MATEMATIKEN · ELEMENTARYTORNA 2009V26 en BellDHARMA produktion | Senast uppdaterade version: 2018-12-27 · Universums Historia
innehåll
denna sida · webbSÖK äMNESORD på
denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i SAKREGISTER · förteckning över alla webbsidor
ElementarYtorna enligt relaterad matematik
Sfärens Yta Och Sfärens Volym i enkla klassiska
härledningar
Figuren ovan beskriver sfärens
volym och sfärens yta
från konens volym med grund i (den urgamla) förskjutningssatsen — men många känner inte dessa grunder.
SFÄRYTAN och SFÄRVOLYMEN hör till
matematikens och fysikens mest framträdande och viktiga formdetaljer. Men
varken webben idag (April 2009) eller litteraturen generellt (grundskolan,
gymnasiet) verkar vara begåvad i någon mera översvallande bemärkelse med klara
och tydliga beskrivningar — av den gamla hederliga klassiska typen: ENKELHETEN,
framför allt, i härledningssätten verkar som mest tillhöra ett passerat stadium
— för runt 2 500 år sedan. Ämnet verkar i stort glömt och avsomnat; Man
hänvisar till ’kalkylen’.
Med viss koll på den äldre bibliotekslitteraturen — i svensk referens i
stort 1930-1960 — fanns, verkligen, en hel del genuina referensbeskrivningar,
men som senare tiders läroboksförfattare verkar helt ha övergivit (se
referensen i Fråga Lund som ett
[avskräckande] exempel). Resultatet (naturligtvis) har blivit att inte ens
elever på gymnasienivå längre verkar känna till ens den enklaste klassiska
härledningen till sfärens yta och volym. Biblioteken har numera och för övrigt
(sedan länge) magasinerat sina gamla läroböcker (typ LÄROBOK I GEOMETRI, DEL I,
F. Carlsson 1943/1946), och inga spår finns (heller) längre kvar på dagens
bokhyllor av dessa artefakter. I t.ex. svenska Wikipedia (och även den engelska
motsvarigheten) på artikeln Sfärens yta, Klot eller Sfärens volym, hänvisar man
(om alls) till integralkalkylen.
— I den här presentationen ges en
illustrerad generalgenomgång av speciellt de klassiska sätten att härleda
sfärens yta och volym, och vilka partier (April 2009) tydligen i övrigt är
(nära) orepresenterade på den del av webben som syns främst.
Se även specifikt i Arkimedes lösning.
För elementarkurvorna cirkel, ellips, parabel och hyperbel, se även utförliga beskrivningar och härledningar till deras
ekvationer och tangenter i CEPH-ekvationen.
ElementarYtorna — Bildkälla nedan: Bilder.AlltingGratis.se |
Alla härledningar till SFÄRENS YTA Sfärens Yta FRÅN cylindervolymen och konvolymen, PLANGEOMETRISKT elementärt från
förskjutningssatsen, klassisk Sfärens Yta FRÅN tyngdlinjerna och elementarytorna, klassisk Sfärens Yta FRÅN cylinderytan, YTTEKNISKT, klassisk Sfärens Yta FRÅN konvolymen och cylindern, VOLYMTEKNISKT från förskjutningssatsen, klassisk Sfärens
Yta FRÅN integralkalkylen, analytisk (via nollformsalgebran) Alla härledningar till SFÄRENS
VOLYM Sfärens Volym FRÅN cylindervolymen och konvolymen, PLANGEOMETRISKT elementärt från
förskjutningssatsen, klassisk Sfärens Volym FRÅN konvolymen och cylindern, VOLYMTEKNISKT från förskjutningssatsen, klassisk Sfärens
Volym FRÅN atomtriangeln med integralernas aritmetik, klassisk Sfärens
Volym FRÅN integralkalkylen, analytisk (via nollformsalgebran) |
2009-04-28 efter föregående originalmanus
från 2001 |M2001_1.wps|
INOM DEN ELEMENTÄRA GEOMETRIN finns en framträdande
lärosats (teorem) som mer än andra grundlägger speciellt kopplingen till
fysiken. Den kallas här i relaterade termer för förskjutningssatsen, utförligt nedan, men den termen
förekommer (veterligt) inte i modern akademi — i det sammanhanget;
Termen »förskjutningssats» i modern litteratur brukar återfinnas i ämnen
som behandlar [matematiska] begrepp inom elektrofysiken. I engelskan används
motsvarande namnform ”displacement theorem”, t.ex. om begreppet rotation som
också kallas Euler’s Displacement Theorem, ref.
[http://mathworld.wolfram.com/EulersDisplacementTheorem.html].
Men det finns också ”displacement theorem” som ansluter till andra
ämnen. Dock finns (här veterligt) inget ”displacement theorem” i det engelska
utbudet som ansluter till den elementära geometrin.
Den följande beskrivningen har, här veterligt (April 2009) ingen
motsvarande varken litterär eller illustrerad make i det kända utbudet. Man kan
tycka det är underligt — eftersom detaljerna är ytterst enkla, elementära och
på intet sätt komplicerade, samt att de behandlar ett ämne som varje människa
torde ha ett spontant intresse för: elementär (urgammal) matematik.
FÖRSKJUTNINGSSATSEN
inom den elementära geometrin utsäger:
Med ytan för en plantriangel given som halva
produkten av dess bas (b) och höjd (h), A=bh/2, bevaras relationerna mellan bas
och höjd oberoende av förskjutning hos basen i dess förlängda plan:
b kan ha godtycklig position var som helst i rummet
förutsatt h inte ändras
— ytan (ljusbeiga
triangeln med basen b nedan) ändras inte
Förskjutningssatsen inom den elementära
geometrin är formellt samma som triangelytan A=bh/2.
För
tillämpning inom fysiken se FÖRSKJUTNINGSSATSEN som grundval för KEPLERMOMENTET i PERIODISKA
SYSTEMET.
— Benämningen »förskjutningssatsen (inom
elementär geometri)» förekommer (veterligt) inte i modern akademi — trots att
den godtyckliga orienteringens princip i sammanhanget är grundläggande för att
förstå de enkla »klassiska» härledningarna till typ konens volym och även
sfärens volym.
