GRUNDMATEMATIKEN 1 2008IV29 a BellDHARMA production  |  Senast uppdaterade version: 2011-07-18 · Universums Historia

 

innehåll denna sida · webbSÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i SAKREGISTER  ·  förteckning över alla webbsidor

 

 

 

Grundmatematiken |  Den Komplexa Algebran-Geometrin

 

 

DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

 

 

 

 

 

KomplexALGEBRA 2005XI8 | MPcExempel 2003XII6

 

 

H-trianglarna

IMAGINÄRA ENHETEN i

genom Cheops Rektangel

 

Cheops Rektangel med 2r=t+b och r=x+t

 

VINKELSUMMATEOREMET visar att komponentuppdelningarna i xy gömmer en avancerad metodkomponent en komponentuppdelare. Genom att närmare studera hur vinkelsummeringen går till i detalj finner vi den som en inneboende komponentidentifierare. Den följande beskrivningen med harmoniska trianglar ger en konkret illustration.

 

HARMONISKA TRIANGLAR (H) är rätvinkliga trianglar xyr vars alla sidor består av hela tal

(1, 2, 3, 4, 5, … N). De kallas konventionellt »tripletter». Deras grundform härleds ur Cheops Rektangel y2=bt [från y/t=b/y] enligt

 

             y2=(2r–t)t=bt=(2[x+t]–t)t=(2x+t)t. Med t=1 erhåller man y2=(2x+1)=b=N2 ;

             y=N ;  x=(y21)/2 ;  r=x+1  ........................................    harmoniska trianglarna

 

Grundtabell för H-trianglarna

 

y=N

1

2

4

3

4

8

5

6

12

7

8

16

9

x

0

1,5

3

4

7,5

15

12

17,5

35

24

31,5

63

40

r

1

2,5

5

5

8,5

17

13

18,5

37

25

32,5

65

41

 

Udda N (1, 3, 5, 7, 9, …) ger H-tringlar direkt. Jämna N (2, 4, 6, 8, …) kräver en dubblering. SUMMAN av två H-trianglar Ha+Hb resulterar i en tredje H-triangel Hc enligt

             x=(x1x2–y1y2) ;  y=(y1x2+x1y2) ;  r=r1r2(=)D1+D2  ...............        vinkelsummateoremet

 

Exempel:

 

 

(H5xyr)1

+(H4xyr)2

= (Hxyr)3

(12;5;13)H5

+(15;8;17)H4

= (140;171;221)H

 

Om vi utnyttjar ovanstående enkla grundtabell för H-trianglarna och på dem tillämpar vektorproduktens ekvivalent r1r2 från vinkelsummateoremet ovan på två likadana trianglar kan vi studera komponentuppdelningen på ett mycket enkelt sätt.

Vi ser nämligen att summan av två H3 via r1r2 ger H7 enligt

 

             (H3xyr) + (H3xyr) = rH32 = 25, = rH7 = (x24; y7; r25)

 

Produkten r1r2=rH32 via Pythagoras sats är [(x2+y2)1/2]2=x2+y2. Vinkelsummateoremet med (xy)1=(xy)2=(xy)H3 visar oss de motsvarande komponenterna

 

             xH7                    yH7

             x2–y2                 2xy

 

Vi känner igen typen från första binomlagen. Om vi jämför dess motsvarande (x+y)2 får vi

 

             x2+y2                 +2xy

 

Likheten är onekligen slående. Om vi fortsätter undersökningen genom att addera ytterligare en H3 till summan ovan, och sedan ytterligare en H3 successivt, finner vi den ordning som tabellen nedan beskriver. Vi får naturligtvis samma resultat oberoende av vilken H-triangel (eller annan typ) vi väljer eftersom vi här endast studerar den algebraiska sammansättningen.

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

vinkelsummateoremets termer:

TABELL FÖR SUMMERING AV LIKA H-TRIANGLAR

 

x

y

summa lika H-trianglar

x

y

             1

x2 y2

2xy

             2

x3 3xy2

3x2y – y3

             3

x4 6x2y2 + y4

4x3y – 4xy3

             4

x5 10x3y2 + 5xy4

5x4y – 10x2y3 + y5

             5

 

binompotensernas termer till jämförelse:

 

x

+ y

(x+y)1

x2 + y2

+ 2xy

(x+y)2

x3 + 3xy2

+ 3x2y + y3

(x+y)3

x4 + 6x2y2 + y4

+ 4x3y + 4xy3

(x+y)4

x5 + 10x3y2 + 5xy4

+ 5x4y + 10x2y3 + y5

(x+y)5

 

 

Som vi ser är koefficienter (talvärdena framför xy) och potenser (eg. exponentvärdena) helt identiska. Enda skillnaden är att polariteterna är annorlunda tydligen efter ett visst bestämt mönster. Den enkla slutsatsen är alltså att det ser ut som att binompotenserna skulle kunna användas som ekvivalenter till vinkelsummateoremet. Eller rättare sagt: det ser ut som att vinkelsummateoremet innefattar binompotenserna i sig;

 

rH1-pinnen

 

Titta på H1-triangeln. (x0; y1; r1);

 

Den finns alltid med (för oss gömd) i alla y-komponenter från början eftersom den i vilket fall alltid har enhetsvektorn 1. Den syns alltså aldrig. Men den verkar. Vänta bara ska du få se.

   Om vi sätter in H1-triangeln i uppställningen för summan av lika H-trianglar ovan finner vi hela hemligheten med den gåtfulla kopplingen mellan vinkelsummateoremet och binompotenserna. Nämligen med rH1 som en teckenväxlare och y-koordinat-identifierare.

 

x

 

y

summa rH1-trianglar

rH1-vektorns egenmultiplikation

  0

.................

  1

1

r1 =

1

  rH1

y-bunden

–1

.................

  0

2

r2 =  

–1

–1

x-bunden

  0

.................

–1

3

r3 =

–1

–rH1

y-bunden

  1

.................

