriska vågor,

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14se/interference_se.htm

I övrigt är det (ytterst) tunnsått med svenska beskrivningar i ämnet — tyvärr ett alltför ofta förekommande konstaterande i kunskapssammanhang i Sverige.

— För att göra jämförelsen rättvis har jag dock inte kollat upp hur det är i t.ex. Tyskland. Vilket vill säga; det är möjligen (minst) lika illa ställt där. Osv. (utom England).

ENGELSK BESKRIVNING, utomordentligt tydligt beskrivande även för parabelns del via interferensmönster;

[http://www.komal.hu/cikkek/dandelin/dandelin.e.shtml] datumreferens saknas,

KöMal — Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools, Conics and Dandelin spheres,

Hungarian Ministry of Education and Culture, Rita Kós

Webbkällan nedan beskriver väl våginterferensen — men utan att i artikeln alls omnämna orden ellips eller hyperbel. Dessa ord finns inte ens med;

[http://www.glenbrook.k12.il.us/GBSSCI/PHYS/CLASS/light/u12l1b.html] 2008-12-03

WIKIPEDIA, artikeln nedan, uppvisar flera olika typbeskrivningar — men ordet ellip… finns inte med; Ordet hyperbolic omnämns — en gång i samband med mönsterbeskrivningen; En stor och tydlig interferensbild ellipser-hyperbler finns också,

[http://en.wikipedia.org/wiki/Double-slit_experiment] 2008-12-03;

@INTERNET Wikipedia Double-slit experiment

Också på webbsidan

[http://www.physicsclassroom.com/Class/light/u12l3a.cfm]

beskrivs interferensen (noga) illustrerat — men inte heller här förekommer ordet ellip…, men väl ordet hyperbola — en gång.

Den här webbsidan beskriver ämnet illustrerat — i tillbörliga termer — Bägge orden ellipse och hyperbola används, men parabelns interferensform finns inte med;

[http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/ConicSections_dir/conicSections.html],

Conic Sections, 1995-2008, Xah Lee

I övrigt finns inte heller så mycket mer att hitta i det ämnet på webben, engelska sektionen (Jag har begränsat genomletningen på webben via Google till koll på alla förekomsters artikelinnehåll inom max tre träffsidor för göra framställningen kortfattad).

WEBBESKRIVNINGAR AV REFLEXIONSEGENSKAPER

Webbkällor som (December 2008) beskriver framträdandet av reflexionsegenskaperna hos ellipsen, parabeln och hyperbeln

De olika reflektiva-optiska egenskaperna för ellips, parabel och hyperbel beskrivs (eller rättare sagt omnämns) f.ö. översiktligt illustrerat men utan vidare bevis eller ingående beskrivning i

[http://www.math.uu.se/~lal/kompendier/Vektorgeometri.pdf] s47,

VEKTORGEOMETRI och ANDRAGRADSYTOR, LarsÅke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet, 2000.

Parabelns reflektiva egenskap,

[http://www.math.iupui.edu/m261vis/LMirror/parabola.html],

The Reflective Property of the Parabola,

från

[http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/emat6690/Insunit/parabola/parabola.html],

University of Georgia,

använder vektoralgebra för ”ett elegant bevis”.

— Man kan ta sig för pannan för mindre. Känner inte författarna till parabelns enkla geometriska tangentkonstruktion? Tydligen inte.

I övrigt verkar det vara tunnsått med beskrivande bidrag, engelska delen. Den svenska delen verkar, som redan omnämnts, i stort sett orepresenterad.

Ellipsens reflektiva egenskap är desto mera representerad på webben — på engelska.

ETT svenskt exempel hittades — men det är rent bedrövligt;

Ellipsens reflektivitet omnämns s23 i

[http://www.hh.se/download/18.72626a1811b3f5b0bee8000142700/kegelsnitt.pdf] (författare och datum saknas);

HÖGSKOLAN I HALMSTAD (hittat separat via [www.hh.se]);

Författaren framställer ”bevis”, men det är inte klart vad författaren avser med det — om det gällde författarens diskussion i anslutning till DESCARTES BEVIS, eller om det var något ANNAT. Författaren verkar inte avhandla något annat än ett ”bevis” för att ellipsbågen håller endast en tangentpunkt åt gången.

— Författaren påstår

”Å andra sidan ger vinkelräkning att F’ ligger på linjen P.F2” — vilket just är bevisets centrala flaskhals: beviset går ut på att VISA ATT SÅ ÄR FALLET medan författaren bara helt sonika PÅSTÅR DET UTAN BEVIS ELLER KLARLÄGGANDE.

— Vilken ”vinkelräkning” avses?

Visa.

— Att ellipsens båge bara innehåller EN tangentpunkt åt gången är f.ö. ingen särskild angelägenhet att bevisa för ellipsens del; Den detaljen återfaller på cirkeln, och sedan vidare därifrån ellipsen (samt parabeln och hyperbeln) genom cirkelns projektiva utvidgning.

— Men som visas i BEVISET FÖR ELLIPSENS REFLEKTIVITET handlar saken inte bara om ellipsens tangent, utan även den omskrivna cirkelns tangent, bägge krävs för att klarlägga beviset, men denna detalj omnämns inte i Halmstadkällan ovan.

