MATEMATIKEN · ELEMENTARYTORNA 2009V26 en BellDHARMA produktion  |  Senast uppdaterade version: 2011-10-10 · Universums Historia

 

innehåll denna sida · webbSÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i SAKREGISTER  ·  förteckning över alla webbsidor

 

ElementarYtorna enligt relaterad matematik

 

Sfärens Yta Och Sfärens Volym i enkla klassiska härledningar

 

 

Figuren ovan beskriver sfärens volym och sfärens yta från konens volym med grund i (den urgamla) förskjutningssatsen — men många känner inte dessa grunder.

 

SFÄRYTAN och SFÄRVOLYMEN hör till matematikens och fysikens mest framträdande och viktiga formdetaljer. Men varken webben idag (April 2009) eller litteraturen generellt (grundskolan, gymnasiet) verkar vara begåvad i någon mera översvallande bemärkelse med klara och tydliga beskrivningar — av den gamla hederliga klassiska typen: ENKELHETEN, framför allt, i härledningssätten verkar som mest tillhöra ett passerat stadium — för runt 2 500 år sedan. Ämnet verkar i stort glömt och avsomnat; Man hänvisar till ’kalkylen’.

   Med viss koll på den äldre bibliotekslitteraturen — i svensk referens i stort 1930-1960 — fanns, verkligen, en hel del genuina referensbeskrivningar, men som senare tiders läroboksförfattare verkar helt ha övergivit (se referensen i Fråga Lund som ett [avskräckande] exempel). Resultatet (naturligtvis) har blivit att inte ens elever på gymnasienivå längre verkar känna till ens den enklaste klassiska härledningen till sfärens yta och volym. Biblioteken har numera och för övrigt (sedan länge) magasinerat sina gamla läroböcker (typ LÄROBOK I GEOMETRI, DEL I, F. Carlsson 1943/1946), och inga spår finns (heller) längre kvar på dagens bokhyllor av dessa artefakter. I t.ex. svenska Wikipedia (och även den engelska motsvarigheten) på artikeln Sfärens yta, Klot eller Sfärens volym, hänvisar man (om alls) till integralkalkylen.

— I den här presentationen ges en illustrerad generalgenomgång av speciellt de klassiska sätten att härleda sfärens yta och volym, och vilka partier (April 2009) tydligen i övrigt är (nära) orepresenterade på den del av webben som syns främst.

   Se även specifikt i Arkimedes lösning.

   För elementarkurvorna cirkel, ellips, parabel och hyperbel, se även utförliga beskrivningar och härledningar till deras ekvationer och tangenter i CEPH-ekvationen.

 

 

 

ElementarYtorna — Bildkälla nedan: Bilder.AlltingGratis.se

 

Alla härledningar till SFÄRENS YTA

 

Sfärens Yta FRÅN cylindervolymen och konvolymen, PLANGEOMETRISKT elementärt från förskjutningssatsen, klassisk

Sfärens Yta FRÅN tyngdlinjerna och elementarytorna, klassisk

Sfärens Yta FRÅN cylinderytan, YTTEKNISKT, klassisk

Sfärens Yta FRÅN konvolymen och cylindern, VOLYMTEKNISKT från förskjutningssatsen, klassisk

Sfärens Yta FRÅN integralkalkylen, analytisk (via nollformsalgebran)

 

Alla härledningar till SFÄRENS VOLYM

 

Sfärens Volym FRÅN cylindervolymen och konvolymen, PLANGEOMETRISKT elementärt från förskjutningssatsen, klassisk

Sfärens Volym FRÅN konvolymen och cylindern, VOLYMTEKNISKT från förskjutningssatsen, klassisk

Sfärens Volym FRÅN atomtriangeln med integralernas aritmetik, klassisk

Sfärens Volym FRÅN integralkalkylen, analytisk (via nollformsalgebran)

 

 

Förskjutningssatsen

 

2009-04-28 efter föregående originalmanus från 2001 |M2001_1.wps|

 

