EKVATIONSLÄRA — UNIVERSUMS HISTORIA | a production 2008XII22 | Efter sammanställningar från 1997IX27 | Senast uppdaterade version: 2023-02-22 · Universums Historia

 

innehåll denna sida · webbSÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i  SAKREGISTER  ·  förteckning över alla webbsidor

 

 

 

Ekvationslära | med sammanställningar från M2001_4.wps 2001VIII | KALKYL_03 2005XII20 |  i sammanställning för Universums Historia

 

PFECD | Exempeluppställning |

 

 

EKVATIONSLÄRA

 

 EKVATIONSLÄRA ENLIGT RELATERAD MATEMATIK

 — Ekvationsläran ingår som grundverktyg i Den Högre analysen — den används (främst) för praktisk lösning av integrander

 

 

 

 

 

I det här htm-dokumentet ges de grundbegrepp i ekvationsläran — enligt relaterad matematik — som krävs för beskrivningen i den högre analysen

 

— tillsammans med den allmänna metoden för partialbråksuppdelning med koefficientbestämning (PFECD)

— PFECD beskrivs med utförliga exempel

— Jämförelser i resultat och utformning görs med den kända moderna akademins nomenklatur

 

 

 

 

 

Ekvationslära — i relaterad matematik — kan sammanfattas i blocken

 

·        faktorisering med partialbråksuppdelning och koefficientbestämning

·        polynomdivision med iterationsteknik och graflära

 

 

Ytterligare ett block finns också som rör KOMBINATORIK (MATRISER OCH DETERMINANTER) men den delen behandlas inte här.

 

 

 

 

 Kort om

FAKTORISERINGSBEGREPPET

ALLA HELTALSPOLYNOM

— typ ledet n5 + n4 + 2n3 + 2n2 + n + 1 = (n + 1)(n2 + 1)2

— kan återföras på

 

·          antingen enbart engradiga (linje-) faktorer              — (a1x+b1)(a2x+b2)(a3x+b3)… —

·          eller enbart tvågradiga (parabel-) faktorer               — (a1x2+b1x+c1)(a2x2+b2x+c2)(a3x2+b3x+c3)… —

·          eller en kombination av dessa

 

Punkterna (se även upplösningssatsen) betyder att ett polynom i generell mening ALLTID kan återföras på en termkropp (»molekyl») vars minsta del består av »EN matematisk-grafisk ATOM»

— i formen av PARET (linje)(parabel), typ (ax+b)(cx2+dx+e).

 

Faktorisering av ett polynom P(n) betyder att verkställa den ordningen (exemplifierat) enligt

             (n+1)(n2+1)2

från (exemplifierat) polynomet P(n)

             n5 + n4 + 2n3 + 2n2 + n + 1

 

 

— vilket betyder att den egentliga — initiella, speciellt för nybörjaren — svårigheten i ekvationslösningen KAN hänga på just faktoriseringen — de övriga detaljerna är mindre upphetsande, som vi strax ska se. Men det finns (galant) enkla verktyg, speciellt för nybörjaren, som hjälper till med faktoriseringen. Se från Grafläran.

 

 

Se även i FAKTORSATSEN.

Se även grundexempel (för nybörjaren) i FAKTORISERINGSEXEMPEL GENOM GRAFLÄRAN.

 

EXEMPEL PÅ FAKTORISERING GENOM ITERATION: Jämför från analysen

 

n3 – 2n2 – n + 2 = 0  ..................            transformen till en homogen variant

Insättning för iteration genom omflyttningen n3 – 2n2 + 2 = n  ger oss direkt en rot lika med n1=1 [Iterationer initieras allmänt via kvantiteten 1, eller noll]. Det ger oss en divisionsfaktor (n–1) som, via faktorteoremet, kan användas för att analysera (uppdela) tredjegradsekvationen i den givna divisionsfaktorn och ett annat faktorblock som motsvarar faktorerna i typekvationer av andra graden — därmed kan alla ekvationens rötter bestämmas. Analysen utförs då genom polynomdivision.

 

Faktorisering KAN alltså bli väldigt trixigt — om man inte känner till detaljerna i grafläran och iterationstekniken. Exemplet ovan ger f.ö. i slutänden upplösningen (faktoriseringen) (n–2)(n2–1) = n3 – 2n2 – n + 2.

 

 

 

 

 

 

POLYNOMSATSEN

 FAKTORISERINGENS GRUNDER, se även faktoriseringsbegreppet

 

TYPFORMEN FÖR ETT HELTALSPOLYNOM se även begreppet polynom av grad n i variabeln x framträder från en produkt av faktorer av första gradens variabler, dessa utgör polynomets faktoriserade rötter, enligt

             (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) …

             (x2 + x[a+b] + ab)(x+c)(x+d) …

             (x3 + x2[a+b+c] + x[ab+ca+cb] + abc)(x+d) …

             (x4 + x3[a+b+c+d] + x2[ab+ca+cb+da+db+dc] + x[abc+dab+dca+dcb] + abcd) …

med unitära [singulära] koefficienter, den s.k. normalformen

             (x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D) …

Omvändningen betyder uppenbarligen

 

EKVATIONSLÄRANS HUVUDSATS I:

 

Alla polynom av heltalsgrad n

 

(1)        xn + a1xn–1 + a2xn–2 + … + an–1x + an

 

kan sönderdelas

— dekomponeras, faktoriseras eller syntetiseras beroende på begreppens referenser —

i en produkt av n individuella faktorer av första gradens variabler

 

(2)        (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) …

 

eftersom typform (1) framträder ur typ (2).

HUVUDSATSEN kan då sammanfattas på polynomformen

 

POLYNOMSATSEN                P(x)n = Axn + Bxn–1 + Cxn–2 + Dxn–3… = (x+a1)(x+a2)(x+a3)…(x+an)

 

I P(x)n är –a en polynomial rot, nollställe eller nollpekare med avseende på varje första gradens faktor.

 

koefficientidentiteten

OM till varje x-term i (2) (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) … associeras en koefficient (Kn), totalt sett (Knx+kn), kan vi följa utvecklingen i leden ovan och se att dessa tillsammans med de andra koefficienterna förenas med varje x till en allmän x-koefficient enligt typformen (utvecklad)

 

fullständiga polynomet             P(x)n = Axn + Bxn–1 + Cxn–2 + Dxn–3… = (K1x+k1)(K2x+k2)(K3x+k3)…(Knx+kn)

polynomsatsens

operativa kommutativitet

Eftersom SAMBANDEN MELLAN (1) och (2) är OPERATIVA enligt relaterad matematik genom matematikens fem operatorer

                          + – × ¸ Ö

är av princip också sådana faktoriseringar som i fallet (x+iÖa)(x–iÖa) = (x2–i2a) = (x2+a) inkluderade. För i, se Komplexa Algebran.

   Från (2) till (1) ser vi direkt hur detta gäller eftersom koefficienterna hanteras operationellt i typformens härledningar: Koefficienterna hanteras UTAN respekt till huruvida de är “reala” eller “imaginära”, ”positiva” eller ”negativa”. Vilketsom går på ett och samma ut. P(x)n inkluderar alltså även (galant) den komplexa algebran. Ekvationslärans huvudsats kan därmed formuleras mera direkt:

 

EKVATIONSLÄRANS HUVUDSATS II:

primärteoremet

alla möjliga förekomster av typ (2) (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) … , x¹0, kan kristallisera till typform (1), fullständigt eller med luckor.

 

 

 

 

EKVATIONSLÄRANS GRUNDSATSER ENLIGT RELATERAD MATEMATIK

 

 

 

 

(x2+a)

DEN KOMPLEXA FAKTORISERINGENS Singulära GRUNDKOMPONENT är (x2+a);

 

·         Den kan inte bildas av heltalspolynom vars koefficienter saknar komplexa, i-tecknade termer.

·         Den kan bara bildas av de komplexa faktorerna (x+iÖa)(x–iÖa) = (x2–i2a) = (x2+a).

·         Den kan inte sönderdelas i reala faktorer av grad 1.

·         Den kan återföras på lösningen x=–(b/2a)±Ö (b/2a)2–c/a till andragradsekvationen ax2+bx+c=0
med c/a > (b/2a)2 som ger ett par komplexa rötter [s.k. komplext konjugerade rötter].

realvillkoret

Med hänsyn till (x2+a)-faktorn blir alltså grundkomponenten i DEN UNIVERSELLA FAKTORISERINGEN i P(x)n låst med villkor av en lägsta singulär polynomfaktor P(x)n av grad n=2;

Endast om P(x)2 har reala koefficienter kan en faktorisering göras med resultat i engradigt faktoriserade variabler (ax+b).

 

Det betyder att andragradspolynomet P(x)2 = (ax2+bx+c) KAN reduceras på faktorerna (x+a)(x+b) ENDAST om

x-värdet i y’=(ax2+bx+c)’=0 via y(x)>0;

— alltså, endast om x-värdet i y-derivatan noll ger y-funktionen ett y-värde som är lika med eller mindre än noll

— samma som att parabelnollan i funktionen y=(ax2+bx+c) ligger PÅ eller under x-axeln.

EXEMPEL: Medan

(x2 + 2x + 4) = ([x + 1]2 + 3) inte kan upplösas i reella engradiga faktorer (x+a)(x+b), man får (x+1–iÖ3)(x+1+iÖ3),

y’=(ax2+bx+c)’=0=2x+2 ger x=–3/2 som ger y(x=–1) = (x2 + 2x + 4) = 1 – 2 + 4 = 3, >0, går inte, kan däremot

(x2 + 3x + 1) = ([x + 1]2 + x) göra det, man får (x + 3/2+Ö1,25)(x + 3/2–Ö1,25),

y’=(ax2+bx+c)’=0=2x+3 ger x=–3/2 som ger y(x=–3/2) = (x2 + 3x + 1) = –9/4 – 9/2 + 1 = – 9/4 – 18/4 + 1 = – 9/4 + 4/4 = – 5/4 = –1,25.

   Se vidare från Grafläran.

   Se även i andragradsekvationens lösning.

   Det betyder — således, explicit, som redan framställts ovan i polynomsatsens operativa kommutativitet, här i förtydligande endast — att även (likväl) typen engradiga faktorer av komplex typ (x+a±iÖ3) ingår OPERATIVT från (2) till (1).

