ATOMTRIANGELN — Universums Historia

Atomtriangeln integralens definition genom aritmetiken | Senast uppdaterade version: 2019-07-11 · Universums Historia

a BellDharma production 2007

RELATERAD FYSIK OCH MATEMATIK

Det här dokumentet behandlar matematikens och fysikens elementära grunder — med särskild början från atomtriangeln (se även Atomtriangeln i inledande allmän beskrivning)

Inledande beskrivning

Nollformsalgebran grunderna till begreppen differens, differential, derivata och integral · differens · differential · derivata · integral

TILLÄMPNINGSEXEMPEL ljusets fysik

Matematiken från Början · Addition · Subtraktion · Multiplikation · Division · Divisionsalgoritmen · Talsystemen · Positionssystemet · Potenslagarna · Logaritmlagarna · Trigonometrin

INTEGRALERNAS ARITMETIK enkla integrala exempel från grunden som förklarar hur integralbegreppet fungerar praktiskt i detalj

Simpsons Formel så härleds den från atomtriangeln

DEN MÄNGDOBEROENDE ¥ sådan den uppträder i atomtriangeln

DEN MÄNGDOBEROENDE ¥ sådan den uppträder i nollformsalgebran

Ändringslagarna integralens definition genom aritmetiken

Zenons teorem · atomtriangelns praktiska fysik i syntes

innehåll denna sida · webbSÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i SAKREGISTER · förteckning över alla webbsidor

grunderna i relaterad fysik och matematik | för ändamålet att förstå naturbeskrivningen

NOLLFORMSALGEBRAN · Den relaterade Formbeskrivningens Grunder — Differens och differential · DEN KVANTITETSOBEROENDE eller

Den Mängdoberoende

I beskrivningen av form- och fenomenvärldens gestalter och figurer, framträder linjer genom kontrastverkan mellan angränsande, olikfärgade ytor: färger och toner.

För att kunna beskriva mångfalden i den form- och fenomenvärldens alla möjliga variationer, måste vi veta — exakt — vad variationerna går ut på. Annars kan vi (uppenbarligen) varken beskriva eller förklara något i grunden.

Ur den rent geometriskt-matematiskt beskrivande synvinkeln, är formernas storlek egal: rent tankemässigt kan en form ha godtycklig utsträckning. Stor eller liten, vilketsom. Den renodlade aspekten på formernas och figurernas framträdande kan då beskrivas enkelt i syntes av ett idealt geometriskt-matematiskt kristallhörn, figuren nedan: punkt, linje, plan, volym.

geometrisk-matematiska kristallhörnet

punktens nollform

Vi kan SE både punkten (hörnet) och linjen (de olika ytorna). Klart och tydligt. Men punkten, hörnet och med samma mening linjens tjocklek, är noll, 0, tom mängd, ingenting och finns därför inte i form och fenomenvärldens tre dimensioner; Linjen har ingen tjocklek och finns bara av det skälet inte i fenomenvärlden. Då punktbegreppets värdemängd alltså i vilket fall måste betraktas som noll, men att dess positionsform likväl är avgörande för formbeskrivningen, kan vi också i förståndsvärldens preferens kalla punktens positionsform för punktens nollform. Vi skiljer därmed redan från början mellan differens och differential. Differensen betyder en kvantitet, alltså allt utom noll, medan en differential uttrycker just nollform och som har värdemängden noll.

Logikens grundsats

Generellt kan vi alltså säga: Punkten (noll) · »sedd framifrån», projicerar eller gömmer linjen (x), — »sedd från sidan», linjen gömmer ytan (xy) , ytan gömmer volymen (xyz) . Vi skriver det enklast 0®x®xy®xyz, och som vi kan referera till som logikens grundsats — därför att den i princip grundlägger all verklig formbeskrivning genom linjer, ytor och volymer utifrån punktens begrepp enligt ovan. Formerna — linjerna, ytorna, volymerna — kan alltså beskrivas med utgångspunkt från noll: punkten. Ingenting.

den mängdoberoende

Eftersom punkten — ingenting — är noll, saknar utsträckning, men tydligen kan sägas bilda intervallet eller differensen (0®x) enligt logikens grundsats, är det tydligt att punktbegreppet inom intervallets domän bestäms av EN MÄNGDOBEROENDE FAKTOR; Intervallet (0®x) kan nämligen INTE summeras genom att lägga punkter = ingenting på rad: I strävan att få en rent matematisk, logiskt begriplig definition på intervallet (0®x) genom punktens nollform, är tydligen 0 + 0 + … = 0 INTE vad vi söker.

DEN MÄNGDOBEROENDE FAKTORN måste alltså tvunget förstås: övergripande enhet (x=1) som omfattar VARJE uppräknelighet. Det garanterar att den mängdoberoende faktorn inte kan beskrivas genom något antal. Den enhet som den mängdoberoende faktorn beskriver får alltså tvunget egenskapen: enhet utan beståndsdelar. Se även den mängdoberoende i atomtriangeln. Med den liggande åttan, ”oändligt” (¥, Symbol med Alt+0165) som den övergripande symbolen för den mängoberoende, kan punkten (differentialen) och intervallet (differensen) definieras begripligt matematiskt exakt enligt följande:

definitioner

Betecknas uppräknelighetens ändlösa hjul 1 2 3 … n med en sluten slinga av typen ¥ (oändligt), kan uppräkneligheterna själva förstås som ändlösa processer i den slutna slingans form. Symbolen ¥ själv kan då beteckna det som omfattar eller innefattar processerna. Därmed får symbolen ¥ två skilda betydelser som aldrig riskerar att sammanblandas: 1. de ändlösa processerna (n®¥) eller ”oändligt” och 2. den mängdoberoende som omfattar dem. Därmed punktens och intervallets matematiskt exakta definitioner:

differens Intervallet definieras enligt

x/[n®¥] = Dx ...................... intervallet eller differensen — icke kontinuerlig mot noll (se även intervallets oförstörbarhet)

den bestämda kvantiteten (x) fördelad över en obegränsat växande kvantitet (n®¥)

differential Punkten eller differentialen för intervallets enhet x definieras enligt

x/¥ = dx = x · 1/¥ ................ punkten — enhetens eller intervallets differential, kontinuerlig mot noll

den bestämda kvantiteten (x) fördelad över den mängdoberoende (¥)

från positioner till värden dxÛ0

I första fallet tolkas [n®¥] n växer obegränsat [friare, “n går mot (®) oändligt”].

I andra fallet tolkas ¥ mängdoberoende: dx övergår i noll (dxÛ0) då vi går från positioner (positionspunkter) till värden (värdemängder), enligt förutsättningen med differentialen som formen för noll. Dubbelpilen (Alt+0219 i Symbol) Û används här som ”övergår i” som närmaste surrogat för det egentliga men i standard obefintliga tecknet .

mästarlogikens huvudsats

Av definitionerna ovan följer MÄSTARLOGIKENS HUVUDSATS:

(x/¥)(1+1+1+…) = x (1/¥ + 1/¥ + 1/¥ + …) = dx ¹ x

punkter kan inte adderas; det existerar inga oändliga mängder

punkter kan inte adderas; det finns inga oändliga mängder

dx ¹ Dx

jämför MAC

Jämför den moderna akademins lärosystem:

”Ibland skriver man dx i stället för Dx”

MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s82sp2ö

Se även ytterligare citat.

Jämförelse genom citat

Citatet nedan med den vänstra figuren visar begreppen till jämförelse mellan modern akademi och relaterad matematik, högerfiguren.

MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s82sp1n.

Källan ger följande förtydligande figur på samma sida, figuren nedan till vänster — vilket avslöjar begreppens grund:

Figuren ovan till höger (parabel på färgad bakgrund) visar motsvarande detaljer enligt nollformsalgebran: differentialen är en nollform, den har ingen utsträckning alls, inte logiskt, inte matematiskt, inte fysiskt. Se vidare nedan från derivatan.

Jämför även:

”oändlighetsaxiomet Följande axiom tillhörigt mängdlärans axiomsystem: Det existerar en oändlig mängd.”

MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s321sp1n

dxÛ0

Eftersom differentialen ENLIGT FÖREGÅENDE RELATERADE MATEMATIK är kontinuerlig mot noll genom övergången (Û) från positionspunkter (dx) till värdemängder (0), vilket vi kan skriva på formen dxÛ0, ”dx övergår i noll då vi går från positioner till värdemängder”, och alltså gestaltar en form för noll, får hela komplexet för differentialerna densamma karaktär. Därav den naturliga benämningen generellt för hela det formbeskrivande komplexet: nollformsalgebran. Denna term ingår heller inte i gängse matematiska nomenklatur.

INTERVALLETS DEFINITION GENOM FORMEN FÖR NOLL eller PUNKTEN får därmed sin matematiska förklaring genom det tidigare nämnda villkoret från den mängdoberoende med enhet (x) utan delar som begreppet integral enligt

x/¥ = dx

x = ¥ dx

x = ò dx

I följande del beskrivs integralen och dess element mera ingående genom begreppet derivata.

derivata och integral

DEFINITIONER GENOM NOLLFORMSALGEBRAN se grundbegreppen differens och differential där

derivata Derivatan definieras i relaterad fysik och matematik (se vidare nedan) ur NOLLFORMSALGEBRAN via differens och differential enligt

dy/dx = y’ = Dn y = (y₀–y)/(x₀–x) ........................... derivatan , tangensformen, eller positionsformen med »prim» för ’-tecknet

differentieringen (x₀=x+dx och y₀=y+dy) av tangensformen för räta linjens ekvation (y₀–y)/(x₀–x).

derivatans metod Metod: UTVECKLA y-formen i Positionsformen dy/dx=(y₀–y)/(x₀–x) för att isolera

differentialerna; därmed extraheras eller renas y-formen från associerade differentialer genom

dxÛ0 och dyÛ0, där Û (övergår-i) betecknar övergångsformen från positionspunkter (dx) till värdemängder (0, noll, ingenting), vilket ger slutresultatet. Se EXEMPEL.

integral Integralen definieras i relaterad fysik och matematik (se vidare nedan) som derivatans omvändning via differentialekvationen

dy = y’dx ................................................................ fundamentala differentialekvationen

enligt

y = ò y’dx ................................................................. integralens fundamentala form, fundamentalintegralen

Se även den kompletterande INTEGRALENS DEFINITION SOM ENHET UTAN DELAR genom atomtriangeln.

TERMEN DIFFERENTIALEKVATION ovan används här ur den rent beskrivande synvinkeln: bägge leden innehåller differentialer. Termen differentialekvation används inte så konventionellt. Där kallar man istället typformen y’=dy/dx, med vidare, för »differentialekvation». Här kallas den typen (y’ … = …) för en derivataekvation, en variationsekvation eller enklare en variant. Se vidare beskrivning nedan. Den konventionella termen för ett typled av formen dy=y’dx har (här) veterligt ingen speciell benämning (kallas allmänt för ”differentialuttryck”).

beskrivning

Derivatan

Från tangentfunktionen

tangentfunktionen

tanA = y/x

tangens

grundläggande trigonometrisk funktion

y r

tanA = — = y/x y

x A

A, vinkeln (rummet) mellan x och hypolinjen

r=Öx²+y²

definieras begreppet derivata (kurvlutning) eller tangensform från nollformsalgebran generellt som en variationsekvation [y’= f (x)] eller en variant:

Variant. Eftersom derivatan anger en lutning (y’=tanA) i varje punkt av en given kurva och därmed beskriver hur en funktion varierar från punkt till punkt, kan vi också enkelt och bekvämt kalla derivatans samlade funktion för en variant (en variationsfunktion). Formellt definieras varianten som nedan;

derivatan

från tangentfunktionen och differentialens definition

—————————————————

y’ = dy/dx = tanA = (y₀ – y)/(x₀ – x)

definition:

Bestyckning av tangensfunktionen tanA=y/x med differentialer ger derivatan eller tangensformen:

tanA = y/x = k ;

y = kx +N ; räta linjens ekvation i xy-planet, N anger skärningen med y-axeln

y₀ = kx₀+N ;

(y₀ – y) = kx₀+N – (kx+N) ; räta linjen mellan två punkter

= k(x₀ – x) ;

y₀ – y

——— = k = tanA = y’ = Dn y

x₀ – x

enligt

y₀ = y+dy ;

x₀ = x+dx

dy/dx = y’= tanA

positionsformen

Ekvivalent med tangensformen eller derivatan i relaterad matematik är också termen positionsformen eller differentialkvoten y’=(y₀–y)/(x₀–x).

derivatans metod:

Metod: UTVECKLA y-formen i Positionsformen dy/dx=(y₀–y)/(x₀–x) för att isolera differentialerna; därmed extraheras eller renas y-formen från associerade differentialer genom dxÛ0 och dyÛ0, där Û (övergår-i) betecknar övergångsformen från positionspunkter (dx) till värdemängder (0, noll, ingenting), vilket ger slutresultatet.

Lutningen i punkten P(0,5; y) är lika med tangensvärdet 1 som ger lutningsvinkeln A=45°, illustrationen nedan. Se följande räkneexempel.

parabelns derivata

EXEMPEL y=x²; y₀=x₀²; vi använder

Konjugatlagen (a²–b²)=(a–b)(a+b):

dy/dx = y’= (y₀–y)/(x₀–x)

= (x₀²–x²)/(x₀–x)

= (x₀+x)(x₀–x)/(x₀–x)

= (x₀+x);

dxÛ0 ger (x₀+x) Û 2x ;

resultat: y’ = 2x = Dn x².

Svar: Parabelns derivata (y’), eller allmänna tangensform, är y’ = 2x.

Dn synkoperar (sammandrar) “derivatata-tangensformen för”. Konventionellt används enbart ”D” .

sammanfattning

DERIVATAN (tangenten) ger lutningen i funktionspunkten P(xy) för varje givet variabelvärde x. Gränsvärdesresonemang finns inte. Lutningen i P är y’=dy/dx=(y₀–y)/(x₀–x) med y₀=y+dy och x₀=x+dx.

I konventionen görs ingen egentlig åtskillnad mellan differentialen (dx) och differensen (Dx) varför heller inte den ovan givna enkla derivatans härledning, beskrivning och förklaring finns med. På grund av det etablerade föreställningssättet med dx=Dx tvingas man istället införa derivatans definition genom ett gränsvärdesresonemang. Se följande beskrivning.

fortsättning

Se utförliga exempel i

TILLÄMPNINGSEXEMPEL PÅ DIFFERENTIALENS BETYDELSE I RELATERAD FYSIK

och som leder direkt på fysikens hjärta: ELEKTRISKA LADDNINGEN.

I den moderna akademins lärosystem definieras derivatan som ett gränsvärde med grund (se föregående citat) i att sätta likhet mellan punkt (differential) och intervall (integral) — vilket därigenom endast ytterligare försvårar den vidare inblicken i matematiken på den här nivån för den som är intresserad.

ENCARTA (99) har ett relativt utförligt illustrerad parti i ämnet som jag (här, se nedan) rensat och preparerat för bästa läsbarhet.

Citat från ENCARTA 99 Calculus Figure 1, med texten (fetstilen i citatet är min markering):

” We therefore define the derivative to be the value (or limit) which k/h approaches written

f (x₀+h) – f (x₀)

f ’(x₀) = _h_®₀lim k/h = _h_®₀lim ———————

”

” This represents both the rate of change of y and the gradient of the graph at A ”

” Some words of caution are needed here. Firstly, to find the derivative we make h small (positive or negative), but never zero: this would give k/h = 0/0, which is meaningless. … Thirdly, although the notation dy/dx suggests the ratio of two numbers dy and dx (denoting infinitesimal changes in y and x), it is really a single number, the limit of a ratio k/h as both terms approach 0. ”

Man sätter alltså y’= (y₀–y)/dx och låter dx=h=intervallet=Dx gå mot noll, analogt y₀ gå mot y, vilket ger (gränsformen för) en kvantitativ numerisk värdeform, ingen kvalitativ definition på själva begreppet. Derivatan är ett entydigt punktvärde, inget gränsvärde. Men den beskrivningen ingår inte i det etablerade lärosystemet.

integralbegreppet

INTEGRALEN GENOM DERIVATANS OMVÄNDNING

FUNDAMENTALINTEGRALEN

INTEGRALEN GENOM DERIVATANS OMVÄNDNING

Från derivatan y’=dy/dx ges direkt dy = y’dx = y/¥. Den regelmässiga överflyttningslagen för division ger då, från de bägge sista delarna, ¥y’dx = y. Med grund i ATOMTRIANGELNS INTEGRALA EXEMPEL skrivs ALLTSÅ samma led som ¥y’dx = y = ò y’dx:

INTEGRAL

ò integrand · integrationskonstant = INTEGRAL

OBSERVERA att termen integrationskonstant (här typiskt dx) i konventionen har en helt annan betydelse.