INOM DEN ELEMENTÄRA GEOMETRIN finns en framträdande lärosats (teorem) som mer än andra grundlägger speciellt kopplingen till fysiken. Den kallas här i relaterade termer för förskjutningssatsen, utförligt nedan, men den termen förekommer (veterligt) inte i modern akademi — i det sammanhanget;

   Termen »förskjutningssats» i modern litteratur brukar återfinnas i ämnen som behandlar [matematiska] begrepp inom elektrofysiken. I engelskan används motsvarande namnform ”displacement theorem”, t.ex. om begreppet rotation som också kallas Euler’s Displacement Theorem, ref. [http://mathworld.wolfram.com/EulersDisplacementTheorem.html].

   Men det finns också ”displacement theorem” som ansluter till andra ämnen. Dock finns (här veterligt) inget ”displacement theorem” i det engelska utbudet som ansluter till den elementära geometrin.

   Den följande beskrivningen har, här veterligt (April 2009) ingen motsvarande varken litterär eller illustrerad make i det kända utbudet. Man kan tycka det är underligt — eftersom detaljerna är ytterst enkla, elementära och på intet sätt komplicerade, samt att de behandlar ett ämne som varje människa torde ha ett spontant intresse för: elementär (urgammal) matematik.

 

 

FÖRSKJUTNINGSSATSEN

inom den elementära geometrin utsäger:

 

Med ytan för en plantriangel given som halva produkten av dess bas (b) och höjd (h), A=bh/2, bevaras relationerna mellan bas och höjd oberoende av förskjutning hos basen i dess förlängda plan:

 

 

b kan ha godtycklig position var som helst i rummet förutsatt h inte ändras

— ytan (ljusbeiga triangeln med basen b nedan) ändras inte

 

 

 

 

 

Förskjutningssatsen inom den elementära geometrin är formellt samma som triangelytan A=bh/2.

Tillämpning

För tillämpning inom fysiken se FÖRSKJUTNINGSSATSEN som grundval för KEPLERMOMENTET i PERIODISKA SYSTEMET.

— Benämningen »förskjutningssatsen (inom elementär geometri)» förekommer (veterligt) inte i modern akademi — trots att den godtyckliga orienteringens princip i sammanhanget är grundläggande för att förstå de enkla »klassiska» härledningarna till typ konens volym och även sfärens volym.

— Vi studerar detta nedan.

 

 

Konens Volym

Om b gömmer en yta, kan denna med grund i förskjutningssatsen (följaktligen) ses på olika motsvarande godtyckliga ställen — och därmed i summa liktydigt med en godtyckligt MOTSVARANDE basyta, till exempel den som vi återfinner i KUBEN då den delas i sex lika delar:

 

 

 

Vilket vill säga: Konvolymens ekvation kan återföras på ekvationen för en av de sex delpyramiderna i kuben:

V(CUB) = bbb = bb · 2h = 6 · V(PYR);

V(PYR) = V(CUB)/6 = bb · 2h/6 = bb · h/3 ) = V(CON);

V(CON) = Ah/3 = b²h/3  ........................    konvolymen är basytan gånger höjden dividerat med tre

 

EXEMPEL

 

 

Konvolymen kan idealt klippas upp (För Cirkeln, se även beskrivningen från Elementarytorna) via ett vertikalt snitt med utvikning av delarna i ett symmetriskt par som antyds i figuren ovan.

Koncirkelns variabla omkrets s = 2pr med olika höjd över basytan kan då likställas med motsvarande mera komprimerade pyramid (nedan) med rektangelytan

A      = r · (s)/2 

        = r · 2(s/2)/2

        = r · 2(2pr/2 ·r)/2

        = p  ...................................  rektangelytan (s/2)·r motsvarande cirkelytan

analogt med nedanstående figur,

 

                      

 

Konen med den cirkulära basytan pr² och höjden h kan alltså återföras på en pyramid med basytan A, höjden h och därmed volymen

V(CON) = Ah/3  ............................    ; konens volym

 

 

Cylinderns Volym

På samma sätt som i Konens Volym kan också cylindern klippas upp:

 

 

 

 