   Reducibiliteten — möjligheten att upplösa i reella engradiga faktorer — för ett andragradspolynom (ax2+bx+c) blir alltså villkorlig, inte absolut, eftersom (1) avser generatrisen även till — innefattar — typen komplexa faktorer (x+a±iÖ3) medan sådana i (2) såsom enskilda fristående faktorer saknar reell mening och därför ett faktorpolynom (ax2+bx+c) i sådant fall inte kan uppdelas i fristående engradiga faktorer.

   Se vidare i Upplösningssatsen nedan.

   Se även från Andragradspolynomets reducerbarhet i modern akademi.

 

Härav följer upplösningssatsen:

 

 

UPPLÖSNINGSSATSEN

Hela faktoriseringen i P(x)n kan totalt sett och generellt för samtliga fall återföras på enskilda faktorer av typerna

 

·          (ax+b)m  ....................................    linje

·          (ax2+bx+c)m  ............................     parabel (eller linje)

 

där m betyder en (optimal) rotMultiplicitet.

   Endast om parabelpolynomet (ax2+bx+c) har reella rötter, och endast då, vilket betyder att parabelkurvan (ax2+bx+c) skär x-axeln, kan parabelpolynomet (ax2+bx+c) uppdelas i reella komponenter enligt andragradsekvationens faktorisering (x+a)(x+b) och därmed i slutänden på linjetypen ovan.

 

OBEROENDE av satsbilden i upplösningssatsen, men med samma mening, gäller delningssatsen:

 

 

DELNINGSSATSEN

Alla heltalspolynom P(x) av grad n större än 2 kan alltid delas upp i två delar som återfaller på faktorer med grad ett och två;

För udda n (1 3 5 7 9 …) i en singulär faktor med grad 1 och de återstående faktorerna med grad 2;

För jämna n (2 4 6 8 …) direkt i de sistnämnda;

P(x) = (ax+b)m1 · (ax2+bx+c)m2  ......    upplösningssatsen

 

 

MULTIPLICITET — multipla rötter

Betrakta polynomet

 

             x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5 = 0

 

Polynomet är identiskt med binompotensen (x+a)5 = 0. Ekvationen har alltså fem identiska rötter, alla lika med –a [x+a=0 ger x=–a, se även nollställe].

   Genom delningssatsen får vi [här trivialt] (x+a)5=(x+a)(x+a)2(x+a)2: en enkelrot plus två dubbelrötter.

   Alla sådana ekvationer (x+a)n är i sina rent grafiska former — för

jämna n (2 4 6 8 …) — ”vertikalTillplattade parabler” [märkbart U-formade] — och för

udda n (1 3 5 7 9 …) — samma typ men med vänstra symmetridelen nedroterad 180° till kvadrant III; –a specificerar kurvNollans placering på x-axeln.

   I de fall där ett polynom består av, eller innehåller en form (x+a)n, finns det alltså n individuella sådana likadana rötter med värdet –a:

man säger att a besitter multipliciteten n.

 

 

Satsen om PARVIS KOMPLEXA RÖTTER

 

Den enda i-teckning [en teckning med komplexa koefficienter, se Komplexa algebran] som resulterar i Reala (Icke Imaginära) koefficienter är typen från konjugatlagen

             (x+i)(x–i) = x2 – i2 = x2+1

Andra i-teckningar kan inte ge Reala resultat. Om detta är korrekt betyder det att

1. ett Realt heltalspolynom som inte innehåller någon i-term kan inte heller ha någon individuell singulär komplex rot. Av detta följer ;

 

Satsen för parvis komplexa rötter:

 

2. om ett realt heltalspolynom har komplexa rötter [någon nollpekare på i-form] måste dessa alltid uppträda i par [vilket är en ren konsekvens av i2=–1]. Dessa rötter kallas konjugerat komplexa [de är i sin vektorform a±ib spegelsymmetriska (±b) kring x-axeln (a)].

 

 

 

 

EKVATIONSLÄRANS GRUNDSATSER ENLIGT RELATERAD MATEMATIK

 

 

 

 

 

AV P(x)n polynomsatsen (ekvationslärans huvudsats uttryckt i polynomform) FÖLJER DIREKT

FAKTORSATSEN

(R)        [x=–a] = [P(x)n= 0]  .......................      ROTKRITERIET, samma mening som P(–a)=0

(F)        P(x)n/(x+a)=P(x)n–1  ......................        FAKTORSATSEN

Beskrivning

OM i (2) (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) … någon av faktorerna sätts noll blir hela polynomet noll. Kriteriet på att |a| definierar en engradigt faktoriserad rot, eller ett nollställe [kurvan skär x-axeln, analogt y=0] i polynomformens xy-plan är att hela P=0. Detta definierar rotkriteriet. DIVIDERAS hela P med en rotfaktor (x+a) vet vi direkt från det enkla exemplet med xn/x att P tappar en grad. Divisionen sammanhänger direkt med faktorisering AV PRINCIP:

 

förutsättningen för att kunna faktorisera ett polynom P (dela upp i flera faktorer) är att

 

                          divisionen utförs på en rot (R) till P, och endast då.

 

FAKTORSATSEN bildar grundvalen för en speciell metod i ekvationsläran som låter oss sönderdela givna, mera sammansatta och komplicerade uttryck på enkla, elementära grundformer. Se vidare i partialbråksuppdelning med koefficientbestämning (PFECD, eng. Partial fraction expansion with coefficient determination, sv. »PartialFraktionsExpansion med KoefficientDetermination»; ämnet, min historia, utvecklades först på engelska och de särskilt galanta akronymer som utkristalliserades genom den författningshistorien har här behållits).

 

FAKTORSATSEN I MODERN AKADEMI

Notera att termen/begreppet faktorsats i modern matematisk litteratur [ref. MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s117sp1ö] delvis också ansluter till ovanstående (praktiska) formulering — MEN att den analogin INTE får tas bokstavligt eftersom den moderna akademins definitionsbas i dessa sammanhang grundas på föreställningen om tal snarare än föreställningen om funktioner, se vidare i Funktionsbegreppet. Det finns därmed, strängt taget, inga direkta analogier, inte alls överhuvudtaget, mellan relaterad matematik och modern akademi — i någon relaterad mening. Sagt på enklare sätt: den moderna akademins utläggningar i ämnet garanterar ämnets obegriplighet. Konkret basExempel:

— Jämför definitionen av punkt och intervall i relaterad matematik med den moderna akademins dito i ”dx=Dx”.

— Relaterad matematik innefattar, tydligen, modern akademi som en primitiv resurs.

 

 

LINJÄRT EKVATIONSSYSTEM

Betrakta de bägge polynomen

 

k1x n–1 + k2x n–2 + k3x n–3 + … = K1x n–1 + K2x n–2 + K3x n–3 + …

 

med K som en kombination av isolerade koefficienttermer A|B|C|… i olika ±-kombinationer:

Genom likheten mellan leden VL=HL gäller då — i varje enskilt fall — korrespondensen eller

koefficienternas identiteter, se GeneralKriteriet i PFECD,

 

kn = Kn

 

Systemet med n sådana olika korrespondenser (minst två, således) motsvarar ett linjärt ekvationssystem — därför att varje term bara kan ha max grad ett.

EXEMPEL:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (E–C)x4 + (2E–C–D)x3 + (3E–A–C–D)x2 + (2E–B–D)x + E

För exemplets del antar vi här att abcde ska ha värdena respektive 2 0 2 –5 1.

kn-Kn-korrespondensen VL=HL ger då

 

E – C                 = a       = 2

2E – C – D        = b       = 0

3E – A – C – D = c        = 2

2E – B – D        = d       = –5

E                       = e        = 1

 

Systemets lösning. Frånsett alla avancerade möjligheter: Man löser ekvationssystemet MANUELLT på enklaste sättet genom att 1. ev. ordna systemet på lämpligt sätt, 2. konsekvent, metodiskt, insätta översta värdet för översta raden och sedan insätta motsvarande neråt i blocket, 3. omräkna hela blocket efter de nya värdena, 4. upprepa hela proceduren varv efter varv tills alla koefficienter är entydigt lösta.

Lösningsexemplet ger då

;

E                       = 1       första koefficienten bestämd

E – C                 = 2

2E – C – D        = 0

3E – A – C – D = 2

2E – B – D        = –5

;

1 – C                 = 2

2 – C – D          = 0

3 – A – C – D    = 2

2 – B – D          = –5

;

1 – C                 = 2

C                       = –1     andra

;

2 + 1 – D          = 0

3 – A + 1 – D    = 2

2 – B – D          = –5

;

2 + 1 – D          = 0

D                       = 3       tredje

;

3 – A + 1 – 3     = 2

2 – B – 3           = –5

;

A                       = –1     fjärde

B                       = 4       femte

RESULTAT:

A                       = –1

B                       = 4

C                       = –1

D                       = 3

E                       = 1

TEST med insättning i första blockets uppställning:

1                                    = 1       = E

1 – –1                            = 2       = E – C

2·1 – –1 – +3                 = 0       = 2E – C – D

3·1 – –1 – –1 – +3         = 2       = 3E – A – C – D

2·1 – +4 – +3                = –5     = 2E – B – D

Verifierat.

 

Systemet kan ha hur många ABC… som helst och blir inte svårare att lösa för det, det tar bara längre tid att gå igenom blocken.

 

 

 

 

EKVATIONSLÄRANS GRUNDSATSER ENLIGT RELATERAD MATEMATIK

 

 

 

BEGREPP

 7 GRUNDTERMER

 

ekvation

En ekvation (av lat. aequa’re, göra lika, BKL III sp814m) betyder samma som »ekvalitet» eller likhet om likheten uppfylls eller satisfieras  av ”=”, lika med, — vilket motsvarar ett jämförande test: sant eller falskt, giltigt eller ogiltigt, i vilket fall med visshet: en »ekvalitetsExamination», ekvation. Se även från sanningsbegreppet.

   Ekvationens allmänna form skrivs a=b.

   Som varje faktor b kan uppdelas i andra faktorer

b = a1a2a3 … 

eller termer 

b = a1+ a2+ a3+… blir ekvationen grundvalen för matematikens samtliga möjliga samband.
Exempel:  y = kx + A.

Begreppet ekvation beskrivs konventionellt i MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s96 enligt

”ekvation detsamma som likhet”.