— Exemplet säger en del om kunskapsnivån, om inga allvarliga felgrepp har gjorts i den här framställningen.

För att hitta vidare beskrivningar på ellipsens reflektivitet är man (tydligen) hänvisad till andra språk:

Wolfram MATHWORLD på Ellipse,

[http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html],

omnämner visserligen ”Reflections” fokus-fokus, men ger ingen härledande beskrivning, endast en referens (”Hilbert and Cohn-Vossen 1999. p. 3”).

I ÖVRIGT VERKAR DET HELLER INTE FINNAS NÅGRA YTTERLIGARE ENGELSKA BIDRAG

— konstaterat efter genomletning på 4 av de 62 funna träffsidorna i »geometry of the ellipse» (2008XI29).

WEBBESKRIVNINGAR VIA KÄGELSNITT

Webbkällor som (December 2008) beskriver formkaraktärerna som sådana hos ellipsen, parabeln och hyperbeln

Denna del är (naturligtvis) den mest välrepresenterade i beskrivningen av främst kurvorna för ellips, parabel och hyperbel. EMELLERTID — vilket omnämndes från PERCEPTIONSANALYSEN, blir kägelsnitten eller DE KONISKA SEKTIONERNA verkligt begripliga FÖRST med förklaringen av den ”mekanism” som kägelsnitten visar sig innefatta — nämligen DANDELINS SFÄRER. Men inte alla ”kägelsnittsförfattare” inkluderar en samtidig beskrivning av — eller ens omnämner — Dandelins sfärer. SAMT i den mån så är fallet, återigen inte SÅ grundligt som den här framställningen blivit tillägnad, se från PERCEPTIONSANALYSEN.

[http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/ConicSections_dir/conicSections.html],

A Visual Dictionary of Special Plane Curves, 1995-2008, Xah Lee

— ger en allmänpresentation av de olika sätten som t.ex. ellips och hyperbel framträder på, inkluderat Dandelinsfärer, men beskrivningen ger ingen direkt klar och tydlig koppling till just en PERCEPTIONSANALYS — vilket vill säga: själva den klargörande begreppsliga bevisningen tappas bort.

Dandelins Sfärer beskrivs även på @ INTERNET Wikipedia Dandelin spheres

[http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres] 2008XI28,

Wikipedia Dandelin spheres,

med ellipsen som exempel; där finns också länkar till en del av de webbsidor som omnämnts här.

— Men inte heller i Wikiwebbkällan ovan finns någon uttalad koppling till att ämnet just beskriver en perceptiv analys (enligt sfäriska klotets geometri).

DANDELINSFÄRER omnämns också i den redan omnämnda svenska webbreferensen

[http://www.hh.se/download/18.72626a1811b3f5b0bee8000142700/kegelsnitt.pdf],

KÄGELSNITT (ANDRAGRADSKURVOR)

—Emellertid är (även här) presentationen helt fristående från PERCEPTIONSANALYSEN och dess förklarande detaljer.

En av illustrationerna i källan ovan (s20, men ingen källangivelse ges av författaren …) återfinns också på

[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/dandelin/index.asp],

Platonic realms — PRIME ARTICLES, Math Acadedmy Online.

DANDELINS BEVIS genomgås per i webbkällan

[http://www.liceomendrisio.ch/~marsan/matematica/materiale_vario/coniche/Dandelin/JDandelinEn.htm],

— samma delar finns f.ö. återgivna i Halmstadkällan som ovan.

Emellertid har källan bakat in s.k. ”applets” (specialprogram) men som inte verkar ha någon representation i innehållet (vad författarna menar här blir en delvis kaotisk röra).

— Ett exempel på hur en presentation kan bli betydligt mera komplicerad än den är.

Dandelin Spheres beskrivs även på

[http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html],

Wolfram MATHWORLD (-2008),

— illustrerat med ellipsen som exempel, men ingen koppling till någon ”perceptionsanalys” ges där heller.

Omfattande algebraiska samband som beskriver de koniska sektionerna finns (2008-11-28) bl.a. på

Wikipedia Conic section

[http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html].

Wolfram MATHWORLD

[http://math2.org/math/algebra/conics.htm].

Math2.org Math Tables: Conic Sections

[http://mathdemos.gcsu.edu/mathdemos/family_of_functions/conic_gallery.html],

Conic Section Gallery

Den svenska MATEMATIKLEXIKONKÄLLAN

[http://matmin.kevius.com/index.php]

Matematik minimum - Terminologi, Bruno Kevius (datum saknas)

omnämner inte Dandelin överhuvudtaget, men ger i övrigt en relativt uttömmande allmän översikt av de koniska sektionernas allmänna matematik.