Cylinderns volym via de bägge symmetriska utvikta delarna blir på samma sätt lika med det ihopslagna markerade rätblockets volym (djupet = h)

V(CYL) = r(P/2) · h = r(2pr/2) · h  = r · h(pr) = pr²h

Omsluter cylindern precis sfären, h=2r, skrivs cylindervolymen

V(CYL) = 2p  ............................     ; cylinderns volym

 

 

Sfärens Volym

Men cylinderns volym kan också klippas upp och bredas ut på ett annat, mera kompakt sätt:

 

 

Här rullas hela cylindermantels omkretsar av direkt, successivt från största (r) till noll, motsvarande alla inre cylindriska skikt. Cylindervolymen bildar då, tydligen, precis 1/4 av rätblocket med basytan (2r)² och höjden 2pr vilket ger cylindervolymen

V(CYL) = (1/4)(2r)²2pr = 2p

Vi ser att detta stämmer utomordentligt väl med föregående erhållna resultat.

— Eftersom emellertid den av cylindern inneslutna sfärvolymen måste avta mot noll i den motsvarande uppklippta utbredningen, och därmed sluta på en motsvarande punkt, ges den i figuren ovan motsvarande (enda möjliga) sfäriska volymkroppen av den undre delen i takformens diagonala skärning — i förutsättning av att också sfärvolymens uppklippta utvikning bevarar ekvivalenta inre proportioner från r till noll.

 

 

— Sfärvolymen kan då tydligen återföras på konvolymen med basytan 2pr · 2r och höjden r enligt

V(KON)      = V(SPH) = 2pr · 2r · r/3

               = 4pr³/3  .....................    ; sfärens volym ur cylindervolymen och konvolymen från förskjutningssatsen

 

Sfärens yta

VI KAN INTUITIVT direkt förstå att om pyramidkroppen ovan representerar hela sfärvolymen och därmed varje plansnitt parallellt med bottenplanet också utgör en bild av en mindre sfär, då bör SFÄRENS YTA just vara bottenytan

 

A(SPH)      = 2pr · 2r = 4pr² ............    ; sfärens yta, samma som omskrivna cylinderns yta

 

— Det finns en riktig »klassisk», mera utförlig beskrivning som också visar att så är fallet.

Se från Sfärytan och Cylinderytan. Se även Arkimedes lösning.

 

 

 

 

I följande delar beskrivs mera avancerade sätt att härleda de olika elementära ytorna och volymerna, dvs., ytor och volymer som berör figurerna/kropparna cirkel/cylinder, kon och sfär.

 

 

 

Elementarytorna

 

 

ELEMENTARYTORNA

  2009IV6

 

 

Från Integral0.wps 1997 IX · 2001 III |  Till htm 2009 IV

 

 

Genomgång av den enkla, klassiska geometrins ytbegrepp

— i ljuset av den utvecklade integralkalkylens metoder;

En vidare syntes

— med en del studier i aritmetiska metoder till jämförelse

 

För den som (händelsevis) inte hänger med i de integrala exempel som visas i den här presentationen, se Integrala Exempel, finns ämnet grundligt beskrivet från Nollformsalgebran och Atomtriangeln — från de allra mest rudimentära logiska begreppen (Se INTEGRALBEGREPPET från grunden om ej redan bekant). Därifrån finns ytterligare vidare kopplingar till Den Högre Analysen där integralbegreppet ställs fram med mera allmänna (universella) utförliga exempel med relaterade lösningar (Se ANALYSEXEMPEL). Läsaren bör därmed (med dessa referenser) ha en god grund för studiet av integralkalkylens formella sammanhang (som även proffs ibland måste friska upp i minnet, från tid till annan) — se även de många konventionella webbkällor som (numera) finns att studera till jämförelse (sök t.ex. på integral-, differential- och derivata-, generellt kalkyl och analys).

— Rekommendation (vilket du säkert redan har fattat själv): Läs bara det som för tillfället behövs: friska upp det som har glömts genom att »slå upp det i läroboken»: Läroboken BÖR vara heltäckande, speciellt i de viktiga grundbegreppen; Är INTE Läroboken heltäckande i grundbegreppen har den misslyckats som Lärobok, och det är inte eleven det är fel på utan läraren.