— Vi studerar detta nedan.
Om b gömmer en yta, kan denna med grund i förskjutningssatsen (följaktligen) ses
på olika motsvarande godtyckliga ställen — och därmed i summa liktydigt med en
godtyckligt MOTSVARANDE basyta, till exempel den som vi återfinner i KUBEN då
den delas i sex lika delar:
Vilket vill säga: Konvolymens ekvation kan återföras
på ekvationen för en av de sex delpyramiderna i kuben:
V(CUB) = bbb = bb · 2h = 6 · V(PYR);
V(PYR) = V(CUB)/6 = bb · 2h/6 = bb · h/3 ) =
V(CON);
V(CON) = Ah/3 = b²h/3 ........................ konvolymen är basytan gånger höjden
dividerat med tre
EXEMPEL
Konvolymen
kan idealt klippas upp (För Cirkeln, se även beskrivningen från Elementarytorna) via ett vertikalt
snitt med utvikning av delarna i ett symmetriskt par som antyds i figuren ovan.
Koncirkelns variabla omkrets s = 2pr med olika höjd över
basytan kan då likställas med motsvarande mera komprimerade pyramid (nedan) med
rektangelytan
A =
r · (s)/2
=
r · 2(s/2)/2
=
r · 2(2pr/2 ·r)/2
=
pr² ................................... rektangelytan (s/2)·r motsvarande cirkelytan
analogt med nedanstående figur,
Konen med den cirkulära basytan pr² och höjden h kan
alltså återföras på en pyramid med basytan A, höjden h och därmed volymen
V(CON) = Ah/3 ............................ ;
konens volym
På samma sätt som i Konens Volym kan också cylindern
klippas upp:
Cylinderns volym via de bägge symmetriska utvikta
delarna blir på samma sätt lika med det ihopslagna markerade rätblockets volym
(djupet = h)
V(CYL) = r(P/2) · h = r(2pr/2) · h = r · h(pr) = pr²h
Omsluter cylindern precis sfären, h=2r,
skrivs cylindervolymen
V(CYL) = 2pr³ ............................ ; cylinderns
volym
Men cylinderns volym kan också klippas upp och bredas ut
på ett annat, mera kompakt sätt:
Här rullas hela cylindermantels omkretsar av
direkt, successivt från största (r) till noll, motsvarande alla inre
cylindriska skikt. Cylindervolymen bildar då, tydligen, precis 1/4 av
rätblocket med basytan (2r)² och höjden 2pr vilket ger cylindervolymen
V(CYL) = (1/4)(2r)²2pr = 2pr³
Vi ser att detta stämmer utomordentligt väl
med föregående erhållna resultat.
— Eftersom emellertid den av cylindern
inneslutna sfärvolymen måste avta mot noll i den motsvarande uppklippta
utbredningen, och därmed sluta på en motsvarande punkt, ges den i figuren ovan
motsvarande (enda möjliga) sfäriska volymkroppen av den undre delen i
takformens diagonala skärning — i förutsättning av att också sfärvolymens
uppklippta utvikning bevarar ekvivalenta inre proportioner från r till noll.
— Sfärvolymen kan då tydligen återföras på
konvolymen med basytan 2pr · 2r och höjden r enligt
V(KON) =
V(SPH) = 2pr · 2r · r/3
=
4pr³/3 ..................... ; sfärens volym ur cylindervolymen
och konvolymen från förskjutningssatsen
VI KAN INTUITIVT direkt förstå att om pyramidkroppen
ovan representerar hela sfärvolymen och därmed varje plansnitt parallellt med
bottenplanet också utgör en bild av en mindre sfär, då bör SFÄRENS YTA just
vara bottenytan
A(SPH) =
2pr · 2r = 4pr² ............ ; sfärens
yta,
samma som omskrivna cylinderns yta
— Det finns en riktig »klassisk», mera
utförlig beskrivning som också visar att så är fallet.
Se från Sfärytan och
Cylinderytan. Se även Arkimedes lösning.
I följande delar beskrivs mera avancerade
sätt att härleda de olika elementära ytorna och volymerna, dvs., ytor och
volymer som berör figurerna/kropparna cirkel/cylinder, kon och sfär.
ELEMENTARYTORNA
2009IV6
Från Integral0.wps 1997 IX ·
2001 III | Till htm 2009 IV
Genomgång av den enkla, klassiska geometrins ytbegrepp
— i ljuset av den
utvecklade integralkalkylens metoder;
En vidare syntes
— med en del
studier i aritmetiska metoder till jämförelse
För den som (händelsevis) inte hänger med i
de integrala exempel som visas i den här presentationen, se Integrala Exempel, finns ämnet
grundligt beskrivet från Nollformsalgebran och Atomtriangeln — från de allra
mest rudimentära logiska begreppen (Se INTEGRALBEGREPPET från grunden om ej redan
bekant). Därifrån finns ytterligare vidare kopplingar till Den
Högre Analysen där integralbegreppet ställs fram med
mera allmänna (universella) utförliga exempel med relaterade lösningar (Se ANALYSEXEMPEL). Läsaren bör
därmed (med dessa referenser) ha en god grund för studiet av integralkalkylens
formella sammanhang (som även proffs ibland måste friska upp i minnet, från tid
till annan) — se även de många konventionella webbkällor som (numera) finns att
studera till jämförelse (sök t.ex. på integral-, differential- och derivata-,
generellt kalkyl och analys).
— Rekommendation (vilket du säkert redan har
fattat själv): Läs bara det som för tillfället behövs: friska upp det som har
glömts genom att »slå upp det i läroboken»: Läroboken BÖR vara heltäckande,
speciellt i de viktiga grundbegreppen; Är INTE Läroboken heltäckande i
grundbegreppen har den misslyckats som Lärobok, och det är inte eleven det är
fel på utan läraren.
Allmänt
Vi
sätter cirkelradien som R. Cirkelns avrullning definierar pi (p)
som förhållandet mellan omkretsen eller perimetern P
och
cirkelns diameter 2R.
P/2R = p ;
P = 2pR
............................................... ; cirkelns omkrets, p »
355/113 = 3,14 15 92.