 

funktion

En funktion (av lat. fu’ngi, förrätta; verksamhet, BKL IV sp788m) beskriver en variation hos ett resultatvärde (y, funktionsvärdet) i respekt till ett variabelvärde (x). Tecknas vanligen y = f (x) (från Leonhard Euler [Introductio 1748], 1707-1783, MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s131sp2).
Exempel: y = Ö 1+ x2.

Funktioner kan I RELATERAD MATEMATIK inte definiera paralleller till det matematiska xy-planets koordinataxlar. Vilket vill säga, en konstant (xy-systemet självt) besitter ingen funktion.

Se mera utförligt i FUNKTIONSTEORIN.

 

 

POLYNOM

Polyno’m, av Grekiskans poly’s, många, och no´mos, lag.

Ett algebraiskt led som består av flera termer förenade av operatorerna + eller –, kallas i allmänhet för ett polynom.

I mera precis mening utgår man ifrån beteckningarna monom, en term, binom, två termer, trinom, tre termer och så vidare.

 

a                        monom

a+b                   binom

a+b+c               trinom

a+b+c+…        polynom

 

Generellt för alla möjliga fall med godtyckligt antal termer brukas benämningen polynom.

Termen heltalspolynom är en avancerad termförenkling för att bekvämt ange de allmänna matematiska uttryck som bildas genom heltaliga exponenter (n) till olika polynomfaktorer typ (x+a)n.

   Man kan säga, i princip, att HELA ekvationsläran är tillägnad sådana heltaliga former i och med att just de heltaliga polynomformerna är centrala i analysen eller kalkylen. Jämför 1. grundintegralerna med deras utvidgningar, där heltalspotenserna är regel, 2. transformationsekvationerna till varianterna där heltalen motsvarar antalet deriveringsnivåer.

 

EXEMPEL PÅ ETT HELTALSPOLYNOM

x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5 = (x+a)5 = P(x)5

 

 

POLYNOMETS GRAD

Ett polynoms grad läser man (exemplifierat) från en polynomkvot

 

   Ax3 + Bx2 + Cx

—————————

(ax2+1)(bx3+1)(x+5)

 

genom att addera exponenterna från de olika faktorerna. I exemplet har Täljaren grad 3, Nämnaren graden 2+3+1=6.

Se även polynom.

 

 

ALLMÄN FORM

En EKVATION skriven på allmän form betyder att ekvationsledets ena del (vanligen den högra [HL]) är lika med noll.

Exempel

(a0/b0)xn + (a1/b1)xn–1 + (a2/b2)xn–2 + …             = 0

ax2 + bx + c                                                         = 0

osv.

 

 

NORMAL FORM

En EKVATION skriven på normal form betyder att ekvationens koefficienter (ABC…) anges singulärt.

Exempel

Axn + Bxn–1 + Cxn–2 + … = 0

 

 

NOLLSTÄLLE — även Nollpekare eller rot

Ett Nollställe betyder i klartext y=0.

Varje lösning till en ekvation y = f (x) + C som för 0 = f (x) har ett motsvarande x kallas ett nollställe, samma objekt som en rot till ekvationen.
   Nollstället motsvarar funktionens x-intercept, analogt y=0, detsamma som stället där funktionen skär x-axeln.
   Om funktionen (eg. dess rotfunktion) saknar kontakt med x-axeln, kallas nollstället komplext

(Funktionens rot för x är då imaginär, analogt icke-reell. Det betyder att vi måste använda en i-teckning för att uttrycka roten eller [det formellt realt motsvarande] nollstället).

 

 

 

 

EKVATIONSLÄRANS GRUNDSATSER ENLIGT RELATERAD MATEMATIK

 

 

 

PFECD

PARTIALBRÅKSUPPDELNING

MED KOEFFICIENTBESTÄMNING

 

 

 

PFECD

en MATEMATIKENS TURBO i lösningen av linjära ekvationssystem

 

eng. Partial fraction expansion with coefficient determination, sv. »PartialFraktionsExpansion med KoefficientDetermination»;

ämnet — min historia — utvecklades först på engelska och de särskilt (galanta) akronymer som utkristalliserades genom den författningshistorien har här bibehållits

 

PARTIALBRÅKSUPPDELNING MED KOEFFICIENTBESTÄMNING

 

PARTIALBRÅKSUPPDELNING används (mestadels) inom integralkalkylens grenar för att — i de fall där så inte redan är fallet — återföra en viss integrand på de matematikens grundfunktioner som har väl definierade derivator — och därmed de integrala lösningarna. I många fall är (nämligen) integranden (väl) sammansatt och måste därför upplösas eller expanderas för att få fram ett praktisk integralt substrat.

   Beskrivningen nedan behandlar en allmän metod — som heller inte finns upptagen i gängse läromedel.

   Anledningen berörs i särskilda delar.

   Om du vill testa direkt med exempel, se Exempel.

   Se även direkt från Härledningen nedan.

 

 

 

 

Kort Inledning

2009-01-07

 

Vid lösandet av en integral visar sig mera av regel än undantag en sammansatt integrand av typen

 

     T

——— = K

     N

 

som inte passar in på någon av grundfunktionerna, se Bastablån. För att kunna lösa integralen för dessa fall måste kvoten K sönderdelas, eller som vi säger, underkastas partialbråksuppdelning. Målet är att försöka återföra partialbråken på just grundfunktionerna och därmed en lösning. I den här presentationen behandlas enbart den typ som ansluter till gängse konventionella beskrivningar i allmänna läromedel, webbkällor inkluderat; Referenser till sådana ges löpande i huvudtexten. Den följande korta inledande beskrivningen ansluter till Härledningen till den relaterade matematikens partialbråksuppdelning i särskilt avsnitt i denna presentation. Den benämns här PFECD (”päfäkt”).

 

En partialbråksuppdelning är alltid möjlig om nämnaren (N) består av ett godtyckligt antal engradiga faktorer (F)

 

             F1·F2·F3·…Fn  .......................   F = f (x)+a med x som variabel och a en numerisk koefficient

 

och det sammanlagda gradtalet för x-potenserna i nämnaren (N)

F1·F2·F3·…Fn = N = n=1®nP (x+an) = P(x)n 

är större än x-gradtalet i täljaren T = P(x)n–1 så att kvoten formellt kan skrivas

 

     T                  P(x)n–1                           P(x)n–1

——— = ——————— = ———————————

     N           n=1®nP (x+an)            (x+a1)(x+a2)…(x+an)

 

Variabeln x måste nödvändigtvis INTE vara just exakt x, den kan ha godtycklig x-sammansättning, motsvarande en metodidentifierare för x, men denna del ingår inte i det konventionella beskrivningssättet, se särskilt i Modern akademi missar PFECD.

   Faktorerna (F) behöver nödvändigtvis heller inte vara singulära typ (x+a) utan kan också vara multipla enligt (f(x)+a)m.

   Partialbråksuppdelningen i PFECD innefattar komplexa rötter automatiskt.

   Exemplen som följer beskriver hur det fungerar — se särskilt i Parabelfaktorns komplexa lösning.

 

När partialbråksuppdelningen är genomförd — även enligt konventionella led — består varje enskilt slutbråk av endast två möjliga reella bråktyper som inte kan reduceras mera;

Antingen

 

(1)  A/(ax+b)m  .................................     från reella rötter

eller

(2) (Ax+B)/(ax2+bx+c)m  ..................     från komplexa rötterna till andragradspolynomet (ax2+bx+c) = P(x)2

 

varav nämnardelarna beskriver

 

(1)  (ax+b)m  .....................................     linje

(2)  (ax2+bx+c)m  ..............................     parabel, resultat endast från komplexa rötter

 

Basfunktionen xm innefattas i (1); I (2) innefattas atan [1/(x2+1)] och logaritmfunktionen [m=1] via logaritmderivatan med motsvarande logaritmintegralens lösning. Här ska dock sägas med en gång att grundfunktionerna i Bastablån innefattar (2) endast om täljaren i slutbråket (Ax+B) har nämnarens derivata, analogt logaritmderivatan Dn ln(P) = Dn(P)/(P). För övriga fall blir integrallösningen mera komplicerad. De trigonometriska grundfunktionerna innefattas också av princip i ovanstående genom att x , se metodidentifieraren, kan anta även typen sinx|cosx|tanx, se från Exempel, men integrallösningarna blir också för dessa fall av typen mera komplicerade. Därmed är samtliga fall av princip täckta i grundfunktionerna.

 

 

 

 

Webbreferenser

En tydlig och bra svensk beskrivande webbkälla som exemplifierar partialbråksuppdelningens olika aspekter enligt den moderna akademins traditionella lärogrunder finns på

 

[http://matmin.kevius.com/partial.php]

Matematiklexikon, Bruno Kevius

 

Även svenska Wikipedia ger en del beskrivande exempel — men som vanligt i den moderna akademins sammanhang hittar man knappast utläggningar om de fullständiga härledningarna till detaljerna — förrän man öppnar referenslitteratur på högskolenivå, och den delen ingår inte här.

   PFECD däremot ger en fullständig härledning av grunderna från början — till jämförelse.

 

För kontroll av praktiska resultat finns (ännu Januari 2009 åtminstone) en interaktiv webbkälla där man kan skriva in T/N och få ut en partialbråksuppdelad resultant (tillsammans med en beskrivning — som dock använder matriser, vilket ämne inte ingår i den här presentationen),

 

[http://www.calc101.com/webMathematica/partial-fractions.jsp] 2009-01-07,

WebMATHEMATICA — Step-by-Step Partial Fractions, Sam Blake;

länk från @INTERNET Wikipedia Partial fraction, automatic step-by-step partial fractions 2009-01-07

 

En interaktiv integrallösare på webben finns även (typ ”världens mest avancerade”) i webbkällan

 

[http://www.integrals.wolfram.com/index/jsp] 2009-01-04,

Wolfram Online Mathematica Integrator — The world’s only full-power integration solver

Artikelsidan berättar att verktyget innefattar ytterst kraftfulla metoder för att få fram resultaten (typ världens ledande integrallösare);

Webbkällan ger dock ingen direkt försäkran för att den presenterade integralen är korrekt — man får testa själv med derivering för att se om den ger integranden åter (det skulle bara behövas ett intygande i webbkällan ATT en sådan kontroll alltid genomförs, något omnämnande i den saken finns dock inte, ännu, men det kan ev. bero på en miss …).