  0

4

r4 =

1

  1

x-bunden

  0

.................

  1

5

r5 =

r1

  rH1

y-bunden

 

Ordningen avbildar xy-koordinaterna för rH1-pinnen i steg om exakt 90° i moturs rotation för varje summering enligt schemat

 

                                     

 

med ändpunkten i koordinaterna xy enligt

 

                                           0 ; 1          1 ; 0          0 ; 1           1 ; 0                    

 

Om vi på prov genomför en summering med en godtycklig triangel (H) och H1, finner vi också att hela H vrids moturs, alltså vinkelmässigt korrekt positivt, ett 90°-steg för varje H1-summering. Den automatiska komponentuppdelningen som vinkelsummateoremet uppvisar och som växlar mellan xy-axlarna är därmed, tydligen, identifierad. Vi kan studera saken på närmare håll om vi går tillbaka till tabellen för summeringen av lika H-trianglar. Om vi studerar den ordningen kan vi nu närmare se en återspegling av hur rH1 sicksackar y-x–y-x-y–… med sin vektoretta, som dessutom växlar tecken varannan gång i sin komponent. Vi ser därmed också nu tydligare hur rH1 flyttar över fokus till xy-sidorna enligt

+yY, –y2x, –y3Y, +y4x, +y5Y, –y6x, … och så vidare.

 

SLUTSATS:

 

Om vi tar vara på denna tydliga naturvink, kan vi alltså lika gärna härma det automatiska beteendet hos rH1 genom att helt enkelt explicit associera den med alla y-komponenter i binompotenserna (x+y)n enligt rH1y — som ger härmningen eller metoden r=(x+rH1y)n och sedan tillämpa ovanstående lagbundenhet på resultatet. Det är hela hjärtats hemlighet med den s.k. komplexa algebran.

 

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

 

Rollen för rH1 som glänsande komponentidentifierare innebär alltså att den associerar sig med y, inte x, i grundläget eftersom rH1 inte har någon x-komponent där. Av samma skäl är den låst vid y i motsatt läge, alltså motsvarande (rH1)3. För alla övriga fall försvinner den, rH11, vilket säkerställer att vektorsummeringen med y-delarna tillsammans med x-delarna i de lägena fungerar.

 

rH1-pinnen är alltså ingen uppfinning av någon person eller institution utan — tydligen — en i mönstergeometrins struktur inneboende matematisk logisk motor.

 

   Ovanstående observationer betyder nu endast, om vi förstått saken rätt, att om vi sätter ihop rH1 tillsammans med y och iakttar nämnda ordning rH1 står till tjänst med ±1 om den befinner sig i x-axeln och endast dåkommer ingenting annat att inträffa än det som vi redan observerat redan finns inneboende i komplexet. Det vill säga, vi skulle då ha lockat ut den underbara anden ur flaskan för att bereda oss nytta enligt den följande ordningen.

 

Vi sätter i för metodidentifieraren eller den komplexa enheten rH1

 

             rH1 = i  .................       

(komponent-) metodidentifieraren, komplexa enheten/identifieraren (även benämnd imaginära enheten)

 

Vektorpotenserna (rH1)n, motsvarande de successiva 90°-vridningarna, lyder då som ovan ordningen

i0=1, i1=i, i2=–1, i3=–i=i–1, i4=i0=1, i5=i1=i, och så vidare i all oändlighet. Vi kan alltid subtrahera periodtalet 4 från i-exponenten, resultatet stämmer alltid ändå.

Om vi utnyttjar mod-operatorn

[n mod 4 ger för godtyckliga hela tal n alltid 0, 1, 2, eller 3, mod-operatorn härrör från den mäktiga divisionsalgoritmen som en kvots rest] kan vi återföra alla möjliga heltalsvärden n för i-potenserna på formen inmod4 motsvarande kvadrantrotationerna i0, i1, i2, i3.

 

För att uttrycka komponenterna tillsammans med metodidentifieraren i skriver vi alltså metoden

 

     r = x+iy  ................... = Öx2+y2

                   komplexa algebran                                                         Pythagoras sats

 

 

Därmed kan nu den komplexa enhetens definition preciseras exakt enligt följande.

 

Definition av komplex kvantitet

— i är inget tal (Jämför den moderna akademins lärostoff i ämnet); i är en METODIDENTIFIERARE med i=(0;1):

 

 

en komplex kvantitet r är ENLIGT RELATERAD MATEMATIK — sättet vi använder r på — en hypomängd (hypotenusa) i dess Pythagoreiska (rektangulära) form Ö a2+b2 som är formateradmetodidentifieraren (i) i a+ib (även »den komplexa formen»), således inkluderande xy-axlarna men inte deras paralleller

0+ib = (0;y)Y-KOMPONENT = Ö 02+b2
och

a+i0 = (x;0)X-KOMPONENT = Ö a2+02

 

 

Därmed kan vi fritt behandla alla komponenter i grundformen precis så som vi sett att rH1-pinnen arbetar. Vi kan fritt summera, addera, dividera och subtrahera och utföra alla övriga operationer på i-tecknade (dvs., komplexa) matematiska uttryck. Kvantiteten x+iy kommer alltså att på vanligt sätt motsvara den Pythagoreiska hyposidan Ö(x2+y2) från matematikens fem grundlagar.

 

Nu kollar vi om allt stämmer: vi ska testa genom att multiplicera vektorerna r1r2 enligt de simpla ekvivalenterna (x1+iy1)(x2+iy2). Om vi har hittat rätt, ska vi få självaste vinkelsummateoremet i slutänden! Vi får

 

                         r           = (x1+iy1)(x2+iy2)

                                      = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + iy1iy2    

                                      = x1x2+ i(x1y2+y1x2) + i2(y1y2)   ;

                         Med i2=–1 har vi alltså                          

                                      = x1x2 + i(x1y2+y1x2) – y1y2

                         och därmed                                            

                                      = x1x2–y1y2 + i(x1y2+y1x2)          ;

                         r           =        x      +       iy                    ;

                         x           = (x1x2 – y1y2)

                          y           = (x1y2 + y1x2)

 

Med andra ord:

 

Exakt samma resultat som i hela utvecklingen till vinkelsummateoremet på tre rader. Här kan man tala om effektivitet.