Alla
P, noll till R, kan betraktas som ”smala remsor”. Halva rektangeln RP utfyller
alltså cirkelytan enligt
A = R·P/2 =
R·2pR/2 = pR2
.................. ; cirkelns totala
yta
På
samma sätt blir bågdelen eller båglängden s av P cirkelns sektoryta.;
Cirkelytans
mera allmänna ytekvation blir alltså från RP/2 det mera specifika
A = Rs/2 .............................................. ; cirkelns sektoryta
Vi
ser att s=2pR ger cirkelns totala yta.
Sektorn
Rs/2 formar med s sluten en kon;
— Vi
klipper ut resten ur cirkeln via två R-snitt och för ihop de bägge öppnade
snitten;
— Det
ger oss en trängre bascirkel med radien r i den kropp vi kallar för en
rät cirkulär kon;
Från originalarbeten med grundmanus från 1989 XII;
första författningen 1992 V; andra författningen 1995 XI;
tredje författningen i
BEGREPPSANALYSENS GRUNDFORMER 1996 II 22, dåvarande
svartvita illustrationer anpassade för HP Deskjet 320
Med
längden av konens bascirkel som s=2pr blir alltså konytan via sektorytan R·s/2
A = R·2pr/2
= Rpr .............................. ; konytan
Om vi
betraktar detta resultat på ett alternativt sätt ser vi att konytan också kan
erhållas som
A = R · 2p ·
(r/2) = R · 2p · T
............ ; konytan
T ........................................................... ; tyngdlinjens tyngdpunktscirkelradie, här T=r/2
Om vi
vrider upp R lodrätt med bibehållet T=r/2 och tillämpar sambandet R · 2pT
får vi cylinderns yta
A = 2pT·R
............................................. ; cylinderns yta, r0
= T
—
eller vilken som helst alternativ del av en kon:
A = 2pT·R
............................................. ; stympade konens yta
Vi
kan också förstå cylinderytan genom att klippa upp den och breda ut den. Den
ges då som en rektangel med cirkelns
omkrets
2pr som längd och
cylinders höjd h som bredd.
2prh
................................................... ; cylinderns yta
På
samma sätt kan den stympade konytan förstås som en utbredd cirkulär yta ur
vilken man tagit bort en inre cirkel och sedan snittat den yttre cirkelns R på
vanligt sätt för att få konformen;
alternativ
illustration,
Vi
ersätter R i 2pTR mera allmänt med s (spatium) eller alternativt
längden (l) så att vi får
A = 2pTl ............................................ ; tyngdlinjens rotationsyta
Vi
benämner s=l som tyngdlinjen och
kallar ytan A för tyngdlinjens rotationsyta. Cirkeln 2pT kallar vi för tyngdpunktscirkeln.
Som
visats i utvecklingarna ovan erhålls en rotationsyta A som produkten av
tyngdlinjens längd s=l och
tyngdpunktscirkelns
omkrets 2pT. För en rät linje med längden s=l ligger linjens
tyngdpunkt i mitten.
Tyngdpunktssatsen utsäger då att
× tyngdlinjens
längd l
×
tyngdpunktscirkelns omkrets
=
rotationsytan för l
A = 2pTl
............................................. ; tyngdlinjens rotationsyta
2pT .......................................................... ; tyngdpunktscirkeln
T .......................................................... ; tyngdpunktscirkelns radie
l = s
................................................... ; tyngdlinjens längd, ytans snittform
Motsvarande
sats gäller också för en tyngdyta.
Tyngdlinjen
motsvarar den geometriska centrumlinjen genom en tråd eller stång av homogen
sammansättning. I den praktiska fysiken måste dessutom motsvarande konstruktion
befinna sig i ett Galileiskt kraftfält
(samma tyngdacceleration överallt i rummet). I annat fall gäller inte satsen.
—
Inom den rena ideala geometrin är det just sådana, ideala begrepp om
likformighet som gäller.
—
Geometrins ”eget material” är just genomgående absolut homogent eftersom det är
materielöst. Under förutsättning att vi kan konstruera mekaniska anordningar
med hög grad av homogenitet kan också satsbilden ovan utnyttjas med motsvarande
precision i praktisk fysik; En stor del av mekaniken ägnas (alltså) åt olika
tyngdpunktsberäkningar.
Historiskt
härstammar satserna om tyngdlinjer och tyngdytor (närmast) från schweizaren
Paul Guldin (1577-1643), ofta benämnda Guldins Regler i
facklitteraturen.
Satserna
kan — som vi redan har sett — förstås intuitivt på enklaste sätt och också
härledas utifrån de allra enklaste av geometrins och fysikens begrepp.
Klassiska
metoder för sfärens yta
Utan att
direkt genomföra någon summering av olika delar visas i det följande hur
SFÄRENS YTA kan bestämmas på ett förhållandevis enkelt klassiskt logiskt sätt.
Figur till härledningen av cirkelbågens tyngdpunkt.
Vinkeln j utläses ”fi” (j i Symbol). Cirkelradien OC=r.
Vi
indelar cirkeln eller en bågdel s=l av cirkeln i n ekvivalenta
delkordor BC. Varje korda motsvarar en rät tyngdlinje — tyngdpunkten på mitten — med tyngdpunkten i F.
— F
projiceras på x-axeln i G.
— Roteras FG kring x-axeln uppstår en rotationsyta för BC
—
sammanlagt för alla successivt sammanhängande BC som, då, alltmer liknar den
yta som alstras av bågdelen s
— om
BC tillåts gå mot noll obegränsat, analogt n®¥.
Vi benämner den totalytan som A.
Varje delrotationsyta som bildas av en längd BC genom rotationspinnen FG
benämns här An.
Betrakta svängarmen BC.FG:
—
Eftersom FG alltid är rätvinklig BD är trianglarna BDC och FGO likformiga.