 

 

Cirkeln

Allmänt

 

Vi sätter cirkelradien som R. Cirkelns avrullning definierar pi (p) som förhållandet mellan omkretsen eller perimetern P

och cirkelns diameter 2R.

 

 

 

P/2R     = p ; 

P           = 2pR  ...............................................    ; cirkelns omkrets, p » 355/113 = 3,14 15 92.

 

Alla P, noll till R, kan betraktas som ”smala remsor”. Halva rektangeln RP utfyller alltså cirkelytan enligt

 

A           = R·P/2 = R·2pR/2 = pR2  ..................   ; cirkelns totala yta

 

På samma sätt blir bågdelen eller båglängden s av P cirkelns sektoryta.;

 

 

Cirkelytans mera allmänna ytekvation blir alltså från RP/2 det mera specifika

 

A           = Rs/2   ..............................................    ; cirkelns sektoryta

 

Vi ser att s=2pR ger cirkelns totala yta.

 

Konen

Sektorn Rs/2 formar med s sluten en kon;

 

 

 

— Vi klipper ut resten ur cirkeln via två R-snitt och för ihop de bägge öppnade snitten;

— Det ger oss en trängre bascirkel med radien r i den kropp vi kallar för en rät cirkulär kon;

 

 

 

Från originalarbeten med grundmanus från 1989 XII;

första författningen 1992 V; andra författningen 1995 XI; tredje författningen i

BEGREPPSANALYSENS GRUNDFORMER 1996 II 22, dåvarande svartvita illustrationer anpassade för HP Deskjet 320

 

Konytan

Med längden av konens bascirkel som s=2pr blir alltså konytan via sektorytan R·s/2

 

A           = R·2pr/2 = Rpr   ..............................    ; konytan

 

Tyngdlinjen

Om vi betraktar detta resultat på ett alternativt sätt ser vi att konytan också kan erhållas som

 

 

 

A           = R · 2p · (r/2) = R · 2p · T   ............     ; konytan

T          ...........................................................    ; tyngdlinjens tyngdpunktscirkelradie, här T=r/2

 

Om vi vrider upp R lodrätt med bibehållet T=r/2 och tillämpar sambandet R · 2pT får vi cylinderns yta

 

 

 

A           = 2pT·R  .............................................   ; cylinderns yta, r0 = T

 

— eller vilken som helst alternativ del av en kon:

 

 

A           = 2pT·R  .............................................   ; stympade konens yta

 

 

Vi kan också förstå cylinderytan genom att klippa upp den och breda ut den. Den ges då som en rektangel med cirkelns

omkrets 2pr som längd och cylinders höjd h som bredd.

 

             2prh  ...................................................   ; cylinderns yta

 

På samma sätt kan den stympade konytan förstås som en utbredd cirkulär yta ur vilken man tagit bort en inre cirkel och sedan snittat den yttre cirkelns R på vanligt sätt för att få konformen;

 

 

alternativ illustration,

 

 

 

Vi ersätter R i 2pTR mera allmänt med s (spatium) eller alternativt längden (l) så att vi får

A           = 2pTl  ............................................      ; tyngdlinjens rotationsyta

Vi benämner s=l som tyngdlinjen och kallar ytan A för tyngdlinjens rotationsyta. Cirkeln 2pT kallar vi för tyngdpunktscirkeln.

 

Som visats i utvecklingarna ovan erhålls en rotationsyta A som produkten av tyngdlinjens längd s=l och

tyngdpunktscirkelns omkrets 2pT. För en rät linje med längden s=l ligger linjens tyngdpunkt i mitten.

Tyngdpunktssatsen

Tyngdpunktssatsen utsäger då att

 

× tyngdlinjens längd l

× tyngdpunktscirkelns omkrets

= rotationsytan för l

 

A          = 2pTl  .............................................     ; tyngdlinjens rotationsyta

2pT      ..........................................................     ; tyngdpunktscirkeln

T          ..........................................................     ; tyngdpunktscirkelns radie

l            = s  ...................................................     ; tyngdlinjens längd, ytans snittform

 

Motsvarande sats gäller också för en tyngdyta.