RESUMÉ WEBBEN December 2008 CEPH

— Det finns (veterligt, ännu) ingen heltäckande webbkälla som ensam tar upp alla aspekter på matematikens fyra grundkurvor cirkeln, ellipsen, parabeln och hyperbeln. För att få en sådan översikt måste vi (än så länge och med referens till ovanstående allmänna men [mycket] kortfattade och översiktliga genomgång) bläddra mellan olika (många) webbkällor — och dessutom sett över flera (många) olika språk. Förhoppningsvis (men utan angiven organisation) uppvisar de ovannämnda webbsidorna allt vi behöver veta i ämnet — då frånsett genomgången med de olika RITINSTRUMENT som kan användas för att få fram kurvformerna rent praktiskt på papperet. Också den delen är omfattande, men har inte alls tagits med i den här presentationen.

CEPH-ekvationen

innehåll: SÖK på denna sida Ctrl+F · sök alla ämnesord överallt i SAKREGISTER · förteckning över alla webbsidor

CEPH-ekvationen

ämnesrubriker

innehåll

CEPHekvationen

inledande kort beskrivning

CEPH-EKVATIONEN

SATELLITERNAS ELEMENTÄRA OMLOPPSBANOR

CEPH-ekvationen på webben

Härledning

ELLIPSENS ANSLUTNING TILL KEPLERMOMENTET

Ytmomentet i ellipsen

ELLIPSENS KOPPLING TILL GRAVITATIONEN

TILLÄMPNING — avståndet till Månen

Keplers tre lagar

Elliptiska omloppsbanor

ELLIPSBANOR UNDER CENTRALKRAFTSVERKAN

Ekvationstablå Ellipsbanorna

Ellipsbanorna från deras gemensamma masscentrum

CEPH-ekvationen

CEPH-ekvationen framträder

Exempel

CEPH-kurvorna och deras tangenter — cirkelns planprojektiva utvidgning

KÄLLVERK

PERCEPTIONSANALYSEN — koniska sektionerna — Dandelinsfärerna

Inledande beskrivning

Dandelinsfär, historisk referens

Parabeln

Ellipsen

Hyperbeln

REFLEKTIVA EGENSKAPER — parabeln, ellipsen hyperbeln

Parabeln

Ellipsen

Hyperbeln

INTERFERERANDE EGENSKAPER — ellipsen, hyperbeln, parabeln

Ellipsen och hyperbeln

Parabeln

Koniska sektioner på webben

referenser

[HOP]. HANDBOOK OF PHYSICS, E. U. Condon, McGraw-Hill 1967

Atomviktstabellen i HOP allmän referens i denna presentation, Table 2.1 s9–65—9–86.

m_n = 1,0086652u ...................... neutronmassan i atomära massenheter (u) [HOP Table 2.1 s9–65]

m_e = 0,000548598u .................. elektronmassan i atomära massenheter (u) [HOP Table 10.3 s7–155 för m_e , Table 1.4 s7–27 för u]

u = 1,66043 t27 KG .............. atomära massenheten [HOP Table 1.4 s7–27, 1967]

u = 1,66033 t27 KG .............. atomära massenheten [ENCARTA 99 Molecular Weight]

u = 1,66041 t27 KG ............... atomära massenheten [FOCUS MATERIEN 1975 s124sp1mn]

u = 1,66053886 t27 KG ........ atomära massenheten [teknisk kalkylator, lista med konstanter SHARP EL-506W (2005)]

u = 1,6605402 t27 KG .......... atomära massenheten [@INTERNET (2007) sv. Wikipedia]

u = 1,660538782 t27 KG ...... atomära massenheten [från www.sizes.com],

CODATA rekommendation från 2006 med toleransen ±0,000 000 083 t27 KG (Committe on Data for Science and Technology)]

c₀ = 2,99792458 T8 M/S ........ ljushastigheten i vakuum [ENCARTA 99 Light, Velocity, (uppmättes i början på 1970-talet)]

h = 6,62559 t34 JS ................. Plancks konstant [HOP s7–155]

[BA]. BONNIERS ASTRONOMI 1978

— Det internationella standardverket om universum sammanställt vid universitetet i Cambridge, The Cambridge Encyclopaedia of Astronomy, London 1977.

[FM]. FOCUS MATERIEN 1975

[BKL]. BONNIERS KONVERSATIONS LEXIKON, 12 band A(1922)-Ö(1928) med SUPPLEMENT A-Ö(1929)

t för 10^–, T för 10⁺, förenklade exponentbeteckningar

TNED (Toroid Nuclear Electromechanical Dynamics), eller Toroidnukleära Elektromekaniska Dynamiken är den dynamiskt ekvivalenta resultatbeskrivning som följer av härledningarna i Planckringen h=m_nc₀r_n, analogt Atomkärnans Härledning. Beskrivningen enligt TNED är relaterad, vilket innebär: alla, samtliga, detaljer gör anspråk på att vara fullständigt logiskt förklarbara och begripliga, eller så inte alls. Med TNED förstås (således) också RELATERAD FYSIK OCH MATEMATIK. Se även uppkomsten av termen TNED i Atomkärnans Härledning.

Senast uppdaterade version: 2022-12-09

*END.

Stavningskontrollerat 2008-11-26.

rester

åter till portalsidan · portalsidan är www.UniversumsHistoria.se

PNG-justerad 2011-10-10

åter till portalsidan · portalsidan är www.UniversumsHistoria.se