Relationerna ger
BC/BD = FO/FG = secj
Minsta BC = Ds = s/(n®¥)
D = 1/(n®¥)
FG tyngdpunktscirkelns
radie (R)
BC tyngdlinjen
med sin tyngdpunkt i F
An = DA
= A/(n®¥)
= 2p(FG)Ds
= 2p(FG)(BC) ; rotationsytan
för en tyngdlinje BC enligt tyngdpunktssatsen
Ekvivalenterna
BC/BD = FO/FG ger (BC)(FG) = (BD)(FO). Därmed kan också An tecknas alternativt
An = 2p(BD)(FO)
Då
BC går mot noll går FO alltmer mot cirkelradien r. Med denna gränsform
insatt ges
An = 2pr(BD)
—
Med obegränsat växande n antar tydligen BD samma gränsform som då kordan
k delas obegränsat enligt
BD = Dk = k/(n®¥)
vilket
blir minsta möjliga BD.
—
Därmed har hela problemkomplexet tydligen automatiskt, självmant, fullständigt
eliminerat alla aspekter som berör ’delsummeringar av BC för att få fram en hel
motsvarande båglängd’; vi behöver tydligen inget sådant begrepp här:
An = DA = 2prDk ;
A = 2prk ; cirkelbågens rotationsyta; k=2r för
halvcirkeln
= pr2k ; max cirkulär
båglängd för rotationsyta är halva cirkeln, pr
;
SFÄRYTAN
;
För
hela rotationscirkeln med max båglängd pr är k uppenbarligen lika med 2r. Därmed framträder hela sfärytan via sambandet för A = pr2k ovan enligt
k = 2r ;
A(SPH) = (pr)2(2r) ; sfärytan
A =
4pr2 SFÄRYTAN
Detta
är alldeles detsamma som den kring sfären omskrivna CYLINDERYTAN; längden 2r
och diametern 2r med omkretsen 2pr som ger
A(CYL) = (2pr)2r ; cylinderytan
= 4pr2
Sfärytan matchar exakt den omskrivna
cylinderytan.
Se även vidare i SFÄRYTAN OCH CYLINDERYTAN.
ANALOGT
ges direkt från origo med halva kordan k/2=x sfärytan
A(SPH) = (2pr)x ; sfärytan
godtyckligt från origo
—
Enligt tyngdpunktssatsen (A = 2pRl) ska det också finnas
en tyngdpunktscirkel 2pR tillsammans med hela båglängden s=l med den angivna totalytan A
= 2pRl.
Likheterna
ger
A = 2prk = 2pRl ;
rk = Rl ;
R = l–1kr ...................... ; cirkelbågens tyngdpunkt från origo via kordan k och
båglängden l
R avståndet
från origo
l båglängden (även s)
k kordans längd
r cirkelns radie
k beräknas från given båglängd
s i PREFIXxSIN enligt
k = 2r cos s/2r
[Man
har s/r = a, a i radianer; k/2 = b, b/r = cos a/2; b = r · cos a/2; k =
2r cos a/2 = 2r cos s/2r].
Med
indelningen av cirkeln i ett helt antal sektorer n blir s = 2pr/n. Man får då den
behändiga formen
k = 2r cos (2pr/n)/2r = 2r
· cos p/n
;
s = 2r · acos(k/2r) = l ;
R
= kr/[2r · acos(k/2r)] ;
R = k/2[acos(k/2r)] ;
cirkelbågens tyngdpunkt från origo via kordan k och radien
r, obs acos i radianer i PREFIXxSIN
;
R
= s–1(2r cos s/2r)r
;
R = s–12r2cos(s/2r) ...... ;
cirkelbågens tyngdpunkt från origo via båglängden s
;
Med
radianvinkeln s/r = a = A°(p/180) som alternativ till båglängden s=l
ges
R =
(a/r)2r2cos(a/2) ;
R = a·cos(a/2)·2r
.......... ; cirkelbågens tyngdpunkt från origo via radianvinkeln a = A°(p/180)
= (A°·180/p)·cos[A°(p/360)]·2r via
gradvinkeln A° = a(180/p)
Med
k=2r betraktar vi halvcirkeln med båglängden s=pr;
— Tyngdpunkten
för halvcirkeln
skulle då bli
R
= l–1kr = (1/pr)2r·r
= r(2/p) .................... ; halvcirkelbågens
tyngdpunkt från origo
= r(0,6366197)
För
sfärytan gäller halva cirkelbågen som rotationsytans båglinje l=pr;
—
Med tyngdpunktens avstånd från origo för tyngdlinjen (l) som R=r(2/p) ges tydligen också sfärytan via sambandet för A ovan enligt
A
= 2pRl = 2p(2r/p)(pr) = 4pr2, vilket vi ser stämmer alldeles utomordentligt med föregående resultat.
Se
även från Förskjutningssatsen
I detta klassiska
exempel visas hur både sfärytan och cylinderytan framträder med hjälp av endast
en elementär perceptiv analys och med kännedom om att sfären också kan förstås
som »den allmänna rundeln» för cirkelns enkla grundsamband.
perceptiv analys
Om vi
från sfärens mittcirkel (vertikalen) breder ut sfärytan via omkretsen av dess
storcirklar bildas tydligen en cylinderyta:
Varje
kvartscirkel från vertikalnollan ( | ) får längden (2pr)/4 = pr/2. Men i denna
cylinder finns bara en enda sfärcirkel som exakt avbildar sfärytan. Nämligen
just den som förenar cylinder och sfär, alltså cirkeln för vertikalnollan. De
övriga cirklarna överför sfärytan förstorat på cylindern med just beloppet p/2.
Vi studerar detta mera ingående.
— Vi
kan se anledningen till vrängningen enklare om vi tittar in i cylindern från
sidan, figuren ovan. För avbildningen av två storcirklar från sfären mot
cylindern bryts nodpunkten i mitten på sfären tvunget upp och breds ut mellan
motsvarande parallella linjer på cylinderytan. Detta vränger alltså
sfärytans avbildning sett med cylinderns begrepp. Minsta avståndet (”vrängvinkeln”)
mellan två sådana storcirklar motsvarar tydligen en cirkel som gränsvärdet för
en oändligt smal sfärisk sektoryta: sfärens ändpunkt som en motsvarande utbredd
cylinderomkrets.
— Om
vi prövar sammanhangen, kan vrängningen uppenbarligen främst återföras på den
faktor p/2 som sfärcirklarna förstoras med vid utbredningen.