 

Använd med fördel det verktyget (om dess engelska språkbeskrivning inte är något hinder) för att kontrollera egna (eller andra) resultat i studiet av integranderna och deras integrala lösningar. Möjligen dyker (så småningom) också en svensk version upp.

 

 

 

 

PFECD kan användas direkt på en given integrand TÄLJARE/NÄMNARE om

 

·          N är faktoriserad i engradiga faktorer

·          gradtalet i T är lägre än gradtalet i N

 

Är gradtalet i T lika med eller högre än gradtalet i N genomförs en polynomdivision;

Finns faktorer i N av högre grad än ett kan T/N lösas via PFECD först genom successiv utveckling

— eller i förekommande fall direkt genom variabelsubstitution genom metodidentifieraren, se från exemplen i mIa.

 

 

 

 

EXEMPEL

Följande (motsvarande) typintegrander behandlas i framställningens exempel:

 

successiv utveckling:

 

   2x2+x–3

—————      E1

 (x+1)2(x+2)

 

          1

—————      PFECD+, se även PFECD–

     a(a+1)

 

 

exempelPFECD:

 

           x2

——————  E1

(x2 – 1)(x2 – 2)

 

         1

—————      E2        komplexa rötter ingår

(x2+1)(x2+2)

 

         1

—————      E3        komplexa rötter ingår

 (x2+1)(x–1)

 

 

mIa (variabelsubstitution):

 

         x

—————      E1a

      (x–1)3

 

       x+1

—————      E1b

      (x–1)3

 

         1

—————      E2

 x(x2+x+1)2

 

 

rotuppdelning:

 

         1

—————      PFECD–, se även PFECD+

     a(a–1)

 

       1

————          inledningsexempel

  xÖ 1–x2

 

       1

————          E1

  Ö 1+x2

 

 

Ytterligare exempel — särskilt diskuteras komplexa rötter — ges i Grafläran.

 

 

 

 

EKVATIONSLÄRANS GRUNDSATSER ENLIGT RELATERAD MATEMATIK

 

 

 

 

 

PFECD — härledningen

PARTIALBRÅKSUPPDELNING med KOEFFICIENTBESTÄMNING — HL anger HögerLed

 

Från faktorlagen (grundmatematiken, räknelagarna)

 

(a1+ a2+ a3+ … + an)       a1    a2     a3              an

(1)        —————————— = — + — + — + … + —

                  N                     N     N     N               N

 

kan vi tilldela en specifik identitet abcd… till varje nämnare (N) i HL(1). Detta ger oss

 

  Abcd…+aBcd…+abCd           A      B      C              cT

(2)        ———————————— =  — + — + — + … = ——

                  abcd…                      a       b      c               N

 

Med faktorerna abcd… expanderade eller redefinierade via tilldelningstecknet (:=) som

abcd… := (x+a)1(x+b)2(x+c)3…(x+k)n

finner vi den kontrakterade täljaren (cT) i HL(2) som

 

cT          = A(x+b)(x+c)(x+d)… + (x+a)B(x+c)(x+d)… + (x+a)(x+b)C(x+d)… + …

             = A[xn–1+xn–2(b+c+…)+…] + B[xn–1+xn–2(a+c+…)+…]+…

             = (A+B+C+…)xn–1 + (Ap1+Bp1+Cp1+…)xn–2 + …      + pn–1

(3)                     =                   k1xn–1 +                               k2xn–2 + …     + kn

 

Termen pn betecknar en faktor med termsammansättning  abc… [uttryckt för A för att exemplifiera] i grupper om

(b+…)1 (bc+…)2 (bcd+…)3 … pn–1 summerande kombinationer (vidare exponerat i ekvationslärans huvudsats). DEN KONTRAKTERADE TÄLJAREN (cT) sammanställs alltid adderande genom nämnarens multiplicerande faktorer vilket medför att täljarens gradtal alltid blir lägre än nämnarens med minst 1.

Resultatet således [n anger antalet engradiga nämnarfaktorer]

 

             k1x n–1 + k2x n–2 + k3x n–3 + …            A             B             C

(4)        ———————————— = ——— + ——— + ——— + … ................    PFECD-lagen

             (x+a)1(x+a)2(x+a)3(x+a)4 …       (x+a)1      (x+a)2      (x+a)3

            

vilket led vi här helt enkelt ska referera till som PFECD-lagen.

generalKriteriet

Sammantagningen av koefficienterna ABC… via T=NK ger i högerledet (HL) som NK den kontrakterade täljaren (CT);

CT bildar då enligt (3) tillsammans med vänsterledet (T) polynomekvivalenterna

k1x n–1 + k2x n–2 + k3x n–3 + … = K1x n–1 + K2x n–2 + K3x n–3 + …

där K-formerna framgår sedan högerledets termer ordnats (fallande) efter polynomfaktorernas grad analogt med de givna n-graderna i VL;

 

Koefficienterna kn i VL (=T) motsvarar koefficienterna Kn i HL (=NK) med kombinationerna K=|±m||ABC…|

 

— vilket generellt garanterar lösningen av ABC… genom s.k. linjära ekvationssystem: graden i K blir aldrig högre än 1.

Denna viktiga klargörande delsats kan (här) kallas för generalkriteriet i PFECD.

 

Koefficienterna ABC… framgår dock (mycket) enklare direkt via PFECD — förutsatt nämnardelen i integranden, som ovan, består av enbart engradiga faktorer. Är så inte fallet är integranden av mera sammansatt (avancerad) typ. För sådana fall; Se beskrivningen i SUCCESSIV UTVECKLING. Se vidare från EXEMPEL.

PFECD-lagen preciseras i (5) nedan:

 

 

GeneralPFECD:en

 

 

MED OMDEFINIERING AV TERMERNA abc… för översiktlig enkelhet till a1a2a3…an , blir (4) den allmänna (för P se produktsumma)

 

               T             N(x)                                  P(x)n–1                      CT

(5)        — = ——————— = ——————————— = ——

              N      n=1®nP (x+an)             (x+a1)(x+a2)…(x+an)            N

 

där N(x) och P(x) är heltalspolynom i x.

 

DET VIKTIGA SAMBANDET I (5) klargör att

om T=CT och endast då, då måste också GRADEN i T alltid vara (minst en) mindre än graden i N.

Om graden i T är lika med eller större än graden i N måste en division utföras för att förutsättningen med T=CT ska ha någon chans.

GRUNDERNA till dessa detaljer återfinns i EKVATIONSLÄRAN som ovanstående samband helt utgått ifrån. En ”polynomkvot” är alltså ”PFECD-giltig”, och endast då, OM den är tillämplig på (5) enligt PFECD-Teoremet:

 

 

 

PFECD-Teoremet [Î, ”tillhör”]

 PFECD teoremet:

 

ENDAST OM ...........  N(x) Î CT

som innebär att N(x) är av formen N(x) = m1xn–1 + m2xn–2 + m3xn–3 + …+ mn där m=k i (4),

DÅ ÄR             ...........  T = N(x) = CT

 

 

 

— som betyder att

1. T/N kan expanderas enligt (4),

[PFE]-delen i PFECD, och att

2. koefficienterna (X=[A, B, C, …]) i HL (4) kan bestämmas,

[CD]-delen i PFECD, enligt

 

                          N(x)                                     A             B

——————————————— = ——— + ——— + …

  (x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)…(x+an)          x+a1        x+a2

       |_________________ _ _ _ _ ________|____________ _ _ _

 

successiv koefficientbestämning genom

faktorrotsbestämning (x=–a) med faktoreliminering (–a – –a=0) via överflyttningslagen för division (A+0…)

— även känt som Heaviside’s cover-up method, Heavisides övertäckningsmetod, från elektroingenjören Oliver Heaviside (1850-1925), källa

[http://www.math.utah.edu/~gustafson/HeavisideCoverup.pdf] s232; 2009-01-02.

— Eller, med samma innebörd, från eng. @INTERNET Wikipedia Partial fraction 2009-01-02,

Paravartya Sutra, Vedisk formel från Vedic Mathematics, Swami Sankaracarya 1965, sammanställningar från vediska skrifter (1500-500 f.Kr., som betyder att ämnet skulle ha flera tusen år på nacken, om källstoffet är korrekt uppfattat — men wikiartikelns referens ger ingen beskrivning av källsammanhanget [vilket betyder att referensen, likväl, bara står där utan egentlig substans: vi (som inte har just den boken) vet inte vad som ligger bakom]).

 

 

 

 

Koefficientbestämning genom

rotbestämd faktoreliminering och successiv ledöverflyttning

— se även i illustrerat exempel Så fungerar det

 

Bestämningen görs (alltså) genom att flytta över X-nämnarfaktorn (x+an) från VL till HL enligt överflyttningslagen för division, vilket isolerar X: Genom att sedan tillämpa faktorroten x=–a som ger x+a=0, återstår allt utom X i HL. Därmed kan X bestämmas direkt från det återstående VL=HL via roten x=–a. Genom att repetera detta blocksteg för varje koefficient ges den totala lösningen i enlighet med ovan givna PFECD-teorem.

 

 

 

Observationella noteringar

 

FÖR FULLT UTNYTTJANDE AV DEN ENORMA MATEMATISKA STYRKAN I PFECD

Detaljerna ligger, tydligen, utom modernt akademiskt tänkande — i sig en sensation, se Modern akademi missar PFECD

 

1.         PFECD är fullständigt transparent för funktioner av x men perfekt solid och mottaglig för metoder av x (varav den enklast just är x). Se vidare noter i tre och fyra nedan.

2.         Med REELLA polynom är PFECD fullkomligt transparent för komplexa rötter: PFECD expanderar fraktioner med komplexa rötter med utomordentlig excellens — utan att bry sig om något “komplext”.

3.         N(x) får FÖR MAXIMAL MATEMATISK KRAFT inte förstås som EN FUNKTION av variabeln x, dvs.,  f (x)¹N(x), utan exakt så som leden visar: som ett allmänt polynom för en metod-Identifierare (mI) x. Dvs., med innebörden av mI(x) enligt x:= f (x).
Annars kommer inte den enorma styrkan ut ur PFECD.
MODERN AKADEMI har tydligen HAR MISSAT upptäckten av detta rena Matematikens Tempel:

4.         x kan ha vilken som helst möjliga matematiska sammansättning, inte bara enbart det simpla ”x”.
Giltigheten av denna fundamentala lag är trivialiteten att T/N skapas ekvivalent av HL-kontraktionen på gemensam nämnare [faktorlagen]. Genom denna kontraktion kombineras de allmänna HL-koefficienterna ABC… med agentkoefficienterna an till en matchande option för de motsvarande VL-koefficienterna abc… . VL’s kontrakterade täljare (cT) inramar då T. Därmed är PFECD giltig bara om T är innehållen av cT : (T Î cT). Då är vilketsom — varje — ”teckenpåt” för ”x” giltigt!