Styrkan hos metodidentifieraren, eller komponentorganisatören rH1 är (alltså, på sitt sätt) närmast oerhörd.

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

 

Sammanfattning

DEN KOMPLEXA ENHETEN rH1= i

 

 

Vinkelsummateoremet rnÛna; x=x1x2–y1y2; y=x1y2+y1x2; r=r1r2 — visar att xy-komponenterna i summeringen av växande antal lika trianglar (xyr) beskriver binompotensernas koefficienter (x+y)n.

Skillnaden består endast i en ordnad teckenväxling vars motorik kan återföras på den harmoniska elementära H1-triangelns (x0; y1; r1) stegvisa kvadrantrotation (in). Vi igenkänner därför H1-triangeln rH1 = i som en xy-komponentuppdelande metodidentifierare även  benämnd komplexa enheten eller (från 1500-talet) imaginära enheten betecknad i (från slutet av 1700-talet, se även längre ner i Historia). Den komplexa enheten (i) associeras med y-termer i xy-planet enligt r=x+iy=Ö x2+y2. Innebörden av i i de fyra kvadranterna ger via rnÛna

            

                         i0=1, i1=i, i2=–1, i3=–i=i–1, i4=i0=1

 

Vinkelsummateoremet med r=(x+iy) ger utvidgat rn=(x+iy)n Û na.

Tillsammans med sambanden i Resultatredovisning för vinkelsummateoremet, xn/rn=sinna och yn/rn=cosna med rn=rn, får vi alltså även

rn = (xn+iyn) = rn. Med (x + iy)n/rn ges vidare ekvivalent [(x + iy)/r]n=(x/r + iy/r)n.

Dessa samband används (se nedan) explicit för härledningen till serierna för sinus och cosinus med den komplexa metodidentifierarens hjälp.

 

 

Den komplexa algebrans fullständiga nomenklatur framkommer först med härledningen till serierna för sinus och cosinus med rH1-pinnens hjälp — där vidare samband för den komplexa algebran innefattas. Vi studerar hur med början från Serierna för Sinus och Cosinus via i.

 

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN  2005XI9

 

sinus och cosinus serier

 

Se även motsvarande härledning till Serierna för Sinus och Cosinus utan hjälp av i

Härledningen till

Serierna för sinus och cosinus via i

 

 

SAMMANSTÄLLNING i PREFIXxSIN

 

— Varför är ”serierna för sinus och cosinus” viktiga?

— När de elektroniska kalkylatorerna började komma ut på markanden i slutet av 1970-talet, berodde deras popularitet just (främst) på bekvämligheten att slippa slå i (dryga) tabeller för att få fram konkreta värden i trigonometriska beräkningar; Man behövde nu bara ”trycka på knappen” med SIN eller COS så var allt klart i en hast. Serierna för sinus och cosinus (och många flera) bildar i varje fall den datoriserade grundvalen för varje mera avancerad teknisk tillämpning. ANIMERINGAR, till exempel, (generellt 3D-geometrin) vore helt omöjlig utan en datoriserad grund med sinus-cosinus-beräkningar (objektens rotation).

 

Vinkelsummateoremet rn=(xn+iyn)=rnÛna med likvärdiga n · a = ¥ · dA=ò dA=A ger oss direkt

 

(x/r + iy/r)n       = (sina + icosa)n

                         = (x + iy)n/rn

                         = [(xn+iyn)=rn]/rn

                         = xn/rn + iyn/rn

                         = sinna + icosna = 1 = Ö (sin na)2+(cos na)2 = Ö sin2na + cos2na

 

Med slutvinkeln na=¥dA=ò dA=A med överförda beteckningar na:=¥da=ò da=ages

             x = sin[daÛ0] = 1,

             y = cosda = daÛ0.

Och alltså är

             (sinda + icosda)¥=(1+ida)¥ = (1+ia/¥)¥ = sin¥da + icos¥da = sina + icosa

 

Exponentialekvivalenterna — Eulers ekvivalenter från utvecklingen av logaritmderivatan enligt positionsformen i nollformsalgebran med den mängdoberoende ¥ sammanför ovanstående med den naturliga logaritmbasen e och därigenom med binomialteoremet (BT) enligt

             (1+x/¥)¥=(1+1/¥)¥x    = ex  .....................................     Eulers ekvivalenter ;  Således

(1+ia/¥)¥=(+1/¥)¥ia = eia som ger oss

(1+ida)¥ = (1+1/¥)¥ia = eia = sina + icosa  ........................     Eulers formel,

                                                                                                     a=p ger f.ö. eip=–1=i2 analogt ep/2=i1/i=ii

som via BT ger

                                                       m®¥

                         eia        =          1+å [ia]m!/[m+1]!

                                                       m=0

med upplösningen i de bägge komponenterna

                                                       m®¥                     m®¥

                          eia        =          1+å [ia]2m/2m! +  å [ia]2m–1/(2m–1)! = 1

                                                       m=1                                  m=1

som i beaktande av i0=1, i1=i, i2=–1, i3=–i=i–1, i4=i0=1 … som innebär att

alla i2,4,6…= – + – + … och alla i3,5,7…= ii2,4,6… = i( + – + …)

                                                     m®¥

ger                                  =          1+å(–1)ma2m/2m!  ...................................................    sinusdelen, x

                                                        m=1

med serien        sina = 1 a2/2! + a4/4! a6/6! + a8/8! a10/10! + a12/12!   i S-delen

                                                      m®¥

och                                +          i ·å(1)m+1a2m–1/(2m–1)!  ....................................      cosinusdelen, iy

                                                       m=1

med serien        cosa = a a3/3! + a5/5! a7/7! + a9/9! a11/11! + a13/13! … i S-delen

 

enligt PREFIXxSIN med a i radianer.