Från Differentialens definition med INTERVALLETS OFÖRSTÖRBARHET (se Atomtriangeln) vet vi att differentialen är abstrakt för formvärlden: den ändras inte, utan är konstant för sin del. I modern akademi däremot där man anser att differentialer ÄR intervall, får också differentialen betydelsen av en ändringsfaktor (vilket uppställer ytterligare villkor och svårigheter för den studerande . . .).

fundamentalintegralen

dy/dx = y’ .................. varianten variationens ekvation, variationsekvationen, varianten (derivataekvationen)

dy = y’dx ................... fundamentala differentialekvationen, den beskriver en ytform (y · x)

ò dy = y = ò y’dx ....... fundamentalintegralen, se även samma integralform genom Atomtriangeln

Sambanden, ursprungligen från tangensfunktionen dy/dx, betyder att integralen också (utöver atomtriangelns direkta metod) kan erhållas som DERIVATAN BAKLÄNGES. Exemplet nedan ansluter till derivataexemplet närmast ovan.

integralen

EXEMPEL:

dy/dx=2x=y’ ger differentialekvationen dy=2x dx analogt dy=y’dx med integralen/lösningen

¥ dy = y = F(x) = ¥ (2x dx) = x² = ¥ [(x²)’dx]***

ò dy = y = F(x) = ò 2x dx = x² = ò (x²)’dx = ò F’(x) dx = ò y’ dx ;

ò 2x dx = x²

Se även motsvarande INTEGRALA EXEMPEL i atomtriangeln.

*** KVANTITATIVA MULTIPLIKATIONEN ¥(y’x/¥) = y’x återför endast intervallet x (eller kvantiteten y’x) på dess enhetsform och lämnar övriga parametrar i formen av en fix konstant. KVALITATIVA INTEGRATIONEN ¥(y’x/¥) däremot inkluderar hela integranden=funktionsuttrycket i funktionspunkten (y’dx)Û0Ûdy.

Genom att tillämpa positionsformen på matematikens grundfunktioner ges en mera överskådlig och allmängiltig bild av de grundläggande mera praktiskt användbara sambanden för derivata och integral. Se vidare beskrivningen i formlagarna.

fysiken

EXEMPEL

Se Accelerationsbegreppet i sektionen FYSIKALISKA GRUNDBEGREPP om ej redan bekant.

integralens bestämda form

bestämda och obestämda integraler

INTEGRALKONSTANTEN

OBSERVERA att termen integralkonstant inte alls finns med i den moderna akademins lärosystem

Innan vi kan använda integralerna i praktiska beräkningar, måste vi först känna till vad som menas med en bestämd eller definit integral (y, understruket y) till skillnad från en obestämd eller indefinit integral (y). Anledningen ligger i fundamentalintegralens differentialform som YTA, dy = y’dx; Förutsättningen (nämligen) för att ytvärdet (y) ska vara noll är att också variabelvärdet (x) är noll. I annat fall finns ingen fast referens för begreppet nollvärde med nollyta.

En bestämd integral definieras y=y–y(0) där skrivsättet y(0) betyder att variabeln x sätts 0 i y-funktionen för att få fram integralkonstanten (detta begrepp finns inte i modern akademi): Är y(0)¹0 definierar y(0) en integralkonstant (Q). En obestämd integral är en icke (x=0)-avstämd integral.

integralkonstanten

EXEMPEL:

Den obestämda integralen y=(1+x)² blir bestämd = direkt beräkningsbar från x=0 genom
y = y – y(0) = (1+x)² – (1+0)² = (1+x)² – 1;

Q=1=integralkonstanten.

Integralkonstanten, om inte redan 0, kan inte deriveras bort ur integralformen.

Var noga med att kontrollera om en integral är bestämd eller obestämd: försöker man använda en obestämd integral i exakta beräkningar, blir resultaten galna, helt vilda! Jag har själv (som nybörjare) upplevt en del fruktansvärt frustrerande stunder på grund av att jag glömde av att bestämma integralformen.

Det är enkelt att se om integralen redan (eventuellt) är bestämd: kolla bara om y ger noll för x lika med noll. Är så fallet är integralen redan bestämd och den kan då användas direkt för beräkningar.

Insättningsgränser

Betydelsen av integralkonstanten (Q) elimineras automatiskt om vi DIREKT utnyttjar grundvillkoret med s.k. insättningsgränser. Dessa talar om att vi önskar beräkna integralen (alltså en yta) FRÅN ett visst variabelvärde för x TILL ett annat, dvs, den aktuella ytan i det intervallet. Integralen skrivs då (M för modus, måttet, eller derivatan, samma som integranden)

b b a

y = òMdx ; = òMdx – òMdx ................ integralkalkylens huvudsats

a 0 0

med b som största och a som minsta x-värdet [med rakt skrivsätt y = _b_®aò Mdx], alternativt

b b

y = ò f (x) dx = [ F(x) ] = F(b) – F(a)

a a

med innebörden

y_b = F(b) – Q ........................................ största (b)

y_a = F(a) – Q ........................................ minsta (a)

motsvarande

y_b – y_a = F(b) – Q – F(a) + Q = F(b) – F(a)

Integralkonstanten elimineras alltså automatiskt med insättningsgränser.

VAR LIKVÄL OBSERVANT PÅ INTEGRALFORMEN: eftersom xy-axlarna sätter definitiva gränser, finns också motsvarande integraler som “jävlas omkring xy”. Jämför integralen y=1/x: den kan inte användas direkt från x=0. För sådana fall måste man justera integralen genom att lägga till en tillfällig integralkonstant (C¹0), i exemplet

y=1/(x+C) som ger den bestämda integralen y = 1/(x+C) – 1/C.

Matematikbeskrivningen efter detta htm-dokument fortsätter i Formlagarna.

begin

2007XI2

ATOMTRIANGELN OCH NOLLFORMSALGEBRAN

inledande beskrivning

DET HAR VISAT SIG ATT Matematiken och fysiken kan beskrivas och förklaras utomordentligt med hjälp av de följande två paragonerna (mönsterformerna). Jag överlämnar domen i det avseendet på läsaren:

atomtriangeln

ATOMTRIANGELN DEFINIERAR ENHETEN (integralen eller intervallet) såsom fullständigt i avsaknad av beståndsdelar, och ger alla nybörjare en exakt elementär matematisk metod för att förstå i detalj hur integration (ytberäkning av krökta figurer) fungerar — med enkla och tydliga exempel genom den elementära matematikens grundlagar — samt visar oss i detalj hur den berömda Simpsons Formel härleds och som (numera) används i alla tekniska programmerbara kalkylatorer för numerisk beräkning av integraler av godtycklig komplexitet. Som integral grundval för fysikens alla variationer, ger atomtriangeln dessutom ändringslagarna som beskriver principen för begreppet variation genom matematikens logik. Atomtriangeln finns emellertid inte omnämnd i det etablerade lärosystemets nomenklatur. De facto. I fallet Simpsons formel och dess härledning, finns i etablerade kretsar (2007) heller ingen enkel eller lättfattlig beskrivning: Gängse beskrivningar är krångliga och abstrakta, och ingen förstår (läs: kan förklara) innehållet.

det matematisk-geometriska kristallhörnet

DET MATEMATISK-GEOMETRISKA KRISTALLHÖRNET definierar hela form- och fenomenvärlden genom matematikens grundelement punkten (0), linjen (x), planet (xy) och volymen (xyz). Tillsammans med intervallet eller enheten, som bäst beskrivs av atomtriangeln, ger det matematisk-geometriska kristallhörnet en mera preciserad bild av atomtriangelns integrala element genom begreppen differens (intervallet) och differential (punkten eller formen för noll) med ett naturligt samlingsbegrepp med namnet nollformsalgebra med synnerligen enkla och direkta definitioner av integral och derivata, vilka begrepp vi MÅSTE ha koll på för att förstå naturprocesserna i deras variation, men distinktionen intervall-punkt har aldrig upptagits av det etablerade lärosystemets nomenklatur och förekommer därför inte någonstans i den nu (fram till 2007XI2 med vidare) tillgängliga litteraturen.