5.         N(x) kan alltid vara av den enkla formen 1 eller metodIdentifieraren för (x), mI(x).
Utan att direkt utarbeta en CT (eng. Contracted Numerator, kontrakterad täljare), gäller alltid de enklaste fallen för graden av mI(x) i T som antingen 0 (T=1) eller 1 (T=mIx).

 

Definitioner

             mI(x)                 metodIdentifierare för variabeln x enligt 3 ovan; Således: Generellt mI(a) med enklaste fallet a=x.

             PFECD             förkortning för Partial Fraction Expansion with Coefficient Determination,

sv. »PartialFraktionsExpansion med KoefficientDetermination»,

                                      partialbråksuppdelning med koefficientbestämning

             cT                      stilistisk synkopering för Contracted Numerator (alt. CT eller CT), kontrakterad täljare

             GN                   synkoperad förkortning för GemensamNämnare

 

 

 

 

Så fungerar det — från grunden

Koefficientbestämning genom rotbestämd faktoreliminering och successiv ledöverflyttning

Utförlig metodbeskrivning

 

 

 

PFECD

Givet från PFECD-lagen:

 

                                        N(x)                                  A             B

(1)         ———————————————— =  ——— + ——— + …

                (x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)…(x+an)        x+a1        x+a2

 

 

Vi konstaterar först i T/N att gradtalet i T är lägre än gradtalet i N.

 

Bestämningen av A

— nämnarfaktorn (x+a1) till täljarkoefficienten A tas först ut genom överflyttningslagen för division:

 

                                        N(x)                                  A             B

(2)         ———————————————— = (——— + ——— + … )(x+a1)

                (x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)…(x+an)        x+a1       x+a2

 

A-kvoten reduceras DÅ på 1 i nämnaren:

 

                                        N(x)                                                  B

(3)         ———————————————— =      A  +  ( ——— + …  )(x+a1)

                (x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)…(x+an)                        x+a2

 

(x=–a1)  ................................................................................................    den uttagna nämnarfaktorns ROT x=–a1 insätts för x            ;

 

— vilket betyder att hela det kvarvarande högerledet utom A-koefficienten nollas ut

 

                                        N(x)                                                  B

(4)         ———————————————— =      A  +  ( ——— + …  )(0)       ;

                (x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)…(x+an)                        x+a2

 

ENDAST A återstår i HL;

 

                                        N(x)

(5)         ———————————————— =      A  +  0                                   ;

                (x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)…(x+an)

 

— och alltså kan A bestämmas direkt aritmetiskt: Med x=–a1 för samtliga fall ges lösningen

 

                                                                                                     (6)        A          = N(x=–a1) · [(–a1+a2)(–a1+a3)(–a1+a4)…(–a1+an)]–1

 

Syntesen upprepas sedan på samma sätt för varje ytterligare koefficient BCD…

 

 

 

VI SER DIREKT att ”x” KAN HA VILKEN BESTÄMD FORM SOM HELST. Vi ska återkomma till det längre fram.

 

 

 

Successiv utveckling

2008-12-28

Se även i Multipla faktorer

 

Förutsatt att villkoret i PFECD-General:en är uppfyllt — gradtalet i täljaren T är mindre än gradtalet i nämnaren N — spelar det ingen roll hur T är tecknat matematiskt; Genom T=N·K kommer i vilket fall alla (eventuella) koefficienter ABC… i K att ge ekvivalens med T via N.

 

           N(x)                                    A1       A2                 Ak

———————          =          —— + —— + … + ——

   (x+a1)n(x+a2)                            F1        F2               x+a2

 

Är alltså generalvillkoret uppfyllt, samt att nämnaren (N) i integranden T/N=K är av ovanstående exemplifierade typ, alltså med en (eller flera) faktor av högre grad än ett, kan K likväl uppdelas via PFECD genom att

 

först sätta N(x)=1

utveckla nämnarens faktorer från mera elementära PFECD-uppdelningar till mera sammansatta, alltså via successiv utveckling för att därmed erhålla en lösning med T=1

och sist multiplicera in N(x) på den lösningen, utnyttja ev. engradiga faktorer i N för att lösa ut en (eller flera) koefficient, samt för resten lösa de kvarstående koefficienterna på »det traditionella sättet» genom det ekvationssystem som bildas via N(x) enligt motsvarande

 

                                        A1        A2                Ak

N(x) = (x+a1)n(x+a2) · —— + —— + … + ——

                                        F1        F2               x+a2

 

Dessa typlösningar ansluter alltså till typen »mera komplicerade integrander», och är knappast vad nybörjaren kommer att möta som första exempel (fast titta på lösningen kan man ju alltid).

 

 

TYPEXEMPEL Successiv utveckling — från sv. Wikipedia, Partialbråksuppdelning 2008-12-27

 

 

Exempel 1:       Uppdela (2x2+x–3)/(x+1)2(x+2) i partialbråk med bestämda koefficienter.

Lösning:

Vi konstaterar först i T/N att gradtalet i T är lägre än gradtalet i N.

 

Vi ser direkt att faktoriseringen i nämnaren INTE är av högst grad ett — därmed måste vi använda PFECD med successiv utveckling för att expandera integranden.

Deluppgift:

Uppdela 1/(x+1)2(x+2) i partialbråk med bestämda koefficienter.

Lösning:

Vi anställer mI(a)=(x+1) som ger; a=x+1, a+1=x+2, med integranden

 

       1

————

  a2(a+1)

 

Från den helt elementära partialbråksuppdelningen i PFECD har vi

PFECD+

       1                                       1                   A            B

————          =          ————— = ——— + ———

  a(a+1)                         (a+0)(a+1)           a           a+1

 

; metodPFECD

A = 1/a(a+1) ¦ a=0 ¦      = 1/1    = 1

B = 1/a(a+1) ¦ a=–1 ¦    = 1/–1 = –1

; den utbrutna nämnarfaktorn markerad med orange i nämnaren, faktorroten inom brutna vertikalstrecken ¦ Alt+0166

 

       1                      1      1

————          = — – ——  ..............   PFECD+

  a(a+1)                  a     a+1

 

Vi multiplicerar in a i nämnaren och har alltså fått ett resultat genom successiv utveckling enligt

 

        1                1              1              1             1            1

———— = ——— – ———   = —— – [ —— – ——— ] ;

  a2(a+1)           a2        a(a+1)         a2           a        (a+1)

;

        1                      1           1            1

————          = —— – —— + ———  ;

  a2(a+1)                 a2              a         (a+1)

 

Kontrollräkning täljaren:

(a+1) – a(a+1) + a2 = a+1 – a2–a + a2 = 1

Verifierat.

;

Deluppgiften är därmed löst.

ÅterInsättning av metodidentifieraren mI(a)=(x+1) ger då för huvuduppgiften

 

         1                       1                1              1

—————      = ———  –  ——— + ———  ;

 (x+1)2(x+2)           (x+1)2        (x+1)      (x+2)

 

Kontrollräkning täljaren:

(x+2) – (x+1)(x+2) + (x+1)2      = x+2 – (x2+2x+x+2) + (x2+2x+1)

                                                   = x+2 – x2–2x–x–2 + x2+2x+1

                                                   = –2x+2x+1

                                                   = 1

Verifierat.

 

Vi återinsätter sedan det friställda Täljarpolynomet N(x) = (2x2+x–3) i huvuduppgiften enligt

 

       N(x)                     A             B            C

—————      = ———  –  ——— + ———  ;

 (x+1)2(x+2)           (x+1)2        (x+1)      (x+2)

;

PFECD kan bara användas direkt — entydigt — för koefficienten C enligt

C = N(x)/(x+1)2(x+2) | x=–2      = (8-2-3)/1        = 3

C           = 3

;

Vi ställer sedan samman (den resterande) ekvivalenten för N(x) genom att sätta kvoterna i HL på nämnaren i VL;

 

N(x) = 2x2+x–3              = A(x+2) – B(x+1)(x+2) + 3(x+1)2

                                       = Ax+2A – B(x2+3x+2) + 3(x2+2x+1)

                                       = Ax+2A – Bx2–3Bx–2B + 3x2+6x+3

 

; Vi samlar termerna för en k-K-identifikation enligt GeneralKriteriet i PFECD;

; Vi sammanställer HL i fallande potensgrupper (för att förbereda jämförelsen med motsvarande i VL);

 

N(x) = 2x2+x–3              = Ax + 2A – Bx2 – 3Bx – 2B + 3x2 + 6x + 3

                                       = 3x2 – Bx2 + Ax – 3Bx + 6x + 2A – 2B + 3

                                       = (3 – B)x2 + (A – 3B + 6)x + (2A – 2B + 3)

 

; Koefficienternas Identiteter ger med jämförelsen via ax2+bx+c = HL

mellan koefficienterna i och HL och VL ett motsvarande linjärt ekvationssystem;

a:          3 – B                 = 2;      1                       = B

b:          A – 3B + 6        = 1;      A – 3B              = –5

c:           2A – 2B + 3      = –3;    A – B                = –3

;

Vi börjar längst uppifrån med 3–B=2 som direkt ger oss 3–2=B=1;

B           = 1

;

Insättning i mellanledet A–3B=–5 ger A=3–5=–2 (eller i sista ledet direkt A=B–3=1–3=–2);

A           = –2

Resultat:

 

   2x2+x–3                  –2             –1             3

—————      = ———  +  ——— + ———  ;

 (x+1)2(x+2)           (x+1)2        (x+1)      (x+2)

 

Kontrollräkning täljaren:

–(x+1)(x+2) + 3(x+1)2 – 2(x+2)            = –(x2+2x+x+2) + 3(x2+2x+1) – 2x – 4

                                                                = –x2–2x–x–2 + 3x2+6x+3 – 2x – 4

                                                                = 2x2+x– 3

Verifierat.