Serierna konvergerar ytterst snabbt med praktiskt taget en korrekt decimal per beräknad delterm.

 

imaginärtrigonometriska grundsambanden

 

sini och cosi

 

Med alla i2,4,6…= – + – + … och alla i3,5,7…= ii2,4,6… = i( + – + …) framgår att den komplext tecknade vinkeln ia ger seriernas absolutvärden (alla tecken positiva) enligt imaginärtrigonometriska sambanden (se vidare nedan i Imaginärtrigonometriska funktionerna)

sin ia = sini a = (ea+ea)/2 och cos ia = i cosi a = i(ea–ea)/2 med  sini a + cosi a = ea.

 

Konventionellt skrivs

sini som sinh och cosi som cosh

 

med benämningen »hyperboliska» funktioner — typformen

1 = (sini a)2(cosi a)2

till skillnad från den goniometriska typformen

1 = (sin a)2 + (cos a)2.

 

Dessa begrepp (och deras historia) beskrivs mera utförligt längre fram i Imaginärtrigonometriska funktionerna.

 

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

historia

 

Se även i Historisk referens till Eulers Ekvivalenter

HISTORIA

LEONHARD EULER (1707-1783) SOM DEN EXAKTA MATEMATIKENS BANEMAN

 

Enligt MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s110sp2ö var det Leonhard Euler som (efter flera hundra års bekantskap med »imaginära tal») införde beteckningen i=Ö1 år 1777. Euler betraktas enligt källan som banemannen i ”den moderna analysen”. Men det märkliga är, att Eulers väsentliga föreställningar om analysen (”funktionslära” enligt Euler, MLs131sp2ö) övergavs för helt andra företräden under 1800-talet (från Eulers funktion=analytiskt uttryck till Cauchys och Dirichlets avbildningsbegrepp [1837]). Snarare än en plats i den moderna akademins historia bör alltså Euler ha sin självskrivna plats i utvecklingen och upptäckterna av matematiken som exakt vetenskap. Eulers funktionsbegrepp är nämligen det rätta — betydligt mera djupgående än den moderna akademins ytterst ytliga föreställningar: Vi har tidigare t.ex. studerat definitionen av intervall, integral och punkt och som vi nu vet modern akademi INTE kan härleda utan måste uppfinna.

 

Mina egna matematiska referenser från utomstående under min egen matematiska utvecklingshistoria (i stort sett genomgående under 1980-talet) är ytterst magra — i jämförelse med de jättelokaler som tillhandahålls av inrättningar typ universitetsbibliotek. Mina egna referenser inskränker sig här till vad varje innevånare kan finna i sitt stadsbibliotek — som för den delen har en bra täckning sett till det allmänt etablerade utbudet. Se vidare i Allmänna referenser till Matematiklitteraturen. För min del sökte jag själv FÖRST de elementära härledningarna på egen hand för att därefter eftersöka etablerade källor till jämförelse. Inte sällan med upptäckten att väsentliga partier saknas i den etablerade litteraturen.

 

På senare tid (90-talet) kom MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 som ger en del referenser för den etablerade matematikens kännedom (dock utom högskolenivå). Först sedan jag själv upptäckt den mängdoberoendes (¥) viktiga grund, upptäckte jag i MATEMATIKLEXIKON artiklar som ger en del referat från Leonhard Eulers arbeten (från 1748) — och som visar tydliga paralleller. Tyvärr ger inte källan någon exakt redovisning av Eulers utsagor. Källan anger t.ex. på sidan 110 ett skrivsätt ”w=x/i” som sägs vara Eulers med ”i” i mening ”oändligt stort tal”. Källan beskriver inte denna detalj vidare, om det är källans tolkning, eller Eulers explicita mening, eller hur Euler resonerade i saken. Essensen av sambanden i de Eulerskt presenterade teckningarna är dock densamma som i den relaterade matematiken med den mängdoberoende enligt motsvarande w=x/¥=dx.

 

Källan anger (s110sp2ö) ”E. skriver aw=(1+kw)”, vilket närmast för vår del motsvarar

edx=(1+dx)=ex/¥=(1+x/¥), och därmed (1+x/¥)¥ = ex, vilket är helt korrekt (Se Beviset för e). Det är alltså av det skälet uppenbart att Euler synes ha varit VÄL förtrogen med (den praktiska sidan av) den mängdoberoendes inflytande. Innebörden av ¥ har emellertid aldrig kommit fram i den moderna akademins lärosystem, och därmed har även beskrivningen av Eulers samband tappat den förklarande kärnans essens.

 

Euler uppvisar genom källan ovan flera bevis på sin förtrogenhet (funktionsbegreppet). Men dessa banbrytande idéer övergavs under 1800-talet — med dess berömda allmänna omdaning av logiken.

 

Jämför — i analogi med Eulers galant enkla och tydliga funktionsbegrepp (för vidare analys):

 

FUNKTION:

 

·          allt utom konstanter;

·          allt som från en godtycklig punkt P har en entydig utsträckning

 

En konstant kan inte gestalta en variation.

En funktion (variation) blir därför analytisk genom att den kräver positionsformen dy/dx=y’.

Funktionskriteriet ansluter till UNIVERSALSATSEN*. Jämför –x/x=–1: |x| är INTE en funktion utan två.

ICKE-FUNKTION definieras som ett avbrott i funktionen.

 

*UNIVERSALSATSEN ingår ännu (Juli 2008) inte i den här presentationen, den tillhör den högre analysen med ekvationsläran (inkluderat funktionsbegreppet med talteorin ENLIGT RELATERAD MATEMATIK) och dess (mycket) omfattande verk. Målet är att även få med denna del (så småningom).