Det råder STRID

Speciellt under 1800-talet (den moderna akademins födelse) genomgick matematiken-logiken (Dedekind, Cantor, Weierstrass, Bolyai, Lobatjevskij) och fysiken (Lorentz, Einstein) starka omvälvningar. I slutänden har de medfört att STRID uppkommit mellan ovanstående två paragoner och deras ställning kontra den moderna akademins hävder, normer, synsätt och anspråk. Jag menar för mig egen del, att beviset på den striden ligger i hela mänsklighetens matematikkunskap såsom grundad på den moderna akademins lärosystem: den är bedrövlig. Matematiken är rejält hatad av många. Det mest iögonenfallande i den stridigheten är följande remarkabla, vilket kommer att beskrivas längre fram i detalj i den här presentationen. Medan nollformsalgebran skiljer skarpt mellan differential (dx) och differens (Dx) enligt dx¹Dx, skriver modern akademi dx=Dx (se citat nedan): man anser att intervallet (Dx) besitter kontinuitet mot noll, vilket i ett slag undanröjer atomtriangelns enkla paragon, och som därmed också helt eliminerar nollformsalgebran. Ingenting av ovannämnda tillåts komma fram.

”Ibland skriver man dx i stället för Dx”

MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s82sp2ö:

”4.5-3. Differentials. (a) Given an arbitrary small change (increment) dx of the independent variable x (differential of the independent variable x) …”.

[MATHEMATICAL HANDBOOK FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS Second Edition, McGraw-Hill 1968, page 98/4.5-3]

”arbitrary small change”. Dvs., ”dx = Dx”: Intervall = differential, vilket är den allmänna uppfattningen inom den moderna akademins lärosystem.

”punkt I geometrin, en odefinierad storhet som representerar ett objekt med läge men utan utsträckning.”

MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s353sp2n:

Ingen av de bägge ovannämnda paragonerna kan beskrivas med den moderna akademins begrepp. Dörren är och förblir sluten, och ingen kommer ditin. Nu, genom datorernas frammarsch, har vi (i stort) hela den moderna akademins referenser samlade på @INTERNET. Så, läsaren (som har Internetanslutning) kan själv studera och jämföra — i den mån jag inte kan klargöra sammanhangen i den här presentationen. Det är i vilket fall min avsikt att ställa fram alternativen i ljuset och visa att det finns flera alternativ än bara ett. Ändamålet är trots allt att läsaren ska förstå detaljerna i sin egen existens, inte bli ihjälslagen av dem.

Följande presentation är (tänkt att vara) utformad så att läsaren ska kunna hoppa fritt mellan olika delar via markerade länkar, allt efter egen association. Målet i slutänden är att läsaren ska kunna förstå och därmed kunna formulera den grundläggande matematik som beskriver ämnet variationer, samt att läsaren därmed i princip också ska kunna läsa vilken som helst matematisk litteratur utan att behöva fråga någon om innehållet (i varje fall inte i någon djupsinnig mening …).

Atomtriangeln i inledande allmän beskrivning

Atomtriangeln: delen närmast noll kan aldrig delas

ATOMTRIANGELN grundlägger hela fysikbeskrivningen: eftersom FYSIKEN kännetecknas av oupphörlig ändring och variation, är det av avgörande vikt att vi, för beskrivningen av naturprocesserna, kan formulera variationens grundläggande element. Kärndelen i DEN relaterade beskrivningen är, som det har visat sig, ATOMTRIANGELN. Men atomtriangeln finns explicit inte beskriven eller ens omnämnd i den kända vetenskapshistoriens lärosystem — trots att den har flera centrala kopplingar till redan kända detaljer — till exempel Simpsons Formel.

Matematiken från Början

INTEGRALERNAS ARITMETIK

Simpsons Formel

DEN MÄNGDOBEROENDE atomtriangeln

DEN MÄNGDOBEROENDE nollformsalgebran

Genom att atomtriangeln bestämmer metriken i begreppet variation (genom matematikens alla möjliga variationskurvor som beskrivs av det matematiska xy-systemet), återfaller också hela lagfysiken på atomtriangelns begrepp i formen av ÄNDRINGSLAGARNA:

ändringslagarna

tillstånd I varje tillstånd — tangent, linjär utsträckning — kvarstår tills affekterat

jämvikt II vid ändring, är ändringen proportionell mot den tillståndsändrande accelerationen

ändring III ändringen inträffar inte omedelbart utan genom ett intervall

(från hastighet 0 till v under en tid T som innebär en acceleration [grundläggande kraftens motor] a=dv/dT, variabeln ligger i differensen=intervallet T, inte i differentialen), med påföljden: Mot varje tillståndsändrande acceleration svarar också, i försorg av intervallets existens, en lika stor motriktad tillståndsbevarande acceleration — en intervallbaserad tröghet (inertie), samma som induktion i elektrofysiken

Läsaren känner omedelbart igen dessa tre satser från Newtons tre rörelselagar. De beskrivs här, först, sådana vi känner dem genom den allmänna litteraturen,

I varje kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller rätlinjig likformig rörelse om den inte påverkas av en kraft

II påverkas kroppen av en kraft, är tillståndsändringen proportionell mot den tillståndsändrande kraften

III mot varje tillståndsändrande kraft svarar en lika stor motriktad tillståndsbevarande kraft

och sedan genom Newtons egen formulering av rörelselagarna från Andrew Mottes översättning av Principia 1729:

I Every body perseveres in its state of rest, or of uniform motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces impressed thereon.

II The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.

III To every action there is always opposed an equal reaction; or the mutual actions of two bodies upon each other are always equal, and directed to contrary parts.

Emellertid har debattvågorna gått höga genom historien för den delen, och gör så fortfarande (se exv. @INTERNET Wikipedia Talkpage Physics) eftersom många har identifierat satserna som lagar för kroppar. Tolkar man dem så, nämligen, gäller de INTE för hela fysiken. Ett exempel är induktionen inom elektrofysiken. Tolkar man istället Newtons bidrag just som ett bidrag — eftersom han ju inte kunde veta något om elektrofysiken från början, och därmed heller inte var i stånd att penetrera ATT vad han i själva verket upptäckt genom sina tre rörelselagar var något (ofantligt) mycket större och vidare — DÅ gäller de även för induktionen som fenomen: Newtons tredje lag bildar hela grundvalen för induktionens härledning: varje ansats till ändring resulterar (induktionen) i en lika stor men motsatt riktad ansats att bevara tillståndet. Utan den förutsättningen blir induktionen som fysikaliskt fenomen omöjligt att härleda, beskriva, fatta och förstå. Atomtriangeln.

Atomtriangeln

INTERVALLETS OFÖRSTÖRBARHET

ATOMTRIANGELN

Integralernas Aritmetik

GRUND:

Vi vet genom enkla geometriska exempel (som inte redovisas här) att en YTA mellan en given rät linje (x-axeln) och en given kurvform kan beräknas alltmera noga genom att dela in rummet mellan kurvan-x-axeln i allt finare och flera långsmala rektanglar. På den vägen, men utan att summera rektanglarna explicit, framträder den unika atomtriangeln som en allmän, mera renodlad matematisk allmänform för samtliga fall som berör ytberäkningar, eller som vi ska säga, integraler motsvarande fasta bestämda enheter, kvantiteter, mängder eller intervall. Vi studerar hur.

Textruta: Ytans form, samma som ytans variation eller ytans tangensform, kallas allmänt för derivata.

Ytans ekvation kallas allmänt för (derivatans) integral.

Följande formulering är (här) överkurs, dess betydelse framgår spontant (längre fram) för den läsare som ännu inte hunnit bli förtrogen med grunderna.

Eftersom matematikens konstanter (C) inte innefattar någon variation, gäller heller inte en konstant (ett punktvärde) som integral (enhet utan delar); en integral kan bara bestämmas ur en motsvarande lutande linje i xy-systemet, inte en som är parallell med baslinjen (x). Därmed innefattas matematikens samtliga integralformer (samband som innehåller variationer) av atomtriangeln som den ideala linjära utsträckning en kurva uppvisar i varje funktionspunkt. Vi kommer att studera hur det fungerar med enkla (men sammansatta) praktiska räkneexempel.