 

Tyngdlinjen motsvarar den geometriska centrumlinjen genom en tråd eller stång av homogen sammansättning. I den praktiska fysiken måste dessutom motsvarande konstruktion befinna sig i ett Galileiskt kraftfält (samma tyngdacceleration överallt i rummet). I annat fall gäller inte satsen.

— Inom den rena ideala geometrin är det just sådana, ideala begrepp om likformighet som gäller.

— Geometrins ”eget material” är just genomgående absolut homogent eftersom det är materielöst. Under förutsättning att vi kan konstruera mekaniska anordningar med hög grad av homogenitet kan också satsbilden ovan utnyttjas med motsvarande precision i praktisk fysik; En stor del av mekaniken ägnas (alltså) åt olika tyngdpunktsberäkningar.

 

HISTORIA

Historiskt härstammar satserna om tyngdlinjer och tyngdytor (närmast) från schweizaren Paul Guldin (1577-1643), ofta benämnda Guldins Regler i facklitteraturen.

Satserna kan — som vi redan har sett — förstås intuitivt på enklaste sätt och också härledas utifrån de allra enklaste av geometrins och fysikens begrepp.

 

 

 

 

Cirkelbågens tyngdpunkt

Klassiska metoder för sfärens yta

 

 

 

Utan att direkt genomföra någon summering av olika delar visas i det följande hur SFÄRENS YTA kan bestämmas på ett förhållandevis enkelt klassiskt logiskt sätt.

 

 

 

 

Figur till härledningen av cirkelbågens tyngdpunkt. Vinkeln j utläses ”fi” (j i Symbol). Cirkelradien OC=r.

 

 

 

Vi indelar cirkeln eller en bågdel s=l av cirkeln i n ekvivalenta delkordor BC. Varje korda motsvarar en rät tyngdlinje — tyngdpunkten på mitten — med tyngdpunkten i F.

— F projiceras på x-axeln i G.

Roteras FG kring x-axeln uppstår en rotationsyta för BC sammanlagt för alla successivt sammanhängande BC alltmer liknar den yta som alstras av bågdelen s om BC tillåts gå mot noll obegränsat, analogt n®¥. Vi benämner den totalytan som A. Varje delrotationsyta som bildas av en längd BC genom rotationspinnen FG benämns här An.

 

Betrakta svängarmen BC.FG:

— Eftersom FG alltid är rätvinklig BD är trianglarna BDC och FGO likformiga. Relationerna ger

 

             BC/BD             = FO/FG = secj

             Minsta BC       = Ds = s/(n®¥)

             D                       = 1/(n®¥)

             FG                    tyngdpunktscirkelns radie (R)

             BC                    tyngdlinjen med sin tyngdpunkt i F

             An                     = DA

                                      = A/(n®¥)

                                      = 2p(FG)Ds

                                      = 2p(FG)(BC) ; rotationsytan för en tyngdlinje BC enligt tyngdpunktssatsen

 

Ekvivalenterna BC/BD = FO/FG ger (BC)(FG) = (BD)(FO). Därmed kan också An tecknas alternativt

             An = 2p(BD)(FO)

Då BC går mot noll går FO alltmer mot cirkelradien r. Med denna gränsform insatt ges

             An = 2pr(BD)

 

 

— Med obegränsat växande n antar tydligen BD samma gränsform som då kordan k delas obegränsat enligt

             BD = Dk = k/(n®¥)

vilket blir minsta möjliga BD.