 

Svar: Se Resultatet ovan!

 

 

 

 

PFECD EXEMPEL

Se den utförliga härledningen med fullständiga förklaringar Från början i PFECD, om ej redan bekant

Se även direkt från Härledningen.

 

Exempel:          Uppdela i partialbråk  ¯ :                                   Lösning&Svar  ¯   ...................................................:

 

                                                                                   A                         B                        C

   T                                1                                           1                       – 1                        1

——  =  ————————————  ;  =  —————  +  —————  +  —————

   N           (x0,1 – 1)(x0,1 – 2)(x0,1 – 3)                2(x0,1 – 1)             (x0,1 – 2)             2(x0,1 – 3).

 

Metod:

 

Vi konstaterar först i T/N att gradtalet i T är lägre än gradtalet i N.

 

Alla mellanräkningar med huvudräkning — förutsatt kännedom om grundlagarna; se från Matematiken från början, om ej redan bekant;

A      = [1/(x0,1 – 1)(x0,1 – 2)(x0,1 – 3)]¦x=1¦                  = 1/(–1)(–2)     = 1/2

B      = [1/(x0,1 – 1)(x0,1 – 2)(x0,1 – 3)]¦x=210¦  = 1/(1)(–1)        = –1

C      = [1/(x0,1 – 1)(x0,1 – 2)(x0,1 – 3)]¦x=310¦  = 1/(2)(1)          = 1/2

; den utbrutna nämnarfaktorn markerad med orange i nämnaren, faktorroten inom brutna vertikalstrecken ¦ Alt+0166

Beskrivning

Vi flyttar successivt för koefficienterna ABC över deras associerade nämnare (N) till HL och anger N:s parentesfaktor på roten

110=x för (x0,1 – 1), 210=x för (x0,1 – 2) och 310=x för (x0,1 – 3). Vi använder sedan respektive rotvärden {1, 210, 310} i respektive koefficientbestämning som ovan där vi betraktar de markerade utflyttade N:arna som 1.

 

Kontrollräkning:

Med GNGEMENSAMMA NÄMNAREN = 2(x0,1 – 1)(x0,1 – 2)(x0,1 – 3) ges täljaren (T)

(x0,1 – 2)(x0,1 – 3)  –  2(x0,1 – 1)(x0,1 – 3)  +  (x0,1 – 1)(x0,1 – 2) ;

x0,2 – 2x0,1 – 3x0,1 + 6  –  2(x0,2 – x0,1 – 3x0,1 + 3)  +  x0,2 – x0,1 – 2x0,1 + 2 ;

2x0,2 – 8x0,1 + 6  –  2(x0,2 – 4x0,1 + 3) + 2 ;

2x0,2 – 8x0,1 + 6  –  2x0,2 + 8x0,1 – 6 + 2  = 2 = T; 

T/GN = 2/2(x0,1 – 1)(x0,1 – 2)(x0,1 – 3) = 1/(x0,1 – 1)(x0,1 – 2)(x0,1 – 3).

Lösningen verifierad.

 

Exempel 0:      Uppdela [(tanx–1)(tanx–2)]–1 i partialbråk med bestämda koefficienter.

Lösning:

   T                      1                         A               B

——  =  ———————  =   ———  +  ———

   N         (tanx–1)(tanx–2)         tanx–1       tanx–2

Metod:

A = 1/(tanx–1)(tanx–2) ¦tanx=1¦             = 1/(–1)            = –1

B = 1/(tanx–1)(tanx–2) ¦tanx=2¦             = 1/(1)              =   1

; den utbrutna nämnarfaktorn markerad med orange i nämnaren, faktorroten inom brutna vertikalstrecken ¦ Alt+0166

Resultat:

   T                      1                        –1               1

——  =  ———————  =   ———  +  ———

   N         (tanx–1)(tanx–2)         tanx–1       tanx–2

 

Kontrollräkning med GN=(tanx–1)(tanx–2) ger täljarsumman –(tanx–2) + (tanx–1) = –tanx + 2 + tanx – 1 = 1. 

Lösningen verifierad.

Svar:                 [(tanx–1)(tanx–2)]–1 = –(tanx – 1)–1 + (tanx – 2)–1

 

 

Exempel 1:       Uppdela x2/(x2 – 1)(x2 – 2) i partialbråk med bestämda koefficienter.

Lösning:

Vi konstaterar först i T/N att gradtalet i T är lägre än gradtalet i N.

 

   T                      x2                             A                    B   

 ——  =  ————————   =  ————  +  ————

   N            (x2 – 1)(x2 – 2)             (x2 – 1)            (x2 – 2)                       

Metod:

Alla mellanräkningar med huvudräkning — förutsatt kännedom om grundlagarna; se från Matematiken från början, om ej redan bekant;

A           = [x2/(x2 – 1)(x2 – 2)]¦x2=1¦        = 1/(–1)            = –1 ;

B           = [x2/(x2 – 1)(x2 – 2)]¦x2=2¦        = 2                    = 2 ;

; den utbrutna nämnarfaktorn markerad med orange i nämnaren, faktorroten inom brutna vertikalstrecken ¦ Alt+0166

Resultat:

   T                      x2                                 1                    2             

 ——  =  ————————  =  –  ————  +  ————

   N            (x2 – 1)(x2 – 2)                 (x2 – 1)           (x2 – 2)

 

Kontrollräkning:

–(x2–2) + 2(x2–1)  =  –x2+2 + 2x2–2       = x2  ...........................   täljaren

                                                                (x2–1)(x2–2)  ..............   nämnaren.

Lösningen verifierad.

 

—————————————————————————————————————————————————————

PFECD är TRANSPARENT för specifikt komplexa lösningar. Vilket vill säga, »normalroten» ”x=Ö–a” syns aldrig;

—————————————————————————————————————————————————————

 

Exempel 2:       Uppdela 1/(x2+1)(x2+2) i partialbråk med bestämda koefficienter.

Lösning:

Vi konstaterar först i T/N att gradtalet i T är lägre än gradtalet i N.

 

          1                   A            B

—————— = ——— + ———

(x2+1)(x2+2)        x2+1       x2+2

Metod metodPFECD:

Alla mellanräkningar med huvudräkning — förutsatt kännedom om grundlagarna; se från Matematiken från början, om ej redan bekant;

A          = [1/(x2+1)(x2+2)]¦x2=–1¦         =   1  ............    KOMPLEX ROT –1 no problemo

B           = [1/(x2+1)(x2+2)]¦x2=–2¦         = –1  ............    KOMPLEX ROT –2 no problemo

; den utbrutna nämnarfaktorn markerad med orange i nämnaren, faktorroten inom brutna vertikalstrecken ¦ Alt+0166

Resulat:

          1                   1               1

—————— = ———  –  ———

 (x2+1)(x2+2)      x2+1         x2+2

 

Kontrollräkning:

x2+2 – x2–1                    = 1  ............................  täljaren

                                       (x2+1)(x2+2)  ............   nämnaren.

Lösningen verifierad.

 

 

— Men hur går det om FORMEN FÖR x är olika i nämnarfaktorerna?

 

 

Exempel 3:       Uppdela 1/(x2+1)(x–1) i partialbråk med bestämda koefficienter.

Lösning:          

Vi konstaterar först i T/N att gradtalet i T är lägre än gradtalet i N.

 

Vi ser att metodIDENTIFIERAREN för x INTE är en och samma i de bägge nämnarfaktorerna. I detta fall kan vi utnyttja konjugatlagen för att få harmonisk identitet (vilket betyder att vi inför en substitution med 1=a/a med a=x+1 eftersom [x+1][x–1]=x2–1 enligt konjugatlagen):

 

          1              · (x+1)     (x+1)                   T                    T                     1

——————                 = —————— = ——;            ——— = ———————

 (x2+1)(x–1)      · (x+1)     (x2+1)(x2–1)        N               N(x+1)       (x2+1)(x2–1)

förklaring

Vi gjorde en tillfällig TRANSFERERING i kvotekvivalenten med (x+1) för senare behållning;

Vi löser ut harmoniska kvoten i HL på vanligt sätt:

 

Metod:

Alla mellanräkningar med huvudräkning — förutsatt kännedom om grundlagarna; se från Matematiken från början, om ej redan bekant;

A          = [1/(x2+1)(x2–1)]¦x2=–1¦          = –1/2

B           = [1/(x2+1)(x2–1)]¦x2=+1¦          =   1/2

; den utbrutna nämnarfaktorn markerad med orange i nämnaren, faktorroten inom brutna vertikalstrecken ¦ Alt+0166

DelResulat:

          1                            1                   1                       T

—————— = –  ————  +  ————      = ———— ;

(x2+1)(x2–1)              2(x2+1)          2(x2–1)               N(x+1)

 

Vi åberopar föregående TRANSFERERING (x+1) — vi multiplicerar tillbaka den uttagna faktorn (x+1) — och får i netto (erinra åter den alltid så viktiga konjugatlagen)

Resultat:

  T                   1                          x+1                   1                            x              1            1

—— = —————— = –  ————— + ———— = (1/2)[– ——— – ——— + —— ]

  N          (x2+1)(x–1)               2(x2+1)           2(x–1)                      x2+1        x2+1        x–1

 

Alla deltermer i slutledet är därmed återförda på integrander från matematikens grundfunktioner (se Bastablån): (P)a, atanx, ln x.

 

Kontrollräkning:

–(x–1)(x+1) + x2+1 = –(x2–1)+x2+1      = 2  ............................  täljaren

                                                                2(x2+1)(x–1)  ............   nämnaren.

Lösningen verifierad.

 

— No Problemo.

Vi ska återkomma till denna lösning — i jämförelse med ett läromedel i modern akademi efter närmast följande exempel.

 

 

 

 

EKVATIONSLÄRANS GRUNDSATSER ENLIGT RELATERAD MATEMATIK

 

 

 

mIa

METODIDENTIFIERAREN — lösningar med variabelsubstitution

Chockerande enkla lösningar i jämförelse med modern akademi

lösningar med direkt variabelsubstitution

 

 

I många fall kan PFECD förenklas (betydligt) genom att DIREKT ersätta en given faktorparentes’ inre uttryck med den allmänna metodIDENTIFIERAREN a (underskatta inte den enkla lösningens enorma kraft). Se även i Exempel 0.