Atomtriangeln ingår INTE i den moderna akademins lärosystem.

Den omnämns inte, den beskrivs inte — trots att den visar den direkta härledningen till den numeriska integraloperator som numera används i många tekniska programmerbara räknare: Simpsons Formel; den härleds på alla möjliga upptänkliga sätt UTOM via den enklaste vägen: atomtriangeln. Se (den i förhållande till gängse beskrivningar mycket enkla) härledningen i INTEGRALEN I NUMERISKA BERÄKNINGAR.

Den Integrala Algebrans och Aritmetikens Första och Enda Huvudsats:

delen närmast 0 kan aldrig delas

Matematiken här är helt elementär, men det här mönstret är ändå inte så jäkla enkelt att se direkt ändå: Om följande inledande beskrivning uppfattas knölig och svår att förstå i början: hoppa över den och gå direkt på de efterföljande exemplen. Det är först genom exemplen man fattar hur det fungerar och vad det handlar om. Ur dessa har sedan beskrivningen framkommit i min historia — gör din egen, om du tycker att mitt alternativ är bristfälligt, men det är avgörande viktigt att du verkligen förstår (har fått en glimt av) principen för din egen del:

m 0 1 2 … delen närmast 0 (kärntriangeln) kan inte delas

n 0 1 … delen närmast 0 (kärntriangeln) kan inte delas

x 0 … variabeln x från noll: varje x-värde större än noll beskriver ett intervall

atomtriangeln

DEN MÄNGDOBEROENDE INTRODUCERAS

beskrivning:

Om intervallet x i y’=f (x) — med f (x) som en godtycklig funktion av x — kan skrivas på en mängdoberoende form (se även den mängdoberoende i nollformsalgebran) — vilket betyder att intervallet x kan skrivas på en godtycklig summa (S) som gäller för enheten (1) eller med samma innebörd integralen (I) — och med de alla möjliga av m bestämda delarna (d=x/m) med de n=(x/d)–1=m–1 möjliga rektanglarna (y’d) utgående från x=0=y’ (se illustrationen ovan vänster) — och så är det enligt de givna typexemplen som följer —

konsekvens:

finns i fallet n i första delen 0 till 1d

ingen representation för integralen=intervallet=I_x — eftersom n=1 inte räknas från x=0;

finns i fallet m i första delen 0 till 1d heller

ingen representation för I_x eftersom rektangeln från x=0 till 1d i vilket fall har y’=0; rektangeln med y’¹0 räknas först från m=1. Är f.ö. y’=konstant (k) gäller direkt m=1, analogt d=x som ger ytan A=dmk=xk=y=y’x;

beviset för att integral är enhet utan delar

se även den mängdoberoende genom nollformsalgebran

Mängdoberoendet, som kopplar integralen (I) till enheten m=1 analogt d=x, utesluter i vilket fall första delen 0 till 1d; För att det mängdoberoende intervallet=integralen ska gälla ekvivalent för S, analogt enheten 1, utgår således delintervallet d automatiskt ur integralsubstratet S. Se Exempel 1 nedan till figuren ovan, samt efterföljande ytterligare. Härav följer:

OM d i S sätts ekvivalent med noll är kriteriet för integral = enhetsmässig ekvivalens tydligen uppfyllt.

Därmed erhåller man y’-formens ytekvation genom y’d som en enhet (integral) utan delar förutsatt att S kan lösas.

gränsvärdesresonemang

Observera att även om man använder ett gränsvärdesresonemang typ d=x/[m®¥], som betyder att x delas av en kvantitet som växer obegränsat (”m går mot oändligt” med ”oändligt” [¥] som tecknet Alt+0165 i Symbol) och som ”gör d försvinnande litet”, tvingas man ändå i slutänden HOPPA över differensen som motsvarar atomtriangelns kärndel (nolldelen som inte kan delas): kvantitativt blir resultatet alltmer noggrant, men kvalitativt är det omöjligt att helt frångå processen med den obegränsat växande mängden delar (d). Slutresultatet i netto (efter att man hoppat över kärndelen) blir alltså detsamma:

d=0, endast =0, och inget annat än d=0 definierar integralens=enhetens kvantitet. M.a.o.:

· en integral, detsamma som ett fundamentalintervall (atomtriangelns kärndel, eller ”nollan”), saknar beståndsdelar

· ett intervall saknar kontinuitet mot noll: intervallet kan inte skapas ”mjukt ur noll” eller utplånas ”mjukt till noll”, utan måste förutsättas givet; man kan räkna med det, eller frånse det, men inte skapa det eller utplåna det

integralens definition

Därmed ges tydligen d exakt samma kvalitativa innebörd — formen för noll — som dx i fundamentalintegralen

y = ò y’dx

Se även särskilt enkla bevis i BEVISEN FÖR INTERVALLETS OFÖRSTÖRBARHET.

INTEGRALENS DEFINITION GENOM ATOMTRIANGELN blir därmed i komplement till nollformsalgebrans derivataomvändning:

en integral betyder enhet utan delar

Atomtriangeln och Intervallets oförstörbarhet

INTEGRALA EXEMPEL

Method:

Metod: UTVECKLA y’-formen i summaFormens fullständiga ekvivalent*** för att isolera d, därmed extraheras eller renas y’-formen från associerade d genom dÛ0 (d ”övergår i” 0, dubbelpilen i Symbol från Alt+0219): d=noll; en integral saknar beståndsdelar

*** ekvivalenten som beskriver summaformens, analogt x-intervallets lösning typ S=summan av alla heltal=m(m+1)/2. Se Seriesummor.

Genom att tillämpa dÛ0 på resultatet (se förklaringen ovan i Metod) enligt atomtriangelns kärndel som ovan, ges integralen eller arean (A). Följande exempel klargör hur det fungerar. Exemplen använder former vars lösningar kan nås med alternativa metoder och därmed belysa riktigheten i resultaten. Integraltecknet (ò, Alt+0242 i Symbol) som används nedan beskrivs mera ingående efter exemplen — Se den delen här som tillfällig överkurs, om ej redan bekant.

Om du bara är ”lite rostig” med grundmatematiken och behöver en snabbdusch för att olja upp maskineriet finns en snabbgenomgång i kort sammanställning i MATEMATIKEN FRÅN BÖRJAN.

triangelytan

Exempel 1 — triangelytan (endast de signifikanta mellanresultaten är utskrivna i uträkningarna nedan); vi vet redan att triangelytan är av typen xy’/2:

y’=kx, k anger lutningen y’/x, d=x/m;

Lösning: y = A = d(y’₁+…+y’_m)

= d(k1d+…+kmd)

= d²k(1+…+m); summan av m heltal är m(m+1)/2;

= d²k m(m+1)/2 = d²k m²(1+1/m)/2 = kx²(1+d/x)/2 = k(x–d)x/2

d=noll; en integral saknar beståndsdelar: tillämpa dÛ0 på resultatet:

k(x–d)x/2 Û k(x–0)x/2 = kx²/2 = ò kx dx = xy’/2

Svar: y = kx²/2, triangelytan, (kx)-integralen

parabelytan

Exempel 2: y’=x²/2Z, parabelYtans variationsEkvation, m=x/d; också parabelytans ekvation kan lösas med andra metoder, den är av typen xy’/3:

Lösning: y = A = d(y’₁+…+y’_m)

= d[(1d)²+ …+ (md)²]/2Z

= d³[1²+ …+ m²]_=S/2Z

= (d³/2Z) [(2m+1)m(m+1)/6]_=S

= (d³/2Z) [(2x/d+1)x/d(x/d+1)/6]_=S

= (1/2Z)[(2x+d)x(x+d)x/6]_=S

d=noll; en integral saknar beståndsdelar: tillämpa dÛ0 på resultatet:

(1/2Z)[(2x+d)(x+d)x/6] Û (1/2Z)[(2x+0)(x+0)x/6] = (1/2Z)[2x³/6] = x³/6Z = ò x²/2Z dx = xy’/3

Svar: y = x³/6Z, parabelytan, (x²/2Z)-integralen

paraboloidvolymen

Exempel 3: y’=x²/2Z, paraboloidens axiella variationsEkvation, Vd=px²d, y’2Z=x², Vd=p(y’2Z)d, m=y’/d;

Lösning: y_rot=V = 2Zpd(y’₁+…+y’_m)