— Verkställt 2009-01-10. Se från Analysen.

 

Funktionsbegreppet generellt i matematiken. Efter Leonhard Euler (1707-1783, se även Historia ovan) skriver vi typiskt en funktion, vilken som helst, på den allmänna bekväma formen

             y = f (x)  .....................  Eulers funktionsbegrepp

Vi läser det som ”y (y) är lika med (=) funktionen (f ) för x (x)”.

y betecknar funktionsvärdet och x betecknar variabelvärdet.

   Jämför t.ex. parabelns funktion, y=x2; varje variabelvärde x (vanligen horisontella axeln eller abskissan) ger via funktionen för x (som i detta fall är x2) ett resultatvärde y (vanligen vertikala axeln eller ordinatan);

   I fallet parabeln kan vi alltså efter Euler skriva analytiskt att f (x) = y = x2.

 

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

 

 

 

 

KOMPLEXA ALGEBRANS TERMINOLOGI

 

DEN KOMPLEXA ALGEBRANS TERMINOLOGI

 

Grundformerna

 

 

Alla utvecklingar här i PREFIXxSIN

 

SPECIELLT Viktig OBSERVATION — vinkelagentens multiplicitet

 

I EULERS FORMEL eiv = sinv + icosv måste vi observera multipliciteten för vinkeln v enligt v=v+n·360°. I »normala fall» (v avser en singulär förekomst) har multipliciteten n ingen som helst betydelse. Är emellertid v associerad med en delningsfaktor typ v/m ges v/m=v/m+n·360°/m. Beskrivande övningsexempel följer. Generellt beaktar vi därför

             eiv= eiv + in·2p eftersom

             ei2p = ein·2p = 1 = sin n · (360° = 2p radianer)

Vilket vill säga; Den givna vinkeln v kan upprepat ”sättas på samma ställe” medan r-pinnen snurrar runt varv efter varv i enhetscirkeln.

Den FULLSTÄNDIGA v-formen är alltså

             eiv + in·360° = i(v + 360°) = ip = sin p +  i cos p

med p = (v + 360°).

I samband där bara en enda rotation förekommer [p=p/1 som ger i(v + 360°)=iv] kan den enklare formen med v=p användas. Vi kommer att studera ett detaljerat exempel för övning och återerinring i efterföljande exempelblock.

 

 

DEN KOMPLEXA ALGEBRANS TERMINOLOGI

Nedanstående termbeteckningar ansluter (i stort) till gängse förekommande beteckningar.

 

 

             i  ........................................        komplex identifierare-enhet

             r  .......................................        komplex vektor

             a  .......................................        real del (x), Re

             b  .......................................        imaginär del (y), Im

             | z | = Ö a2 + b2  ................         absolutvärde, vektor eller modyl

             v  .......................................        argument, vinkel mellan z och x-axel, v = arg z
                                                                 = arg z = atan b/a med kvadrantvillkor ;
                                                               y/x och y/–x, och –y/–x och y/x kan inte fås via tangeneten enbart; speciellt fås
                                                              
0° = y/0 och 0° = 0/x; jämför
                                                               tan
1/0 = 90°
                                                               tan
0/1 = 0°
                                                               (1/0 är normalt helt omöjligt att beräkna)

             a = | z | sinv  .....................        real del via sinus

             b = | z | cosv  .....................        imaginär del via cosinus

             b/a = tanv  ........................        se v ovan

 

             z = a + ib  ............................     hypokvantitet på komplex (komponent-) form

             _

             z = a – ib  ............................     komplext konjugat till a+ib   

             eiv = sinv + icosv  ...............      vinkelenhetstransformator, r=1, komplexa kvantitetens polära form

             reiv = r(sinv + icosv)  .........      r = | z | , allmänna vinkelenhetstransformatorn

             z = | z | (sinv + icosv)  ........      polärformen för komplex kvantitet;
                                                                Genom
                                                               z           = a + ib
                                                                            =
| z | (sinv + icosv)
                                                                            = r
(sinv + icosv)
                                                                fås i förtydligande

             z = reiv  ................................     centrala sambandet, r cirkelradien = | z | med
                                                               z = hypokvantiteten = HypomängdenGångerEtt

                                                                (1= sin
2v+cos2v)

 

 

 

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

 

Exempel

ÖVNINGAR PÅ ALLMÄNNA KOMPLEXA UTTRYCK

 

Hur komplexa uttryck kan skrivas (v = atan b/a) :

 

             z = 2 = 2eiv = 2ei · (v = atan 0/2 = 0)                     = 2ei · 0°

             z = i = eiv = ei · (v = atan 1/0 = 90°)                       = ei · 90° = eip/2 *

             z = 2i = 2eiv = 2ei · (v = atan 2/0 = 90°)                 = 2ei · 90°

             z = 1+ i = Ö 2 eiv = Ö 2 ei · (v = atan 1/1 = 45°)       = Ö 2 ei · 45°

 

Studera dessa exempel noga. De är uppställda i syfte att komprimera så mycket sammanfattning som möjligt på så litet utrymme som möjligt för snabb memorering. Försök komma ihåg implikationerna (de här explicit ej tecknade underliggande delarna) som leder till de aktuella resultaten.

Erinra blott: om ekvivalenten till z är en singulär koefficient är det en Re-komponent, annars en Im-komponent.

Använd sedan den allmänna (v = atan Im/Re) för att utveckla exponenten v.

 

Gå tillbaka till grundformerna (se föregående block) om påtet ovan är idel hieroglyfer.

 

(Tro det eller inte, men det är så även för ”proffs” — i tidens längd. Man kommer inte ihåg ett dyft om man inte arbetar med detaljerna kontinuerligt. Därför behöver man en avancerad minneslapp — speciellt om detaljerna är många, som i teckenhavet ovan).