— Därmed har hela problemkomplexet tydligen automatiskt, självmant, fullständigt eliminerat alla aspekter som berör ’delsummeringar av BC för att få fram en hel motsvarande båglängd’; vi behöver tydligen inget sådant begrepp här:

 

             An         = DA = 2prDk               ;

             A          = 2prk                           ; cirkelbågens rotationsyta; k=2r

                          = pr2k                           ; max cirkulär båglängd för rotationsyta är halva cirkeln, pr

;

SFÄRENS YTA

SFÄRYTAN

;

För hela rotationscirkeln med max båglängd pr är k uppenbarligen lika med 2r. Därmed framträder hela sfärytan via sambandet för A = pr2k ovan enligt

             k                       = 2r                  ;

             A(SPH)             = (pr)2(2r)       ; sfärytan

             A  = 4pr2    SFÄRYTAN

 

Detta är alldeles detsamma som den kring sfären omskrivna CYLINDERYTAN; längden 2r och diametern 2r med omkretsen 2pr som ger

             A(CYL)             = (2pr)2r          ; cylinderytan

                                      = 4pr2

 

Sfärytan matchar exakt den omskrivna cylinderytan.

Se även vidare i SFÄRYTAN OCH CYLINDERYTAN.

 

ANALOGT ges direkt från origo med halva kordan k/2=x sfärytan

             A(SPH)             = (2pr)x            ; sfärytan godtyckligt från origo

 

 

— Enligt tyngdpunktssatsen (A = 2pRl) ska det också finnas en tyngdpunktscirkel 2pR tillsammans med hela båglängden s=l med den angivna totalytan A = 2pRl.

Likheterna ger

 

             A          = 2prk = 2pRl ;

             rk         = Rl ;

             R          = l–1kr  ......................   ; cirkelbågens tyngdpunkt från origo via kordan k och båglängden l

             R          avståndet från origo

             l            båglängden (även s)

             k           kordans längd

             r           cirkelns radie

 

k beräknas från given båglängd s i PREFIXxSIN enligt

             k = 2r cos s/2r

[Man har s/r = a, a i radianer; k/2 = b, b/r = cos a/2; b = r · cos a/2; k = 2r cos a/2 = 2r cos s/2r].

Med indelningen av cirkeln i ett helt antal sektorer n blir s = 2pr/n. Man får då den behändiga formen

             k = 2r cos (2pr/n)/2r = 2r · cos p/n

;

             s           = 2r · acos(k/2r) = l     ;

             R          = kr/[2r · acos(k/2r)]    ;

             R          = k/2[acos(k/2r)]          ;   cirkelbågens tyngdpunkt från origo via kordan k och radien r, obs acos i radianer i PREFIXxSIN

;

             R          = s–1(2r cos s/2r)r         ;

             R          = s–12r2cos(s/2r)  ......   ; cirkelbågens tyngdpunkt från origo via båglängden s

;

Med radianvinkeln s/r = a = A°(p/180) som alternativ till båglängden s=l ges

             R          = (a/r)2r2cos(a/2)         ;

             R          = cos(a/2)·2r ..........   ; cirkelbågens tyngdpunkt från origo via radianvinkeln a = A°(p/180)

                          = (A°·180/p)·cos[A°(p/360)]·2r via gradvinkeln = a(180/p)

 

Med k=2r betraktar vi halvcirkeln med båglängden s=pr;

Tyngdpunkten för halvcirkeln skulle då bli

 

 

             R          = l–1kr = (1/pr)2r

                          = r(2/p)  ....................   ; halvcirkelbågens tyngdpunkt från origo

                          = r(0,6366197)

 

För sfärytan gäller halva cirkelbågen som rotationsytans båglinje l=pr;

— Med tyngdpunktens avstånd från origo för tyngdlinjen (l) som R=r(2/p) ges tydligen också sfärytan via sambandet för A ovan enligt

A = 2pRl = 2p(2r/p)(pr) = 4pr2, vilket vi ser stämmer alldeles utomordentligt med föregående resultat.

 

 

 

 

SFÄRYTAN OCH CYLINDERYTAN

Se även från Förskjutningssatsen

 

I detta klassiska exempel visas hur både sfärytan och cylinderytan framträder med hjälp av endast en elementär perceptiv analys och med kännedom om att sfären också kan förstås som »den allmänna rundeln» för cirkelns enkla grundsamband.