= 2Zpd[1d+ …+ md]

= 2Zpd²(1+ …+ m)_=S

= 2Zpd²[m(m+1)/2]_=S = Zpd²m(m+1)

= Zpd²(y’/d)(y’/d+1)

= Zpy’(y’+d)

d=noll; en integral saknar beståndsdelar: tillämpa dÛ0 på resultatet:

Zpy’(y’+d) Û Zpy’(y’+0) = Zpy’² = 2Zp ò y’dy’= 2Zpy’²/2 = Zpy’² = Zpx⁴/4Z² = px⁴/4Z = px²y’/2

Svar: y = px⁴/4Z, rotationsParabelns volym (paraboloidens volym)

sfärvolymen

Exempel 4: r²=x²+y², sfärens axiella variationsEkvation, m=r/d, VCYL = px²d = p(r²–y²)d = p(r²–[nd]²)d;

Lösning: V_SPH/2 = pd(r² – [1d]² +…+ r² – [md]²)

= pd(mr² – [md]²)

= pd(mr² – d²[1² + …+ m²]_=S)

– d² [2(m+1) m (m+1)/6]_=S

– d² [2(r/d + 1)(r/d)(r/d + 1)]/6

– d²[(2r/d +1)(r/d +1)(r/d)]/6

– (rd)(2r/d +1)(r/d +1)/6

– (r)(2r+d)(r/d –1)/6

= pd( [r/d]r² – r(2r+d)(r/d –1)/6 )

= p([r]r² – r(2r+d)(r+d)/6) ;

d=noll; en integral saknar beståndsdelar: tillämpa dÛ0 på resultatet:

p([r]r² – r(2r+d)(r+d)/6) Û p([r]r² – r(2r+0)(r+0)/6) =

= p( r³ – r(2r) [r]/6 ) = p( r³ – r³(2)/6 ) = pr³( 1 – 1/3 ) = pr³(2/3) = VSPH/2

VSPH = 2VSPH/2 = 4pr³/3 = ò A dr = ò dV = ò V ’dr

Svar: V_SPH = 4pr³/3, totala sfärvolymen

NOTERA FÖR eventuella försök att härleda SFÄRYTAN: inskrivna cylindrar (mantelytorna) kan INTE användas för att beräkna sfärens yta (A=4pr²); cylinderMantelns yta är aldrig del i sfärens kropp. En effektiv lösning av den typen kräver istället koniska sektioner med successivt olika lutningar. Det finns dock andra (urgamla) sätt att förstå sfärytans matematik på och som tillhör den verkligt elementära matematiska filosofin (tillsammans med de övriga matematiska grundbegreppen). Tyvärr verkar det som att i stort sett ingenting av denna »urgamla» matematikkunskap — på nivån förskola — tilldrar sig nutida författares intresse.

Se vidare utförligt i ELEMENTARYTORNA, där ges en utförlig beskrivning av de enkla klassiska grunderna till sfärvolymen, sfärytan och konvolymen tillsammans med jämförande integrala exempelutvecklingar.

Resultat:

Om vi följer ”jobbet” som atomtriangeln utför i ovanstående exempel, samt den inledande beskrivande principen, kan hela saken också formuleras mera noga matematiskt på följande sätt — ytan för rummet, eller svepet, av y’ via integrationskonstanten dÛ0 mellan funktionskurvan y’ och x-axeln, är integralen ò (historiskt från Leibniz’ ”långa s”), utan beståndsdelar:

x/d=m x/d=m 1

y=[å y’_m ](dÛ0) = [å f (x=md)](dÛ0) = å y’_m (dÛ0) = ò y’(dÛ0) ;

m=1 m=1 m=1

summaFormen på Integralen är självförstörande;

vilket i klartext betyder:

å = ò ....................................................................... _m₌₁_®1å är ingen summaForm, bara en enhet (den mängdoberoende)

m=1

Integralen (med integraltecknet ò Alt+0242 i Symbol) gäller bara för enheten 1;

Därmed ges tydligen d exakt samma kvalitativa innebörd — formen för noll — som dx i fundamentalintegralen

y = ò y’dx

Se även särskilt enkla bevis i BEVISEN FÖR INTERVALLETS OFÖRSTÖRBARHET.

En integral kan inte beskriva, inte definiera och inte relatera någon summa av delar. Inte alls över huvud taget;

En integral saknar beståndsdelar.

Allmänt

ATOMTRIANGELNS INTEGRAL — en fullständig algebraisk integral — kan bara lösas om S kan det.

Exemplen visar att metoden är relativt arbetskrävande.

I generell praktisk mening — men inte teoretiskt — är därför atomtriangelns integralmetod begränsad till variationer av typen y’=Axⁿ, och även då i begränsad omfattning; Lösningen till S för godtyckliga 1ⁿ+2ⁿ+…+Nⁿ tillhör (nämligen) INTE matematikens allra enklaste uppgifter. Algebraiska integraler i generell mening grundas istället på variationsekvationens (variantens) omvändning genom begreppet matematisk struktur (formlagar).

I exemplen ovan används ekvivalenter för olika seriesummor. Nedan (se Seriesummor) ges ett exempel på hur man kan härleda sådana.

Seriesummor

Seriesumman för alla heltal

HELTALENS SERIESUMMA

Betrakta uppställningen

n 1 2 3 4 5 6 … n

S 1 3 6 10 15 21

Sista raden summerar (S) successivt från 1 och uppåt med växande n. Titta till exempel på n=3 och n=4: Deras produkt är 12; halva 12 är 6: det står också ”6” under trean. Stämmer den ordningen generellt? Vi testar med n=4 och n=5: Produkten är 20, halva är 10. Bingo. Ordningen är alltså densamma: det n:te talet summerar mängden S = n(n+1)/2, lika med (n²+n)/2. Med hjälp av summatecknet kan hela systemet tecknas på traditionell form enligt

n n(n+1)

å n = ————— ........... = 1+2+3+4+5+…

n=1 2

”Summan av alla n, från n=1 till n, är lika med …”. Med rakt skrivsätt (alternativt ett S för summatecknet) och ett backslashtecken (\) för ”till” (eller en högerpil i Symbol, Alt+0174, ®) kan samma sak skrivas

_n=₁_®_nå n = (n²+n)/2 = 1+2+3+4+5+…

Att finna sambanden generellt för seriesumman av heltalen upphöjt till 2, 3, … m är (här veterligt) en stor och avancerad uppgift. Flera olika metoder finns, men den mest praktiskt effektiva är av den ovan skisserade typen: ställ upp serien, studera sammansättningen, leta efter mönsterkopplingar. På den vägen har för min del följande samband framkommit. Testa gärna själv att härleda sambanden, om du har tid och intresse. Att lösa uppgiften med den algebraiska metoden från och med n⁴ innebär f.ö. en påtagligt stor mängd termer att hantera — som betyder att risken växer för försmädliga skriv- och räknefel — som sedan kan ta ansenlig tid att reda ut.

SERIESUMMAN FÖR HELTALSPOTENSERNA

n (2n+1)(n²+n)

å n² = ——————— = 1+2²+3²+4²+5²+…+n²

n=1 6

n n² + n

å n³ = (————)² = 1+2³+3³+4³+5³+…+n³

n=1 2

n [3(n²+n)–1](2n+1)(n²+n)

å n⁴ = ———————————— = 1+2⁴+3⁴+4⁴+5⁴+…+n⁴

n=1 30

n [2(n²+n)–1](n²+n)²

å n⁵ = ————————— = 1+2⁵+3⁵+4⁵+5⁵+…+n⁵

n=1 12

n [2(n+1)](n²+n)²[3(n²+n)–3] + 1

å n⁶ = ——————————————— = 1+2⁶+3⁶+4⁶+5⁶+…+n⁶

n=1 42

n (n²+n)³[3(n²+n)–4] + 2

å n⁷ = ——————————— = 1+2⁷+3⁷+4⁷+5⁷+…+n⁷

n=1 24

Atomtriangeln

Integralen i numeriska beräkningar

Simpsons Formel — se även Simpsons formel i tekniska räknare

INTEGRALEN I NUMERISKA BERÄKNINGAR

Det är alldeles tydligt att det finns en urgammal grundform av synnerlig enkel natur som sammanfattar direkt numeriska, alltså KVANTITATIVA, beräkning av integraler av godtycklig sammansättning och komplexitet.