 

 

Exempel 1:       Uppdela x/(x–1)3 i partialbråk med bestämda koefficienter.

Lösning:          

Vi konstaterar först i T/N att gradtalet i T är lägre än gradtalet i N.

 

Vi anställer direkt mI(a)=x–1 som ger x=a+1. Bråket kan då skrivas enklare

(a+1)/a3 = a/a3 + 1/a3 = 1/a2 + 1/a3. ÅterInsättning av mI(a)=x–1 ger

x/(x–1)3 = 1/(x–1)2 + 1/(x–1)3.

Kontrollräkning med GN=(x–1)3 ger täljarsumman x–1+1=x. 

Lösningen verifierad.

Svar:                 x/(x–1)3 = 1/(x–1)2 + 1/(x–1)3

Bonus:

En INTEGRAND (x+1)/(x–1)3 kan alltså skrivas

(x+1)/(x–1)3      = x/(x–1)3 +1/(x–1)3

                          = 1/(x–1)2 + 2/(x–1)3.

 

Jämför Brandqvists sätt — vilket avslöjar att han INTE känner till Metoden han själv använder i ITK Bok 7:

Citat:

”

Exempel

 

Evaluera

 

                x+1

F(x) = ò ——— dx

               (x–1)3

 

Lösning

 

Nämnaren har ett s.k. multipelt nollställe (här en trippelrot). I ett sådant fall måste man använda följande partialbråksuppdelning

 

  x+1              A                  B               C

——— = ———— +  ———— + ————

 (x–1)3        (x–1)3           (x–1)2          x–1

 

”.

 

Brandqvist (som många andra författare i traditionell [svensk] modern akademisk facklitteratur) berättar inte varifrån påtet ovan härrör — det bara presenteras.

Brandqvist genomför sedan vad han kallar bestämning “på vanligt sätt med hjälp av obestämda koefficientmetoden” där han överför nämnaren i VL till HL (med mellanräkningar som utelämnats) enligt

 

”

x + 1 = A – B + C + (B – 2C)x + Cx2

 

För att ovanstående identitet skall gälla, så måste koefficienterna för termer med samma gradtal vara lika. Detta ger

 

A = 2, B = 1 och C = 0.

 

Alltså gäller

 

  x+1              2                  1

——— = ———— +  ————

 (x–1)3        (x–1)3           (x–1)2

 

”;

MATEMATIKBIBLIOTEK 1962 Lennart Brandqvist, ITK 8 s40n

INSTITUTET FÖR TEKNISKA KURSER

 

”måste man använda …”.

Notera att Brandqvists koefficientlösning kräver (relativt omständliga) mellanräkningar. PFECD å sin sida är, som vi ser till jämförelse, en (synnerligen) direkt metod.

   Lennart Brandqvists böcker (ITK 1-10) är för övrigt utomordentliga (ovärderliga) referensverk (allmän bibliotekslitteratur) och har (genom åren) givit många uppslag till det här arbetets utformning.

   Jämför ovan!

   Ytterligare ett exempel till jämförelse med Brandqvist ges nedan.

 

 

TILL YTTERLIGARE BEVIS för att Brandqvist — tydligen — INTE känner till Metoden han själv lovordar för dess enkelhet i ITK Bok 7 ges här följande citat:

 

”

Exempel

 

Evaluera

 

                        dx

F(x) = ò ———————

               (x2 + 1)(x – 1)

 

Lösning

 

Nämnaren i integranden kan uppdelas i de två reella faktorerna (x2 + 1) och (x – 1), varav den ena är en andragradsfaktor. I ett sådant fall måste man använda följande partialbråksuppdelning

 

            1                   Ax + B           C

——————— = ———— +  ————

 (x2 + 1)(x – 1)         x2 + 1          x – 1

 

”.

Brandqvist genomför på samma sätt här den mera omständliga proceduren typ föregående exempel med slutresultatet (s42ö)

”

Partialbråksuppdelningen blir

 

            1                     1       x + 1        1        1

——————— = – — ·  ——— +  — · ———

 (x2 + 1)(x – 1)           2      x2 + 1      2     x – 1

 

”;

MATEMATIKBIBLIOTEK 1962 Lennart Brandqvist, ITK 8 s41n

INSTITUTET FÖR TEKNISKA KURSER

 

Som vi ser är resultatet alldeles detsamma som i PFECD via transfereringsmetoden från föregående exempel 3,

 

  T                   1                          x+1                   1                            x              1               1

—— = —————— = — ————— + ———— = (1/2)[– ——— – ——— + ———]

  N          (x2+1)(x–1)               2(x2+1)           2(x–1)                      x2+1        x2+1           x–1

 

där harmonieringen av metodIDENTIFIERAREN underströks (med hjälp av konjugatlagen).

;

Brandqvist avhandlar (alltså) flera — TRE! — olika sätt som i grunden handlar om EN metod: PFECD.

   Hur har Brandqvist (och övriga) burit sig åt för att (så, grundligt) MISSA metodens allmängiltighet — och enorma styrka?

Konsensus: utveckla STRUKTUREN — den NATURLIGA harmonin: du har den redan inom dig, våga bara SE den. Strunta i allt annat. Då blir matematiken MYCKET enklare.

   Jämför ovan!

   Se även beskrivningen nedan.

   Exempel 2 ges efter blocket nedan.

 

 

 

DEN MODERNA AKADEMIN MISSAR PFECD

 

 

 

MANNEN har det framför sina ögon men ser det — tydligen — inte:

Se exempelutvecklingen närmast ovan.

 

”Om nämnarens nollställen är komplexa eller flera faktorer är lika blir partialbråken inte av denna enkla typ. En behandling av sådana funktioner faller emellertid utom ramen för denna bok.”.

 

Lennart Brandqvist [ITK 7, 1962, s31n-32ö]

MATEMATIKBIBLIOTEK 1961/2, INSTITUTET FÖR TEKNISKA KURSER

 

 

Samma i övrig matematisk läro- och referenslitteratur:

 

metoden för x omnämns inte.

 

 

x agerar en godtycklig METOD för x. INTE en funktion för x. Antar man ensidigt den senare uppfattningen, missar man hela den enorma kraften i PFECD. Jämför citatdelen ovan ”Om nämnarens nollställen är komplexa …”. Jämför föregående exempel med faktorerna typ …

(x2+1): mI(a)=x2: (a+1); (sinx+1): mI(a)=sinx: (a+1), etc., mI för metodIDENTIFIERAREN.

 

 

Vad det står i a har ingen betydelse.

 

 

»METODEN som sådan» är konventionellt känd som ”obestämda koefficientmetoden”. Den beskrivs utomordentligt i citatkällan ovan — den här delen (mitt förtydligande)

 

 

                                        N(x)                                   A             B

             ———————————————— =   ——— + ——— + …

               (x+a1)(x+a2)(x+a3)(x+a4)…(x+an)          x+a1        x+a2

                    |_________________ _ _ _ _ ________|____________ _ _ _

 

 

— och det var på den vägen jag kom ämnet på spåren (upptäckt augusti 2000).

— Men författaren (och andra) tycks inte ha uppfattat betydelsen av mI, metodIDENTIFIERAREN.

— Som citatet visar, samt i ljuset av föregående jämförande exempel, utesluter man (således) metodens allra mest kraftfulla aspekt — tydligen i ensidigt fasthållande vid att den ”bara kan betyda x”.

Brandqvist intygar själv metodens glänsande karaktär — utan något omnämnande av dess verkliga glans:

 

”Använd med fördel denna synnerligen enkla metod för bestämning av koefficienterna!”

Lennart Brandqvist [ITK 7, 1962, s28]

 

DESSUTOM härleds INTE metodens grund (som vanligt i den moderna akademins matematiska meddelanden)

— varken i citatkällan ovan eller i referensverket MATEMATIKLEXIKON W&W 1991. Där ges f.ö. mer eller mindre helt kryptiska beskrivningar som få (om ens några) begriper (FÖRE formuleringen av PFECD).

 

 

PFECD har explicit ingenting att göra med ”lösandet av ekvationssystem”

— trots att metoden gör samma jobb.

PFECD är en direkt metod

— men tydligen OKÄND i den moderna akademins lärosystem.

 

 

 

 

Exempel 2:       Uppdela 1/x(x2+x+1)2 i partialbråk med bestämda koefficienter.

Lösning:          

Vi konstaterar först i T/N att gradtalet i T är lägre än gradtalet i N.

 

Vi anställer direkt mI(a)=(x2+x+1) som ger a=(x2+x+1) med a–1=x2+x; Vi suspenderar (friställer) TILLFÄLLIGT den fristående x-termen i originalbråket; Bråket kan då skrivas mycket enklare med referens till en grundform 1/a(a–1) i PFECD– enligt

 

      1                                   1                             1                                    1

————          = ——————— = ———————            = ————

 a2(a–1)                  (x2+x+1)2(x2+x)      x(x2+x+1)2(x+1)                 a2x(x+1)

 

Vi ser att slutformen fås direkt (sista kvoten ovan) genom att slutmultiplicera med (x+1);

Kvoten i VL löser vi (således) först från grunden i PFECD enligt

 

1/a(a–1) = 1/(a+0)(a–1) = A/(a+0) + B/(a+1) som med metoden i PFECD ger

Alla mellanräkningar med huvudräkning — förutsatt kännedom om grundlagarna; se från Matematiken från början, om ej redan bekant;

A = 1/(a+0)(a–1) ¦a=0¦ = 1/–1 =–1

B = 1/(a+0)(a–1) ¦a=1¦ = 1/1    =  1;

; den utbrutna nämnarfaktorn markerad med orange i nämnaren, faktorroten inom brutna vertikalstrecken ¦ Alt+0166

1/a(a–1) = –1/a + 1/(a+1);

 

Multiplikation med a i nämnardelen ger så det sökta

 

      1                     1              1                 1              1              1

———— =  — ——— + ——— = — ——— — ——— + ———

 a2(a–1)               a2              a(a–1)             a2            a           (a–1)

 

Som a=(x2+x+1) och a–1=(x2+x)=x(x+1) ges återinsättningarna genom att föra över delfaktorn (x+1) till HL via multiplikation; Detta ger oss då

 

      1                  x+1         x+1         x+1

———— = — ——— — ——— + ———

    a2x                 a2                   a           x(x+1)

 

Därmed lösningen totalt

 

        1                      x+1               x+1           1

————— = — ————— — ———— + ——

x(x2+x+1)2               (x2+x+1)2            x2+x+1         x

 

Alla deltermer i slutledet är därmed återförda på integrander från matematikens grundfunktioner (se Bastablån): (P)a, ln x.