—
Trycker vi konsekvensmässigt ihop (dividerar längden av) cylindern med beloppet
p/2 bör alltså proportionerna återställas, såvitt korrekt uppfattat.
Avbildningen från sfär till cylinder skulle därmed bli exakt;
Förstorade cylinderytans undre halva med 2
par kvadrater (pr/2)2
— Om
vi alltså till prövning, figuren ovan, breder ut cylinderytan på den förstorade
formen uppåt/neråt i det ursprungliga figurbegreppet får vi från origo och med
vertikalnollan som symmetrilinje två halvor till höger och två till vänster i
sfärens nedre del. På samma sätt ges i övre delen en spegelmake. Därmed inalles
åtta delar (pr/2)2 för
hela den förstorade cylinderytan: fyra i undre halvan (figuren ovan) och fyra i
övre halvan.
— Med
resonemanget ovan skulle vi då få den verkliga sfärytan
A = (pr/2)2 · 8 · (p/2)–1 = 4pr2 ............. ; sfärytan, omskrivna cylinderytan
Och,
som vi ser, stämmer detta alldeles utomordentligt med föregående resultat.
|
|
Ytprojektionen … från sidan |
… motsvaras alltså av cirkulära vertikalprojektionen (cylinderprojektionen) framifrån, eller ovanifrån |
Räknar
vi direkt på den komprimerade formen via cylinderns yta, radien r och
bredden 2r får vi analogt
A = 2pr · 2r = 4pr2 ............................. ; sfärytan, omskrivna cylinderytan
Och som
vi ser är detta alldeles samma resultat som i föregående utvecklingar.
Se
även mera utförligt ytterligare »klassiska sätt» sätt för sfärytan
från Elementarytorna, samt särskilt Sfärytan
från Förskjutningssatsen.
Sfären och Cylindern genom
Förskjutningssatsen
SFÄRYTAN GENOM FÖRSKJUTNINGSSATSEN
KONENS
BASYTA FÖRENAR SFÄREN MED CYLINDERN GENOM FÖRSKJUTNINGSSATSEN
OCH
DEFINIERAR SAMTIDIGT SFÄRENS VOLYM FRÅN CYLINDERNS VOLYM
Ytterligare »enkla
klassiska sätt» att härleda sfärytan visas i följande genomgång — där samtidigt
sambandet för sfärens volym överraskande kommer fram som bonus från sfärytans
samband.
beskrivning
KUBEN
har sex sidor i tre motsatta par; Volymen är bredden (x) gånger höjden (y)
gånger djupet (z), alla samma (b) enligt
V = xyz
= b3 ; kubens volym
Var
och en av de sex sidorna bildar en pyramid med volymen
V = b3/6 ; kubpyramidens volym
Pyramidhöjden (h) kan skrivas som b/2 vilket med basytan
b2 ger
= b2·2h/6
= b2h/3
= Ah/3 ; pyramidens volym
Oavsett
positionen för basytan b i triangeln med höjden h bevaras en och samma
triangelyta A=bh/2. Se beviset i FÖRSKJUTNINGSSATSEN om ej redan bekant.
—
Eftersom b tydligen DELS är förmögen att gömma basytor av godtycklig
form, och att b DELS via förskjutningssatsen också kan vara fragmenterad
eller utspridd på godtyckliga ställen med godtycklig uppdelning, och därmed i
omvänd mening också sammansatt på basytor av godtycklig form, fortfarande med
giltigheten i förskjutningssatsen, är det tydligt att det helt enkla sambandet
för pyramidens volym kan återföras direkt på förskjutningssatsen via basytan
som en allmän form för konens volym enligt
V = Ah/3 ; konens volym
—
Konens basyta kan tydligen ha vilken som helt godtyckliga plana figurform.
Vi
studerar hur detta resultat leder fram till sfärytan och sfärvolymen och deras
samhörighet med cylindern.
SFÄRYTAN och CYLINDERYTAN,
SFÄRVOLYMEN och CYLINDERVOLYMEN
Med konvolymens
klassiska innebörd klarlagd, framträder elementarytorna på än vidare (mera
avancerade) enkla klassiskt logiska sätt. Konvolymens klarläggande leder dels
vidare till ytterligare sätt för sfärytans härledning och dels till sfärens
volym som därmed framträder som kanske den klassiska logikens allra enklaste
härledning för just sfärvolymens del — retoriskt såväl som algebraiskt. Vi
studerar hur.
Med
sfärytans minsta möjliga LIKFORMIGA plana principalform genom uppdelning i ett
obegränsat antal delytor
DA(SPH) = A(SPH)/(n®¥)
lika
med cylinderytans minsta möjliga LIKFORMIGA plana principalform genom samma
typuppdelning i ett obegränsat antal delytor
DA(CYL) = A(CYL)/(n®¥)
ges
tydligen sfärens koniska principalvolym enligt
DV(SPH) = DA(SPH)h/3
och
cylinderns koniska principalvolym enligt
DV(CYL) = DA(CYL)h/3
;
— Med
principiellt likadana principalkonbasytor för DA(CYL) och DA(SPH) kan därmed, tydligen, sfärytan överföras identiskt
på den omskrivna cylinderytan genom förskjutningssatsen enligt
DA(SPH)h/3 =
DA(CYL)h/3 ;
A(SPH) = A(CYL)
; sfärytan är identisk med omskrivna
cylinderytan genom förskjutningssatsen
4pr2 = 2pr·2r; ;
sfärytan
och cylinderytan
—
Därmed framgår också att
sfärens volym är cylinderns volym minus de
bägge kompakta ändkonerna
enligt
V(SPH) =
2r(pr2) – 2[V(CON)]
= 2r(pr2) – 2[(pr2)·r/3]
= 2rpr2 – 2pr2r/3
= 2pr3 – 2pr3/3
= 6pr3/3 – 2pr3/3
= 4pr3/3 ; sfärens volym
SFÄRVOLYMERNA I SAMMANSTÄLLNING
Fingranskning
av projektionstriangeln för sfären mot omskrivna cylindern gör att man ur de
ovan beskrivna detaljerna också kan härleda
volymen för sfäriska zonen [p(r2x – x3/3)],
volymen för sfäriska
sektorn [2pr2h/3]
och
volymen för sfäriska
kalotten eller
segmentet [ph2(r–h/3)] [h anger kalotthöjden].