2D=3d

Atomtriangeln

| D = (b–a)/m, m=2n, a<b | ; n=(1®¥)

S = (D/3)[h₀ + h_2n + 4_n₌₁åh_2n–1 + 2_n₌₁åh_2n] ; h_m= f (x) = f (a+₀_®_2nmD)

= (D/3)[h₀ + 4[h₁+ h₃+ h₅+ …+ h_m_–1] + 2[h₂+ h₄+ h₆+ …+ h_m_–2] + h_m]

Beskrivning

Som nyligen observerats i atomtriangeln: I SUMMERINGEN av ytdelarna (d=x/m) har delen 0-1d ingen representation.

ALLA integraler y=f (x) uppvisar växande variationslikhet med den räta linjen (y’) med allt mindre intervall (D). Betrakta därmed idealformen som ovan. Vi studerar intervallen 0-2d och 0-3d.

Vi sätter y’=h=integranden med D=(b–a)/m, b största och a (här 0) minsta x-värdet — SAMT 2D=3d för att definiera minsta möjliga beräkningsbara triangelytan 0-2d (se även vidare nedan) varav delen 0-1d bortfaller som ovan.

Index 0 1 2 3 … m i hm anger multipliciteten i integrandens variabel f (x=a+mD). h₀ alltså x=a+0·D=a.

Rektanglarna [1] och [2], h₁d + h₂d , multiplicerat med skalfaktorn 2/3=d/D, täcker precis triangelytan 0-2d:

1,5 × 2/3 = 1 ...............

Samma yta gäller med 2h₁d + h₂d – h₁d = (2h₁ + h₂ – h₁)d = D(2/3)(2h₁ + h₂ – h₁). Tillsammans med integralens offsetyta, offsettriangeln (h₀/2)d (här lika med noll), ges alltså hela ytsumman

D(2/3)(h₀/2) + D(2/3)(2h₁ + h₂ – h₁) = (D/3)[h₀ + 2(2h₁ + h₂ – h₁)]

För m=2n intervall tillväxer subtrahenden h1 med en parfaktor m/2 för varje (2h₁ + h₂). Totalt ges då ytsumman (S) exemplifierat

2 S = (D/3)[h₀ + 2(2h₁+h₂ – h₁)]

4 S = (D/3)[h₀ + 2(2h₁+h₂ + 2h₃+h₄ – 2h₁)]

6 S = (D/3)[h₀ + 2(2h₁+h₂ + 2h₃+h₄ + 2h₅+h₆ – 3h₁)] … ;

Resultat:

m S = (D/3)[h₀ + 2(2h₁+h₂ + 2h₃+h₄ + 2h₅+h₆+ …+ 2h_m_–1+h_m – (m/2)h₁)] ; mh₁ = h_m ;

S = (D/3)[h₀ + 2(2h₁+h₂ + 2h₃+h₄ + 2h₅+h₆+ …+ 2h_m_–1+h_m/2)]

S = (D/3)[h₀ + 4[h₁+ h₃+ h₅+ …+ h_m_–1] + 2[h₂+ h₄+ h₆+ …+ h_m_–2] + h_m]

EXEMPEL beräkning av pi (efter program i Delphi 15 decimaler)

Med x=1 i den kända integralen ò (1+x²)^–1dx = atanx ges atanx=p/4. Därmed p = 1®0ò 4(1+x²)^–1dx :

Vi sätter a=0, b=1 och integranden y’=h=4(1+x²)^–1 [för termerna a (intervallets begynnelsepunkt), b (intervallets slutpunkt) och h (integranden som ska integreras), se sambandet för D under figuren ovan]:

Resultat: n m p = S

2 4 3,1415 686 27…

3 6 3,1415 917 81…

4 8 3,1415 925 02…

5 10 3,1415 926 14… .................... 7 korrekta decimaler redan med n=5

10 20 3,1415 926 5296…

15 30 3,1415 926 5353…

Simpsons Formel

i allmänna referensverk

och tekniska räknare

Jämför Simpsons formel sådan den tecknas i

MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s388 (källans h Û D),

S = (h/3)(y₀ + 4y₁+2y₂ + 4y₃+2y₄ + …+2y_m_–2 + 4y_m_–1 + y_m), h=(b–a)/m, y=f (x), x=h(m)_{0 till m}

Dvs., samma typuttryck. Därmed kan värdemängden _b_®a y beräknas från y’ som gränsvärdet för S då m®¥.

Simpsons formel (Simpson’s rule) skrivs (2005) till jämförelse i

SHARP TEKNISK RÄKNARE EL-506 W 9decimalers enligt

S = (1/3)h · { ... med | h = (b–a)/N, N=2n, a<x<b | ...

f (a) + 4{f (a+1h) + f (a+3h) + … + f (a+[N–1]h)}

+ 2{f (a+2h) + f (a+4h) + … + f (a+[N–2]h)} + f (b)

}

vilket vi ser är samma form som för S ovan [m=NSHARP, D=hSHARP och hm=f (a+mD)=f (a+NSHARPhSHARP)] enligt

S = (D/3)[h₀ + 4[h₁+ h₃+ h₅+ …+ h_m_–1] + 2[h₂+ h₄+ h₆+ …+ h_m_–2] + h_m]

historia:

Sambandsformen är (tydligen) urgammal. Den har i vår tid uppkallats efter Thomas Simpson som Simpsons Formel.

[Förf.ref. En beskrivning som antyder att detaljerna varit kända så långt tillbaka som runt 1900 f.Kr. ges i @INTERNET MathPages The Prismoidal Formula, @INTERNET_Citat.doc].

Simpsons formel används numera i avancerade tekniska räknare för beräkning av numeriska integraler av godtycklig sammansättning.

Atomtriangeln är som sagt, som paragon, av allt att döma helt okänd i modern akademi. Dess, för den logiska fattningen fundamentala, geometri omnämns inte.

ATOMTRIANGELNS INTEGRAL ger en helt överlägsen lagform för beräkning av ett godtyckligt INTEGRALENS NUMERISKA VÄRDE. Integralens komplexitet kan vara godtyckligt stor.

Metoden används (numera, i alla tekniska räknare) för integral numerisk lösning.

Metoden uppställdes [ref. BKLXsp585n] på 1700-talet av Thomas Simpson (1710-1761, urspr. sidenvävare, uppgift om årtal saknas).

MATEMATIKLEXIKON 1991 (s388sp2ö) beskriver Simpsons formel — men ingenting sägs om dess ursprung, härledning eller koppling.

ENCARTA (-2004) omnämner ingen Simpson från 1710.

Simpsons Formel härleds på alla möjliga upptänkliga sätt UTOM via den enklaste vägen: atomtriangeln

@INTERNET Wikipedia Simpson’s rule 2007-11-02 visar flera olika sätt:

· quadratic interpolation med Lagarange polynomial interpolation

· averaging the midpoint and trapezium rules med midpoint rule och trapezium rule och weighted average

· undetermined coefficients med ansatz och quadratic polynomials

Antaganden, hypoteser, abstraktioner. För en lekman … innebär de ovanstående delarna helt obegripliga begrepp: ingen kan förklara detaljerna.

Inte heller Wikipedias artikel har någon uppgift om Simpsonformelns historia.

Med den senare tidens allt snabbare datorer (från senare delen av 1990-talet) finns emellertid (nu) också en annan variant, betydligt enklare, som kan användas för samtliga fall i numeriska integraler, den här benämnda hyposerien. Den kräver emellertid (i allmänhet) långt flera delberäkningar än Simpsons Formel, men har i gengäld andra fördelar (såsom helt derivatafri). Vidare beskrivning följer.

Atomtriangeln

INTERVALLETS OFÖRSTÖRBARHET — särskilt enkla tydliga bevis från atomtriangeln

För beskrivningen av fysiken är atomtriangelns odelbara kärna (Aⁿ⁺¹–Aⁿ)^–1, samma som delen närmast noll, helt avgörande (se även i efterföljande Zenons Teorem):

Den Integrala Algebrans och aritmetikens Första Och Enda Huvudsats

Delen närmast 0 kan aldrig delas

Atomtriangeln ingår inte i modern akademi: den omnämns inte, beskrivs inte, refereras inte

ATOMTRIANGELN ÄR BEVISET FÖR INTERVALLETS OFÖRSTÖRBARHET som också ligger till grund för energilagen.