 

Kontrollräkning med GN=x(x2+x+1)2:

–(x+1)x – (x+1)x(x2+x+1) + (x2+x+1)2              = T;    .......................    täljaren

                                                                             (x2+x+1)(x2+x+1) = (x4+x3+x2 + x3+x2+x + x2+x+1);

T                                    = –x2–x – (x+1)(x3+x2+x) + (x4+x3+x2 + x3+x2+x + x2+x+1)

                                       = –x2–x – (x+1)(x3+x2+x) + (x4+2x3+3x2+2x+1)

                                       = –x2–x – (x4+x3+x2 + x3+x2+x) + (x4+2x3+3x2+2x+1)

                                       = –x2–x – (x4+2x3+2x2+x) + (x4+2x3+3x2+2x+1)

                                       = –x2–x – x4–2x3–2x2–x + x4+2x3+3x2+2x+1

                                       = –x2–2x3–2x2 +2x3+3x2+1

                                       = 1

                                       x(x2+x+1)2  ..............    nämnaren.

Lösningen verifierad.

 

Svar:                 1/x(x2+x+1)2 = –(x+1)/(x2+x+1)2 – (x+1)/(x2+x+1) + 1/x

 

 

 

 

 

MULTIPLA FAKTORER

 

SOM FRAMGÅR AV EXEMPLET OVAN (se Exempel 2) tillsammans med ytterligare utvecklingar via PFECD– ger ytterligare potenser av a mellanlösningar på formen

 

       1                    1                1               1                      1            1

———— = — ——— — ——— — ——— — …— ——— + ———

   anP(a)1           an–1          an–2           an–3                    a           P(a)1

 

om P(a)1 är av formen (a–A) enligt PFECD– och (med separat undersökning)

 

       1                    1                1              1                    1                  1

———— = + ——— — ——— + ——— — …± ——— – ± ———

   anP(a)1           an–1          an–2         an–3                   a               P(a)1

 

om P(a)1 är av formen (a+A) enligt PFECD+.

   Inga ytterligare exempel på det ges här utöver Exempel 2, vi konstaterar bara att samtliga fall täcks av PFECD.

 

 

 

 

 

ROTUPPDELNING I PFECD              

 

Inledningsexempel

                                                                                                             1

HUR sönderdelar man I PRINCIP en integrand av typen           ————  ?

                                                                                                        xÖ 1–x2

 

Lösning:           KVADRERA

        1

—————

  x2(1–x2)

 

Med mI(a)=x2 som ger a(1–a) = –a(a–1) i nämnaren ser vi att typen, minustecknet i början frånsett, stämmer in på

 

       1                                       1                   A            B

————          =          ————— = ——— + ———

  a(a–1)                          (a–0)(a–1)            a           a–1

 

A = 1/a(a–1) | a=0         = 1/–1 = –1

B = 1/a(a–1) | a=1         = 1/1    =   1

PFECD–

     1               1            1

——— = — —— + ———  .................   PFECD–

 a(a–1)          a          a–1

 

Tar vi med det negativa tecknet i början ges bägge termerna positiva om vi också sätter –(a–1)=1–a:

 

     1            1           1

——— =  —— + ———  .................      –PFECD–

–a(a–1)       a        1–a

 

 

Vi sätter in x2 i –PFECD– för a, ROTAR TILLBAKA och vi har

Resultat:

                         ———————

       1                   1            1

———— = Ö —— + ———

 xÖ 1–x2               x2        1 – x2

 

Kontrollräkning:

Med GN = x2(1–x2) ges täljarsumman i HL-roten x2 + 1 – x2 = 1.

Lösningen verifierad.

 

 

 

 

ROTANALYS — hyperbelinversens integral, normalt sett en ytterst svår uppgift

 

 

 

 

Om vi generaliserar PFECD+ med a+c från föregående a+1 får vi den mera allmänna

generalPFECD+

       1             1              1

———— = —— — ————  ........................    generalPFECD+

  a(a+c)        ac         c(a+c)

                                                                                                                                                 c

Isolering av ac-termen ger                                                                                                       — + 1

      1                  1                1           1              c               1               a

———— +  ———— = ——— ;  —— = ———— + ——— = —————

   a(a+c)         c(a+c)           ac          a          a(a+c)        a+c             a+c

 

Exempel 1:                   Försök sönderdela den enkla roten

 

        1

  ————

    Ö 1+x2

 

genom PFECD för att på den vägen försöka expandera integranden.

Lösning:

Med aPFECD=mI(R)=Ö1+x2 har vi objektet

 

T       1

— = —

N      R

 

Insättning i generalPFECD+ med a=R ger direkt via ovanstående isolering av ac-termen

Resultat:

                      c

                     — + 1

     1               R

——— = ——————

     R                R + c

 

Tillämpning:               Hyperbelinversens integral. Med integranden

 

        1                1

 ————    =   —

  (1+x2)1/2          R

 

ges tangensformen för R som DnR         = Dn (1+x2)1/2 = (1/2)(1+x2)1/2 – 1 Dn(1+x2)

                                                                = (1/2)(1+x2)–1/22x = x/R

Tangensformen för (R+x) är alltså x/R + 1.

Logaritmderivatan är Dn ln(P) = Dn(P)/(P). Med (P)=(R+x) således

Dn ln(R+x) = (x/R + 1)/(R+x). Vi kan alltså sätta c=x i resultatet ovan från generalPFECD+ som ger

 

     1                                    d(ln(R+x))

——— = Dn ln(R+x) = ——————

     R                                         dx

 

Vi ser att 1+x2 ger samma resultat som a+x2. Därmed kan vi lösa integralen för den mera generella R-inversen enligt DIFFERENTIALEKVATIONEN

 

    dx                                    1

——— = d(ln(R+x));     ò —— dx = ò d(ln(R+x)) = ln(R+x)

     R                                    R

Resultat:

ò 1/R  dx  =  ln(R+x) ,  R = Ö a+x2

 

 

NOTERING. Att lösa hyperbelinversens integral metodiskt på andra sätt är ytterst besvärligt.

 

 

 

 

 

 

Ekvationslära

 

innehåll: SÖK på denna sida Ctrl+F · sök alla ämnesord överallt i SAKREGISTER  ·  förteckning över alla webbsidor

 

 

 

Ekvationslära

ämnesrubriker

                                     

 

innehåll

              EKVATIONSLÄRA — ENLIGT RELATERAD MATEMATIK

 

                                                         inledande beskrivning

 

                                                         faktoriseringsbegreppet

 

                                                         faktoriseringens grunder

 

                                                                            EKVATIONSLÄRANS HUVUDSATS I

 

                                                                            polynomsatsen

 

                                                                                               koefficientidentiteten

 

                                                                            polynomsatsens operativa kommutativitet

 

                                                         EKVATIONSLÄRANS HUVUDSATS II

 

                                                                            primärteoremet

 

                                                         DEN KOMPLEXA FAKTORISERINGENS Singulära GRUNDKOMPONENT

 

                                                                            realvillkoret

 

                                                         UPPLÖSNINGSSATSEN

 

                                                         DELNINGSSATSEN

 

                                                         MULTIPLICITET

 

                                                         Satsen om PARVIS KOMPLEXA RÖTTER

 

                                                         FAKTORSATSEN

 

                                                                            Rotkriteriet

 

                                                         LINJÄRT EKVATIONSSYSTEM

 

                       Begrepp — 7 GRUNDTERMER

 

                                                         ekvation

 

                                                         funktion

 

                                                         POLYNOM

 

                                                         POLYNOMETS GRAD

 

                                                         ALLMÄN FORM

 

                                                         NORMAL FORM

 

                                                         NOLLSTÄLLE

 

                       PFECD

 

                                                         PFECD — en matematikens turbo

 

                                                         Kort inledning

 

                                                         Webbreferenser

 

                                                         EXEMPELFÖRTECKNING

 

                                                         PFECD — härledning

 

                                                         PFECD-lagen

 

                                                                            generalkriteriet

 

                                                         General PFECD

 

                                                         PFECD-teoremet

 

                                                         Observationella noteringar

 

                                                                            mIx

 

                                                                            Så fungerar det — från grunden

 

                                                                            Successiv utveckling

 

                                                                                               Exempel 1

 

                                                                                               PFECD+

 

                                                         PFECD EXEMPEL

 

                                                         metodidentifieraren

 

                                                         DEN MODERNA AKADEMIN MISSAR PFECD

 

                                                         MULTIPLA FAKTORER

 

                                                         ROTUPPDELNING I PFECD

 

                                                                                               PFECD–

 

                                                         ROTANALYS —  general PFECD+

 

                                                                                               Exempel 1

 

referenser

 

[ITK]. ITK 1-10 MATEMATIKBIBLIOTEK 1962 Lennart Brandqvist,

INSTITUTET FÖR TEKNISKA KURSER Stockholm, Victor Pettersons Bokindustriaktiebolag, Stockholm 1962

 

[BKL]. BONNIERS KONVERSATIONS LEXIKON, 12 band A(1922)-Ö(1928) med SUPPLEMENT A-Ö(1929)

 

t för 10–, T för 10+, förenklade exponentbeteckningar

 

TNED (Toroid Nuclear Electromechanical Dynamics), eller Toroidnukleära Elektromekaniska Dynamiken är den dynamiskt ekvivalenta resultatbeskrivning som följer av härledningarna i Planckringen h=mnc0rn, analogt Atomkärnans Härledning. Beskrivningen enligt TNED är relaterad, vilket innebär: alla, samtliga, detaljer gör anspråk på att vara fullständigt logiskt förklarbara och begripliga, eller så inte alls. Med TNED förstås (således) också RELATERAD FYSIK OCH MATEMATIK. Se även uppkomsten av termen TNED i Atomkärnans Härledning.

 

 

Senast uppdaterade version: 2023-02-22

*END.

Stavningskontrollerat 2009-01-07.

 

rester

men det kan ev. bero på en miss — fråga till Teamet har gjorts 2009-01-07

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PNG-justerad 2011-07-20

åter till portalsidan   ·   portalsidan är www.UniversumsHistoria.se