 

             * i = eip/2;  i1/i=ep/2=i i;  i i=ep/2;  i2 =–1= eip;  ip=ln–1;  i=ln i2/p=(2/p)(ln i);  ip/2=ln i; …

 

EKVATIONER MED KOMPLEXA KOEFFICIENTER löser man

(HL högra delen av hela ledet, använd ni = z = reiv)

Exempel:

             x4 = 16i ;

             HL = 16i = 16eiv = 16ei · (v = atan 16/0 = 90°) = 16ei · 90°

             VL = x4 ;

             x = reiv ,  x4 = r4ei · 4v ;

             VL = HL ;  r4ei · 4v = 16 ei · 90° ;

             r4 = 16

             r = 161/4 = 2 .

             ei · 4v = ei · 90° = ei · (90° + n360°) ;

             ei · v = ei · 90°/4 = ei · (90° + n360°)/4

Erinra den fullständiga v-formen med n som heltal (n börjar från 0, se slutlig Lösning nedan)

eiv + in·360° = i(v + 360°) = ip = eip= sinp +  icosp

ei p/k = sin p/k +  icos p/k

             v = 90°            

             p = (90° + n360°), p/4 = (22,5° + n90°)

             eiv = ei · p/4 = ei · (22,5° + n90°) = [sin (22,5° + n90°) + icos (22,5° + n90°)]

Härifrån samlas de alternerade lokalerna för r-pinnen via n, den sluter cirkeln på n(v/n):

             n=0 Û p = (22,5° + 0·90°) = 22,5°      ¬

             n=1 Û p = (22,5° + 1·90°) = 112,5°       ­

             n=2 Û p = (22,5° + 2·90°) = 202,5°       ­

             n=3 Û p = (22,5° + 3·90°) = 292,5°       ­

             n=4 Û p = (22,5° + 4·90°) = 382,5° = 22,5°

             de 4 rötterna repeteras sedan ändlöst med början från toppen igen

Lösning:

             x = (16i)1/4 = 2i1/4 = reiv = 2ei · (22,5° +  n · 90°) = 2[sin (22,5° + n90°) + icos (22,5° + n90°)]

Kommentar

Lösningen betyder hörnen på en regelbunden polygon inskriven i cirkeln med radien r=2.

Exempel:

             k = (1 + iÖ3)15 ;

             z = 1 + iÖ3 ;

             arg z = v = atan Ö3/1 = 60°;

             r = [Ö 12 + (Ö3)2 ] = 2

             k = z15 = (reiv)15 = (2eiv)15 = 215ei 15v

             ei · 15(v = atan Ö3/1 = 60°) = ei · 900° Û  180° = (sin 180 + icos 180) = (1 + 0) = –1

             ei15v = –1

Lösning:

             k = (1 + iÖ3)15 = 215 = –32768

 

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

 

 

 

 

IMAGINÄRTRIGONOMETRISKA FUNKTIONERNA | Allmänna härledningar

 

Imaginärtrigonometriska funktionerna

eller DE ANALYTISKA Trigonometriska SAMBANDEN i PREFIXxSIN

 

                                      sini cosi tani seci csci coti

 

Centralserierna i sin-sini och cos-cosi är exakt desamma — de skiljer sig endast i polaritet. Sett till derivatorna, har sini-cosi relationerna inga negativa tecken.

 

I konventionell litteratur kallas de imaginärtrigonometriska relationerna för hyperboliska funktioner, de betecknas

sinh cosh tanh sech csch coth där h:et utläses ”hyperbolicus”. Vi kommer här längre fram att relatera dessa begrepp mera ingående — för säker bekantskap.

 

Modern akademi har en sällsynt träffsäker förmåga att benämna matematikens områden med associerande begrepp — som ligger helt vid sidan av sakens kärna.

 

 

DE IMAGINÄRTRIGONOMETRISKA FUNKTIONERNA är ENLIGT RELATERAD MATEMATIK helt och hållet analytiska funktioner. De härrör från beteckningarna — men utan motsvarande geometriska relationsbegrepp — i serierna för sinus och cosinus genom att sätta samtliga termer i nämnda serier positiva, se mera preciserat nedan. För att skilja den imaginära, positiva serien från den verkliga skrivs här ett ”i” efter den senare för den förra. Ekvivalenterna till positiva sinus och cosinus bildar då motsvarande komplexa vinkelkoefficienter

sin ix=sini x och cos ix=cosi x. Medan den reala trigonometrin tecknar 1=(sinx)2+(cosx)2 blir motsvarande samband med införandet av komplex vinkelkoefficient 1=(sinix)2+(cosix)2=(sini x)2+(i cosi x)2=(sini x)2+i2(cosi x)2=(sini x)2(cosi x)2. Därav benämningen hyperbolisk i modern akademi: Den liksidiga hyperbelns allmänna ekvation har just typformen 1=x2–y2 — se även i Begreppet HYPERBOLISK. Men där stannar också kopplingen till hyperbeln. De imaginärtrigonometriska funktionerna är genom den komplexa vinkelkoefficienten rena cyklometriskt komplexa funktioner och har inte ett dyft att göra med vare sig trigonometri (goniometriska relationer, förhållanden mellan sidor i rätvinkliga trianglar) eller hyperbler. De imaginärtrigonometriska funktionerna har emellertid en stark koppling till den elementära fysiken genom catenarian eller kedjelinjen. Utöver catenarian som praktisk tillämpning, erbjuder ImTrigarna genom sina ekvivalenter ett särskilt område som kan utnyttjas inom algebran.

   DEN KOMPLEXA ALGEBRAN I MODERN REGI är känd för att vara särskilt knölig. Här följer därför en mera noggrann — om än sammanfattande — genomgång av ImTrigarna enligt RELATERAD matematik.

 

I DEN ALLMÄNNA BESKRIVNINGEN AV TRIGONOMETRIN förenklas symbolberget betydligt om man till exempel i stället för den fullständiga formen

1=(sinx)2+(cosx)2 skriver 1=sin2+cos2. Eftersom aspekten redan är klar, förutsatt full förtrogenhet med trigonometrin, är missförstånd uteslutna. Endast i speciella fall används fullständiga former.