Därutöver finns ytterligare övertygande sätt som påvisar intervallets oförstörbarhet genom alternativa praktiska exempel:

INTERVALLETS OFÖRSTÖRBARHET I

PYTHAGORAS SATS definieras av ovanstående paragon. c-kvadraten summerar 5 bitar så länge rektangeln ab INTE bildar en kvadrat. NÄR den bildar kvadrat, a=b, sammansätts c-kvadraten bara av 4 bitar. 2:an utgår:

När rektangeln ab bildar kvadrat (a=b, och endast då) försvinner 2:an, och endast då.

PONERA att det obegränsat lilla intervallet som närmar sig noll obegränsat — och som skiljer 5 från 4 så länge a¹b — vore KONTINUERLIGT mot noll, så att det kunde ”försvinna mjukt i noll” och ”bildas mjukt ur noll”, DÅ funnes inte längre någon skarp skillnad mellan 5 och 4, och därmed heller ingen skarp skillnad mellan några andra bestämda geometriska mängder (GM). Det faktum ATT 5¹4 bevisar således intervallets oförstörbarhet. Vi kan räkna med det, eller utelämna det, men aldrig få det att ”försvinna i noll”.

INTERVALLETS OFÖRSTÖRBARHET II

Den samlade ekvationen för de klassiska celesta omloppsbanorna Cirkel-Ellips-Parabel-Hyperbel (CEPH-ekvationen)

x = [2d(1+e)y – y²(1–e²)]^1/2

e=0 cirkeln, –1 < e < 0 ellipser större än cirkeln, 0 < e < 1 ellipser mindre än cirkeln, e=1 parabeln, e>1 hyperbler

beskriver på särskilt sätt matematikens fyra grundkurvor: cirkel (CRL), ellips (EPS), parabel (PRB) och hyperbel (HRB). Parabeln, till exempel, är unik med excentricitetstalet e=1; VARJE e<1 ger ellipser: VARJE e>1 ger hyperbler. OM intervallet som skiljer mängderna från 1 verkligen vore kontinuerliga mot noll, så att det intervallet verkligen kunde ”försvinna mjukt i noll” och ”bildas mjukt ur noll”, funnes ingen möjlighet att skilja ellips från parabel från hyperbel. Det faktum ATT det finns en parabel i matematiken, bevisar intervallets oförstörbarhet: den distinkta skillnaden mellan kvalitet och kvantitet, den uppenbara sanningen att NATUREN står för kvaliteterna, inte människan som en ”fristående skapare av matematiken”. Parabeln är öppen. Ellipserna är slutna.

ATOMTRIANGELN FÖR SIN DEL garanterar intervallets oförstörbarhet genom att delen närmast noll av princip inte kan delas; varje delning bara flyttar 1:an längre in mot 0:an utan att göra något åt själva principen i det faktum att det fortfarande finns ett tomt, odelbart, utrymme mellan 0 och 1, och bekräftar därmed hela logiken i komplexet.

reciproka geometriska serien

Differensen (Aⁿ⁺¹–Aⁿ)^–1 i den reciproka geometriska serien _n₌₁_®n åA^–n=(A–1)^–1–(Aⁿ⁺¹–Aⁿ)^–1 säkerställer — garanterar — att gränspunkten i ett intervall aldrig kan uppnås genom att summera intervallets delar. Med andra ord: differensen 1/[Aⁿ(A–1)] definierar skillnaden mellan integral och gränsvärde.

RECIPROKA GEOMETRISKA SERIEN

Reciproka geometriska serien härleds på följande sätt enligt relaterad matematik:

Betrakta med a>1 de bägge första termerna i serien a + a² + a³ + …+ aⁿ.

Som a+a²=a(1+a) ansluter till konjugatlagen (1+a)(1–a)=1–a² genom den enkla substitutionen

a(1+a)(1–a)/(1–a)=a(1–a²)/(1–a) får man

a + a² + a³ + …+ aⁿ = a(1–a²)/(1–a) + a³ + …+ aⁿ = [a(1–a²) + a³(1–a) + …+ aⁿ(1–a)](1–a)^–1.

Täljaren: a–a³ + a³–a⁴ + …+ aⁿ–aⁿ⁺¹; Termerna tar ut varandra parvis, = a –aⁿ⁺¹.

Resultat: a¹ + a² + a³ + …+ aⁿ = (a – aⁿ⁺¹)(1–a)^–1, _n₌₁_®n åaⁿ = (aⁿ⁺¹ – a)(a – 1)^–1, geometriska serien, a>1.

Med a=1/A ges _n₌₁_®n å A^–n=[A^–n–1][1–A]^–1. Och alltså gäller

_n₌₁_®n å A^–n=(A–1)^–1–(Aⁿ⁺¹ – Aⁿ)^–1, A>1.

Skrivsättet n=1®n förenklar ”från n=1 (undre summaindex) TILL (®) n (övre summaindex).

Zenons teorem | 2008V1

ZENONS TEOREM

ZENONS TEOREM:

Benämningen finns ingalunda i någon som helst etablerad litteratur, utan är endast min rubricerande term för ett omfattande syndrom som har direkt och stark anknytning till den moderna akademins idéer om intelligensens högsäte: testa dig själv och se om du hänger med

Fysikaliskt skeende kan endast förstås genom stillbilder åtskilda av mellanliggande tidsintervall: bio. Den sammanhängande kontinuiteten för dessa stillbilder kan inom fundamentallogiken endast ges via begreppen inom den för formlogiken abstrakta nollformsalgebran där skillnaden mellan fenomenvärld och förståndsvärld är exakt lika skarp som skillnaden mellan punkt och intervall. Zenons Teorem. Kontinuitetens natur.

Den moderna akademin tycks överhuvudtaget inte förstå problemet eftersom den försöker definiera integraler, detsamma som kontinuerligt varande, med gränsvärdesresonemang — samtidigt som människan, även den som vandrar i den moderna akademins korridorer, av naturen inte kan frigöra sig från den naturliga egenskap i tänkandet som skarpt hänvisar dylika försök till det rena vanvettets domäner.

ZENONS TEOREM med andra ord, se även explicit INTERVALLETS OFÖRSTÖRBARHET:

Kontinuiteten i skeendet kan inte beskrivas med hjälp av uppräkneligheter;

Intervall — rörelse — kan inte skapas utan måste förutsättas.

OM VI TAR MED GRÄNSPUNKTEN FÖR ETT INTERVALL i ett skeende, en rörelse, — så att skeendet gäller integralt, det vill säga en helt annan förståndspreferens än den som gäller för gränsvärdesresonemang — v=s/T=ds/dT — ett för formlogiken fullkomligt abstrakt uttryck — analogt ds=vdT som ger

ò ds = ò vdT = v ò dT = vT=s

kan vi enkelt, om vi känner grunderna, ställa upp varje »Akillevs-Sköldpaddan-problem» (se Zenons aforism nedan) enligt

| A | d ¤® v_b

| s ¤® v_a

A+d=s=v_aT=A+v_bT; T(v_a–v_b)=A ; s =v_aA(v_a–v_b)^–1= A(1 – v_b/v_a)^–1

Med A=1 M, v_a=1 M/S och v_b=0,1 M/S blir s=1+1/9 M. Exakt. a hinner upp b då b befinner sig exakt 1/9 M framför sin utgångspunkt.

Men detta sätt — det integrala sättet att se saken på — var INTE DET problem som Zenon ställde upp.

Zenon ställde INTE fram ett resonemang som berör integralt skeende — men modern akademi FÖREGER honom AV HÄR EJ KÄNDA SKÄL den avsikten.

Zenon ställde upp ett resonemang som berör UPPRÄKNELIGHETER — ifall nu någon hade missat det. Det var något helt annat det.

Zenons aforism

Utan matematiska termer kan Zenons föredömliga exempel (Akillevs och Sköldpaddan) liknas vid följande. Du ska tävla mot en mask, du ger den en meters försprång. När du avverkat metern har masken avverkat en decimeter. När du avverkat denna, har masken avverkat en centimeter. När du avverkat även denna har masken fortfarande ledningen med en millimeter. Och så vidare i all oändlighet. Denna s.k. Zenons aforism har allt sedan den framställdes (för grovt runt 2500 år sedan) åsamkat häftiga debatter bland alla s.k. lärde — ännu in till denna dag som idag är.