SFÄREN
OCH KONEN GENOM INTEGRALKALKYLEN
Artiklarna
nedan beskriver hur sfärvolymen, sfärytan, konvolymen och konytan kan hanteras
i integralkalkylen.
För
den om är obekant med integralkalkylens grunder, se utförligt från ATOMTRIANGELN och NOLLFORMSALGEBRAN.
SFÄRVOLYMEN VIA INTEGRALKALKYLEN
Sfärens
volym via integralkalkylen
Sfärens
differentialvolym dV kan skrivas som vertikalcirkelns yta, py2, multiplicerat med positionen dx för x-värdet (skivans
tjocklek).
y avtar från ymax= r till 0 vid x=r.
—
Ekvationen för y är ekvationen för den storcirkel vi ser (rakt
framifrån) av sfären enligt y=Ör2–x2.
—
Vi får alltså differentialekvationen
dV = py2 dx
= p(r2–x2) dx ;
Integralen ger
V = p ò (r2–x2) dx = p (r2 ò dx – ò x2 dx)
Vi
ser att bägge integralerna i HL kan återföras på exponentialintegralen
ò (P)Dn(P) dx = (P)n+1/(n+1) ....................... exponentialintegralen
(från
omvändningen av exponentialderivatan).
—
Således den integrala lösningen
a
V = p [r2x – x3/3]
b
Vi
ser också att denna integral är av bestämd (definit) typ (Se Bestämda
och Obestämda integraler). Den är alltså direkt beräkningsbar från noll
utan vidare.
—
Vi går enklaste vägen och väljer att tillämpa integralen i intervallet från origo
fram till x=r. Detta ger volymen för halva klotet. Vi multiplicerar
sedan resultatet med 2.
V = p [r2r – r3/3]
= pr3[1 – 1/3]
= 2pr3/3
Totala
sfärvolymen blir alltså med denna lösning
V = 4pr3/3 ........................................... sfärens volym
Och
som vi ser är detta alldeles samma resultat som i föregående utvecklingar.
Se
även Sfärytan
via Integralkalkylen.
SFÄRYTAN GENOM INTEGRALKALKYLEN
Nedan följer till jämförelse
sfärytan från integralkalkylen.
Sfärens
yta via integralkalkylen
I integralkalkylen finner vi
samma resultat. Vi sätter s som del av storcirkelns båglängd. Sfärens
differentialyta dA kan då skrivas som omkretsen hos den variabla
vertikalcirkeln, 2py, multiplicerat
med båglängdens differential ds. Den variabla radien y har vi i PREFIXxSIN genom
y = r · sina
där
r är sfärradien. a betecknar här vinkeln i radianer med
vinkelnollan i y-axeln. a växer alltså från noll då x gör
det. Radianvinkeln a är den inneslutna bågdelen s dividerat med r
så att vi får a=s/r. Men för att kunna integrera på a
måste vi först genomföra en differentialtransformation. Vi får denna enligt
da/ds = Dn a = Dn s/r = 1/r
; ds = r da.
Vi
insätter detta i differentialekvationen dA = 2py ds tillsammans med y-formen
ovan och får då
dA = 2p · r · sina · r da ;
integrationen ger
A = 2pr2 ò sin a da = 2pr2[cos a]
Nu
är cosa = x/r i den utvalda del som integrationens intervall
avser (bågen s). Detta ger oss
A = 2pr2[x/r] = 2pr[x]
Denna
integralform är bestämd direkt eftersom den ger 0 om x är noll. Med x=r
får vi halva sfärytan. Totala sfärytan blir alltså dubbla denna. Därmed
A = 4pr2 ............................. sfärytan,
omskrivna cylinderytan
Och
som vi ser är detta alldeles samma resultat som i föregående utvecklingar.
Konens volym genom
integralkalkylen
R/h
= k = y/x ;
y = kx ;
dV
= A dx = py2 dx = p(kx)2 dx
= pk2x2 dx ;
V = pk2 ò x2 dx ; integration
genom exponentialintegralen ger
= pk2 x3/3 ;
direkt bestämd integral,
x
från 0 till h
ger med insättningen av R/h för k resultatet
= pR2/h2
h3/3
= pR2 h/3 .......................................... ; konens
volym
= Ah/3
vilket
vi ser är samma resultat som i den enkla klassiska härledningen till konens volym.
Konens yta genom integralkalkylen
I DET FATALA CYLINDERFELET visas hur man genom en
felaktig förmodan (genom [multipla] dubbelfel) ändå hamnar i rätt slutresultat.
Tillämpas samma cylinderfel på konen ges emellertid direkt ett felaktigt
resultat (vidare i slutet). Det är enkelt att förbise det kritiska
differentialvalet — som lekman är det lätt att använda cylindrar som percept
för allt möjligt, men det är inte alltid samma som det klokaste valet. Korrekt
sätt är i konytans fall att relatera konmantelytans differential till hyposidan
(s), inte till utsträckningen utmed x-axeln.
—
Man får
R/(s)
= k = y/s ;
y = ks ;
dA
= P ds = 2py ds = 2pk s ds ;
V = 2pk ò s ds ; integration
genom exponentialintegralen ger
= 2pk s2/2 ;
direkt bestämd integral
= pk s2
s
från 0 till
hela mantelsidan (s) ger med insättningen av R/(s) för k
resultatet
= pR/(s) (s)2
= pR(s)
................................................. ; konens mantelyta
= pRÖ R2+h2
vilket
vi ser är samma resultat som i den enkla klassiska härledningen till konens yta.
OM
vi här, felaktigt hade satt mantelytans differential till dA=Pdx skulle
slutresultatet med y=kx ha blivit det felaktiga V=pRh.