 

FRÅN EULERS EKVIVALENTER eller exponentialekvivalenterna kommer vi ihåg

positiv exponent

(1+1/¥)¥x         = (1+x/¥)¥ = ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + + xm/m!

                                      = 2,718 28 18 28 45 90 45… .....................................    med x=1

negativ exponent

(1+1/¥)¥(–x)     = (1–x/¥)¥ = e–x = 1 – x + x2/2! – x3/3! + x4/4! + (–x)m/m!

                                      = 0,36 78 79 44 11 71…  ...........................................    med x=1

Kommer vi också ihåg att alla i2,4,6…= – + – + … och alla i3,5,7…= ii2,4,6… = i( + – + …) finner vi likt Leonhard Euler att

 

             ex + e–x             = 2[1 + x2/2! + x4/4! + x6/6! + x8/8! + x10/10! …

 

JÄMFÖR vi med sinusserien i PREFIXxSIN

                                                                                                               m ® ¥

sin x                  = 1 x2/2! + x4/4! – x6/6! + x8/8! – x10/10! +=  1+ å (1)mx2m/2m!

                                                                                                                 m=1

finner vi

                                                                                                                               m ® ¥

             sin ix                 = 1 + x2/2! + x4/4! + x6/6! + x8/8! + x10/10! +=  1+ å x2m/2m!

                                                                                                                                      m=1

                                      = 2–1(ex + e–x)

                                      = å sin+ = sini x  .................................................   absoluta sinusserien

 

 

PÅ SAMMA SÄTT finner vi för cosinusserien i PREFIXxSIN att

 

             ex e–x             = 2[x + x3/3! + x5/5! + x7/7! + x9/9! + x11/11! …

                                                                                                                                  m ® ¥

cos x                 = xx3/3! + x5/5! x7/7! + x9/9! x11/11! + … = å (1)m+1x2m1/(2m–1)!

                                                                                                         m=1

                                                                                                                          m ® ¥

             cos ix                = i(x + x3/3! + x5/5! + x7/7! + x9/9! + x11/11! + … = iå x2m1/(2m–1)!

                                                                                                                            m=1

                                      = i 2–1(ex – e–x)

                                      = iå cos+ = i cosi x  .........................................    absoluta cosinusserien

 

Resultat:

sin ix =    sini x =  (ex+e–x)/2    sini x =     sin ix    = (ex+e–x)/2

cos ix = i cosi x = i(ex–e–x)/2     cosi x = i–1cos ix = (ex–e–x)/2

 

 sini x + cosi x = ex  ;   sini ix + cosi ix = eix    = sin x   + i cos x = 1

                                                                            = sin i2x + i–1cos i2x

                                                                            = sin –x  + i–1cos –x

                                                                            = sin x    – i–1cos x

 

 

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

MED UTGÅNGSPUNKT I REALA TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER, första ledet nedan, med vidare införande av den komplexa identifieraren i som en vinkelkoefficient, leder relationerna I FÖRTYDLIGANDE till

 

1           = (sinx)2 + (cosx)2  ..............      cirkulära, reala trigonometriska

             = (sin ix)2 + (cos ix)2  ..........      cirkulära, imaginära trigonometriska

             = (sini x)2 + (i cosi x)2

             = (sini x)2(cosi x)2  ..........     resultat, imaginära trigonometriska; hyperbolisk form

             = (åsin+)2(åcos+)2 ;

                            ________

sini      = Ö cosi2+1 = åsin+  ...........    absoluta sinusserien

                            ________

cosi      = Ö sini21 = åcos+  ...........    absoluta cosinusserien

 

Med

             sini x = 2–1(ex + e–x) = sin ix

             cosi x = 2–1(ex – e–x) = i–1cos ix

återkopplas sambanden på ytterligare ekvivalenter via Eulers formel sinx+icosx=eix enligt

             sini ix   = 2–1(eix + e–ix) =   sin x               =      sin i2x =      sin –x

             cosi ix = 2–1(eix – e–ix)  = i cos x              = i–1cos i2x = i–1cos –x

Vi kan alltid kontrollera resultaten direkt genom enkel huvudräkning genom att återknyta till enhetscirkeln med sinus-cosinusprojektionerna om vi kommer ihåg att den komplexa identifieraren i betyder en positiv rotation med 90 grader. Så återfinner vi speciellt från leden icosx=i–1cos–x ovan att –cosx=cos–x.

 

Med tani = cosi/sini finner vi (efter mellanräkningar)

             tani x = 1 2(e2x + 1)–1

             coti x = [1 2(e2x + 1)–1]–1

Som sini+cosi=ex finner vi genom det triviala ex=ex, som ger x=ln ex, att x=ln(sini+cosi). Därmed ekvivalenterna

 

             xsinix = ln (sini + [sini21]1/2)

 

             xcosix = ln (cosi + [cosi2+1]1/2)

Genom att utveckla det motsvarande uttrycket från tani finner vi

             xtanix = 2–1ln[2(1tani)–11]

 

 

Därmed är genomgången av DEN KOMPLEXA ALGEBRAN ENLIGT RELATERAD MATEMATIK avslutad.