HUR
EN FELAKTIG ANSATS FÖR SFÄRYTANS HÄRLEDNING LEDER TILL ETT KORREKT RESULTAT
DET FATALA CYLINDERFELET
DEN
FÖRMODADE SFÄRYTAN GENOM CYLINDRAR
Från M2001_1.wps s53
Ansats
(den är felaktig, se vidare nedan):
Vi sätter
a
antalet cylindrar plus en
n
räknare från 1 till a–1
d
= r/a, varje cylinders
bredd
An = 2p yn d, the n:th cylinder-area
yn = Ö r2–(nd)2 = Ö r2–(nr/a)2 = r Ö 1–(n/a)2
radien
hos varje individuell cylinder
Ytan för den n:te cylindern blir då
An = 2prd Ö 1–(n/a)2 = 2pr2(Ö a2–n2)/a2
Summan av alla a–1 cylindrar kan då skrivas
via serien
2prd[ Ö 1–(1/a)2 + Ö 1–(2/a)2 + Ö 1–(3/a)2 + … + Ö 1–([a–1]/a)2 ]
EN OINITIERAD PERSON kommer (med största sannolikhet)
att resonera så (frestad av uppenbarligheten i de första termerna när a
är ett stort tal):
— Om a är stort, blir talen 1, 2, 3, 4, … n
försumbara jämfört med a och varje rot erhåller då ett värde lika med 1.
Med generatorn (a®¥) som utsäger att a växer obegränsat,
vilket betyder att d blir r/(a®¥), kommer vi fram till att
2prd
[ 1 + 1 + 1 + … ] = 2pr · (r/[a®¥])[ [a®¥] ] = 2pr2
(Vi skulle få samma resultat genom att direkt
referera seriesumman som a).
(Uppställningen ovan ger via differentialbegreppet
i MÄSTARLOGIKENS
HUVUDSATS endast ett resulterande 2p·dr med d=1/¥).
Därmed för hela sfären 2 × 2pr2
ASPH = 4pr2 ......................... ; sfärytan, samma som omskrivna
cylinderytan
HÄRLEDNINGEN ÄR INTE KORREKT
— även fast svaret är det.
Se SFÄRYTAN GENOM
INTEGRALKALKYLEN.
— Vad gör vi för fel?
— Rotserien Ö1–(n/a)2 är frestande för att låta oss
begå det fatala
felet:
— Det är först och främst absolut uppenbart att
”de första” oräkneliga termerna blir praktiskt taget samma som 1 om a
är mycket större än n.
— Vad man (som lekman) DÄREMOT INTE ser (enkelt)
är att slutdelen
i serien är långt från 1.
— Vår förmodan att seriesumman ovan dividerad med a
skulle ha en gränsform lika med
1
visar i själva verket en gränsform lika med
0,7853981…
Se tabelluppställningen längre ner i HUR ROTSERIENS
SUMMA BERÄKNAS.
— Det betyder att hela slutsatsresonemanget ovan
är direkt felaktigt.
— Vilket vill säga, seriesummans gränsform är lika
med p/4=0,7853981…, inte 1:
— Serien kan inte användas alls överhuvudtaget för
det åsyftade ändamålet.
— Eller mera korrekt uttryckt:
ansatsen med cylinderindelningen är fatal i strävan att
söka sfärytan
Vi
kan se logiken i det också genom att cylinderbredden i själva verket aldrig har
något samröre med sfärens yta
Cylindrarna vidrör aldrig sfärytan, som istället ges via kordor
(stympade koner).
HUR ROTSERIENS SUMMA
BERÄKNAS I BORLANDS PASCAL (Delphi)
Summering av rotserien Ö1–(n/a)2
över a med växande n utförs i Borlands Pascal som
följer (R real, A&M longint, Code integer, S string):
Val(Edit1.Text,A,Code); R:= 0;
for N:= 1 to A-1 do
begin
R:= R + Sqrt(1-Sqr(N/A));
end;
R:= R/A; S:= FloatToStr(R); ClipBoard.AsText:= S;
Värdet på a tas från en EditBox (kopplat
till t.ex. FormClick). Efter avslutad summerande for-loop, divideras resultatet
med a och transformeras sedan för presentation. Här skickas resultatet
till Urklipp och kan sedan importeras (hit) till Ordbehandlingsprogrammet eller
Anteckningar med det enkla Ctrl+V.
Den följande tabellen visar resultaten med olika a-värden
till jämförelse:
a summan/a
(direkt från Urklipp)
5 0,659262207220308
101 0,726129581561509
102 0,780104257944913
103 0,784888866729489
104 0,78534786939781
105 0,785393154196754
106 0,785397663385993
…
p/4 = 0,7853981…
Borlands Pascal
DATORVÄRLDENS
I SÄRKLASS MEST REVOLUTIONERANDE ProgramProgram — det är ett masterprogram som
kan användas för att skapa Dator(Windows)Program — visade sig med lanseringen
av Borlands DELPHI 1 (1995). Det kom som en (befriande) våg som sköljde över
hela planeten.
Mot senare delen av 1990-talet gavs DELPHI
1 (versionen baserad på 16 bitars CPU) ut gratis av (flera) datortidningar
(PC&Mac 4/97), totalt med hela den omfattande DelphiHjälpen — inkluderat
utförliga referenser till Windows API (Windows Application
Programming Interface) — samt några år senare (PC FÖR ALLA 5-2000) även DELPHI
4 (versionen baserad på 32 bitars CPU). Med den förlösande utgåvan kunde man
plötsligt skriva egna, ytterst stabila, Windowsprogram med rasande finess och
enkelhet (och många kom också att utveckla sina grundläggande
datorprogrammeringskunskaper på den vägen).
Dessa
(gratis) äldre (utgångna) versioner av Delphi är så mycket mer anmärkningsvärda
eftersom de innefattar Borlands Assembler; Därmed ligger vägen öppen för den
som vill att göra i stort sett allt som kan göras på en dator (med
assemblersprålets detaljer innefattat vilket i princip bara betyder att man
använder den gamla DOS-skolans Assemblerlitteratur, se exv. USING ASSEMBLY
LANGUAGE 3rd Edition, Allen L. Wyatt, QUE 1995). Kort sagt: i Delphi 1/4
finns allt man behöver för att utveckla precis vad som helst som alls KAN
utvecklas på en dator, dessutom med maximal (via assemblerdelen, en garanterad)
snabbhet.
Vilka
VERKLIGT ANVÄNDBARA ELEMENTÄRA DATORORIENTERADE utvecklingsverktyg erbjuds
GRATIS på Webben idag?