 

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

 

 

 

 

CATENARIAN

 

Introduktion till Catenarian — i fortsättning från ovanstående avsnitt

IMAGINÄRTRIGONOMETRERNAS DERIVATA

 

Genom exponentderivatan Dne(P)=e(P)Dn(P) i Formlagarna får vi direkt från

             sini x = 2–1(ex + e–x) =      sin ix = åsin+

             cosi x = 2–1(ex – e–x) = i–1cos ix   = åcos+

tangensformerna

                                                                 ________

             Dn sini = cosi = Ö sini21

                                                                 ________

             Dn cosi = sini = Ö cosi2+1

Med tani = cosi/sini ges direkt från EXP(6) i Formlagarna

             Dn tani =   sini–2 =    seci2

             Dn coti = –cosi–2 = –csci2

 

CATENARIAN även sv. Katenarian

  eller Kedjelinjen

 

KURVLÄNGDEN s för en kurva y=f  (x)

ges genom differentialerna ds2=dx2+dy2 varav (ds/dx)2=1+(dy/dx)2=1+(y’)2=(s’)2,

             s = Ö 1+(y’)2

OM y=sini får man y=cosi och därmed

             s = Ö 1+cosi2 = sini = y ;

             y = s = sini

             y = s = cosi

KRAFTVÄGARNA FHs och FVc med avseende på en gemensam referenspunkt bildar en jämvikt FHs=FVc. Vi skriver FH=H och FV=T. OM systemet befinner sig i ett Galileiskt kraftrum (tyngdkraftens verkan gäller konstant oberoende av rummets utsträckning) gäller i varje utsträckning

             s/c=T/H=dy/dx=y

Med c=1 gäller

                                                                    ________

             s = dy/dx = y= ò Ö 1+(y’)2 dx

                                                      ________

             s = ds/dx = Ö 1+(y’)2

 

Därmed bildar kurvlängden s=cosi en catenaria [från Latinets cate’na, kedja] eller en kedjelinje y=s=sini=(ex+e–x)/2, samma som en fritt hängande lina, rep eller kedja mellan två upphängningspunkter i ett rum med konstant tyngdkraftsacceleration.

 

Catenarians kurvlängd från lägsta punkten till P

är samma som catenarians tangent i P.

 

Illustrationen nedan visar en catenaria med c=1 enligt y = 2–1(ex + e–x).

 

 

 

För given catenaria är c alltid en konstant

Med konstanten c inkluderad får catenarian den fullständiga formen

 

             y    = c · sini x/c = c · 2–1(ex/c+ e–x/c) = cå sin+ ............................            Catenarian

             y =      cosi x/c =     2–1(ex/c e–x/c) =   å cos+  ..........................            tangenten

 

             s  = cy  ..............................................................................................      kurvlängden catenarians kurvlängd

 

 

 

Catenarian har samma form som ett fritt hängande elastiskt rep (lina) eller kedja.

Upphängd i en punkt P i en vägg, påverkas repet av en kraft F i P i tangenten s/c = cosi x = T/H. H är den horisontella kraften vid catenarians lägsta punkt och T är tyngden av s.

 

             xcosix=1 = ln(1 + Ö 2) = 0,8813735…  ....................        exempel med tangenten 1

 

 

 

forts. GRUNDERNA I DEN KOMPLEXA ALGEBRAN

 

 

 

 

 

Begreppet HYPERBOLISK

 

Klargörande

Begreppet HYPERBOLISK

 

 

 

             Karaktären för enhetshyperbeln (horisontella sambandet)

             jämfört med cirkeln

 

För en cirkel y=Ö1–x2 — se den rödorangea cirkelkurvan i mitten — är avståndet mellan P och origo alltid den konstanta radien r=1:

x2 + y2 = 1. För enhetshyperbeln y=Öx21 — se den orangea hyperbelkurvan figuren ovan till höger/vänster — [även benämnd liksidiga hyperbeln] gäller att distansen mellan P och x-axeln via x-längden alltid avskär en rätvinklig triangel med basen lika med enheten 1, y som vertikalen och x som hypotenusan:

x2 – y2 = 1.

 

Imaginärtrigonometrins enhetsform sini2cosi2=1 har alltså hyperbelns algebraiska typform, men i övrigt ingen som helst koppling till hyperbeln.

Sini och cosi-begreppen är tydligen komplementära komplexa beskrivare. De har, uppenbarligen, ingen som helst kvalitativ koppling till hyperbeln.

 

 

 

 

 

 

 

 

innehåll: SÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i SAKREGISTER

 

 

 

Grundmatematiken |  Den Komplexa Algebran-Geometrin

ämnesrubriker

                                     

 

innehåll

              GRUNDMATEMATIKEN

 

                                                         För den elementära matematiken, se Matematiken från Början

 

                                                         För grundbegreppen inom differential, derivata och integralkalkylen, se från Atomtriangeln

 

                                                         För de elementära matematiska funktionernas derivator, se Formlagarna

 

                       Den komplexa algebran

 

                                                         H-trianglaran · den imaginära enheten genom Cheops Rektangel

 

                                                         Grundtabellen för H-trianglarna

 

                                                         Summering av lika H-trianglar, tabell

 

                                                         rH1-pinnen

 

                                                         Metoden

 

                                                         Komplexa enhetens definition

 

                                                         Sammanfattning

 

                                                         Härledningen till serierna för sinus och cosinus

 

                                                         Eulers Formel

 

                                                         Imaginärtrigonometriska sambanden

 

                                                         HISTORIA Leonhard Euler som den exakta matematikens baneman

 

                                                         Komplexa algebrans terminologi

 

                                                         Vinkelagentens multiplicitet

 

                                                         Fullständiga v-formen

 

                                                         Terminologi

 

                                                         Exempel

 

                                                         Imaginärtrigonometriska funktionernas härledningar

 

                                                         Absoluta Sinus

 

                                                         Absoluta Cosinus

 

                                                         sini

 

                                                         cosi

 

                                                         tani

 

                                                         coti

 

 

                       Catenarian äv. sv. Katenarian eller Kedjelinjen

 

                                                         Imaginärtrigonometrernas derivata

 

                                                         Catenarian

 

 

                       Begreppet HYPERBOLISK

 

                                                         Begreppet hyperbolisk i konventionen

 

                                                         Klargörande

 

referenser

 

Senast uppdaterade version: 2011-07-18

*END.

Stavningskontrollerat 2011-07-18.

 

rester

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PNG-justerad 2011-07-18

åter till portalsidan   ·   portalsidan är www.UniversumsHistoria.se