Efter
en kort genomgång på webben (Maj 2009) visar sig emellertid en deprimerande
resultatlista — för den som vill testa olika motsvarande masterprogram:
DELPHI med Borlands Pascal
och Turbo Assembler: Delphi 1/4 finns (här veterligt) INTE längre att få tag på i någon
gratisversion;
(Q)BASIC med Visual
Basic (och liknande): Flera (många) (Visual) Basic-versioner finns GRATIS på webben idag
(Maj 2009) — men det är inte lätt att få veta om ens avgörande funktioner finns
med; EXEMPEL: Jämför t.ex. Microsoft Corporation med Office 2000; Där finns
visserligen Visual Basic version 6 (VB6) med — men kommandohjälpen är så dålig,
och dokumentationen så utspridd att det inte ens går att få fram det tidigare
QBasic-kommandot för att rita ut bildpixels (PSET): PSET-kommandot finns inte i
repertoaren, omnämns inte i hjälpen — men PSET-funktionen omnämns på webben i
olika diskussionsforum där VB6 diskuteras. VAR finns alltså PSET i VB6?
—
En nybörjare som (t.ex.) kommer över VB6 via Office 2000 — mitt exempel — har
ALLTSÅ inte ens en rimlig chans att komma någonvart i en enkel elementär
datorbaserad bildkunskap. Hur (då) andra personer kan påstå att (t.ex.) PSET
skulle finnas på deras versioner, är här helt okänt; Det indikerar bara
ett (mycket) depraverat allmäntillstånd.
Övriga programKompilerande
program: Att
(t.ex.) försöka få fatt på ett GRATIS C++-kompilerande masterprogram som
garanterat INTE försöker pracka på ”nybörjaren” runt 50 olika demoVideos på 20
minuter vardera (med i vissa fall så grovt amerikaniserade dialekter hos
inspicienten att det stundtals är svårt att höra vad som sägs) och som slutar
med att nybörjaren lärt sig att skriva ut ”Hello World” på bildskärmen, eller
LÄGGA BESLAG PÅ ALLT MÖJLIGT PÅ MITT SKRIVBORD OCH INFÖRA ÄNDRINGAR JAG INTE
VILL HA, verkar vara en direkt omöjlighet (Maj 2009). Med den hastigheten
gäller typ nästa istid innan vi kommer fram till motsvarande för PSET:
elementär datorstödd bildbehandling. DELPHI skulle klara saken (lätt som en
plätt, dessutom), men den programformen tillsammans med den omfattande Windows API-dokumentationen finns som
sagt inte längre tillgänglig — i någon gratis upplaga. Fullversioner av Delphi
är f.ö. definitivt inte billiga; från 400 till 4000 dollar (Maj 2009) — och då
vet vi (här) inte vad de innehåller (om språket ens är begripligt för en
nybörjare).
En sak att lägga märke till (som allmän
referens): Ännu 2009 finns inte en enda webbläsare som klarar av att visa
original från en traditionell ordbehandlare utan att förvanska den typografiska
metriken, på ett eller annat sätt (Se exempel från Webbtest) — trots (extremt) dyra utvecklingsprogram, från
Borland och andra.
SFÄRENS
YTA OCH VOLYM — grundform
ARKIMEDES LÖSNING
Se
även föregående i SAMHÖRIGHETEN
MELLAN SFÄR OCH CYLINDER
Föregående
beskrivningar av hur samhörigheten mellan sfären och dess omskrivna cylinder
kan förstås, har en mera elegant allmän matematisk lösning känd som ARKIMEDES
LÖSNING;
Lösningen
som gavs av Arkimedes (Grekisk matematiker och filosof, 287-212 f.Kr.,
@INTERNET Wikipedia Arkimedes 2009-04-30) omtalas bl.a. i webbkällan
[http://www.maths.lth.se/query/answers/q200410.html#20041007095326]
2004, 2009-04-30,
LUNDS
UNIVERSITET — Fråga Lund om matematik, Frågor och svar oktober 2004.
En
gymnasielärare vill veta råd för sina elever i någon ’enkel härledning’ till
sfärens volym …
— Arkimedes
lösning bygger helt enkelt på
iakttagelsen att samhörigheten sfär-cylinder-kon i själva verket automatiskt
innefattas i Pythagoras
sats: ett snitt genom
sfären-cylindern med den symmetriskt delade konkroppen innefattad (ljusa
triangeln i figuren nedan) visar att cirkelytan, sfärens kalottcirkel [px2], och konens
avgränsande ringyta [p(r2 – y2)] i själva
verket är identiska ytor via Pythagoras
sats x2 = r2
– y2 enligt
A(CRLSPH) = px2 = p(r2 – y2)
= A(RINCON)
;
Dubbelkonen
(endast halva utritad nederst) i mitten på kroppen sfär-cylinder, figuren
nedan, överför y-snittvärdet symmetriskt på x-axeln så att
konringens yta blir identisk med sfärkalottens snittcirkelyta via Pythagoras
sats.
—
Genom att ytorna är identiska (de snedstrecksmarkerade delarna i ovanstående
figur) och därmed den urholkade konkroppens snittyta tydligen kan överföras
identiskt på sfärkalottens snittyta — och därmed dess variation från noll till
max — är det tydligt att också volymerna blir identiska.
—
Därmed bevisade Arkimedes samhörigheten mellan sfären och dess omskrivna
cylinder med den inskrivna dubbelkonen. Se Sfärens
Volym FRÅN konvolymen och cylindern.
—
TYVÄRR finns inte denna (gamla klassiskt eleganta) elementära geometri
beskriven i någon översvallande allmän litteratur: exemplet ovan från Lund visar i stort sett att ämnets kännedom är ett område
förbehållet fåtalet.
Editor2009IV30
Elementarytorna
Elementarytorna
ämnesrubriker
innehåll
referenser
—
Senast uppdaterade version: 2018-12-27
*END.
Stavningskontrollerat 2009-05-26.
rester
*
åter till portalsidan ·
portalsidan är www.UniversumsHistoria.se
PNG-justerad 2011-10-10
åter till portalsidan ·
portalsidan är www.UniversumsHistoria.se