 

perceptiv analys

Om vi från sfärens mittcirkel (vertikalen) breder ut sfärytan via omkretsen av dess storcirklar bildas tydligen en cylinderyta:

 

 

 

 

Varje kvartscirkel från vertikalnollan ( | ) får längden (2pr)/4 = pr/2. Men i denna cylinder finns bara en enda sfärcirkel som exakt avbildar sfärytan. Nämligen just den som förenar cylinder och sfär, alltså cirkeln för vertikalnollan. De övriga cirklarna överför sfärytan förstorat på cylindern med just beloppet p/2. Vi studerar detta mera ingående.

 

 

 

 

— Vi kan se anledningen till vrängningen enklare om vi tittar in i cylindern från sidan, figuren ovan. För avbildningen av två storcirklar från sfären mot cylindern bryts nodpunkten i mitten på sfären tvunget upp och breds ut mellan motsvarande parallella linjer på cylinderytan. Detta vränger alltså sfärytans avbildning sett med cylinderns begrepp. Minsta avståndet (”vrängvinkeln”) mellan två sådana storcirklar motsvarar tydligen en cirkel som gränsvärdet för en oändligt smal sfärisk sektoryta: sfärens ändpunkt som en motsvarande utbredd cylinderomkrets.

— Om vi prövar sammanhangen, kan vrängningen uppenbarligen främst återföras på den faktor p/2 som sfärcirklarna förstoras med vid utbredningen.

 

 

 

 

— Trycker vi konsekvensmässigt ihop (dividerar längden av) cylindern med beloppet p/2 bör alltså proportionerna återställas, såvitt korrekt uppfattat. Avbildningen från sfär till cylinder skulle därmed bli exakt;

 

 

 

Förstorade cylinderytans undre halva med 2 par kvadrater (pr/2)2

 

— Om vi alltså till prövning, figuren ovan, breder ut cylinderytan på den förstorade formen uppåt/neråt i det ursprungliga figurbegreppet får vi från origo och med vertikalnollan som symmetrilinje två halvor till höger och två till vänster i sfärens nedre del. På samma sätt ges i övre delen en spegelmake. Därmed inalles åtta delar (pr/2)2 för hela den förstorade cylinderytan: fyra i undre halvan (figuren ovan) och fyra i övre halvan.

— Med resonemanget ovan skulle vi då få den verkliga sfärytan

Sfärytan

A           = (pr/2)2 · 8 · (p/2)–1 = 4pr2  .............     ; sfärytan, omskrivna cylinderytan

 

Och, som vi ser, stämmer detta alldeles utomordentligt med föregående resultat.

 

 

            

Ytprojektionen …

från sidan

… motsvaras alltså av cirkulära

vertikalprojektionen (cylinderprojektionen)

framifrån, eller ovanifrån

 

Räknar vi direkt på den komprimerade formen via cylinderns yta, radien r och bredden 2r får vi analogt

 

A           = 2pr · 2r = 4pr2  .............................     ; sfärytan, omskrivna cylinderytan

 

Och som vi ser är detta alldeles samma resultat som i föregående utvecklingar.

Se även mera utförligt ytterligare »klassiska sätt» sätt för sfärytan från Elementarytorna, samt särskilt Sfärytan från Förskjutningssatsen.

 

 

Sfären och Cylindern genom Förskjutningssatsen

 

SFÄRYTAN GENOM FÖRSKJUTNINGSSATSEN

KONENS BASYTA FÖRENAR SFÄREN MED CYLINDERN GENOM FÖRSKJUTNINGSSATSEN

OCH DEFINIERAR SAMTIDIGT SFÄRENS VOLYM FRÅN CYLINDERNS VOLYM

 

Ytterligare »enkla klassiska sätt» att härleda sfärytan visas i följande genomgång — där samtidigt sambandet för sfärens volym överraskande kommer fram som bonus från sfärytans samband.

beskrivning

 

 

KUBEN har sex sidor i tre motsatta par; Volymen är bredden (x) gånger höjden (y) gånger djupet (z), alla samma (b) enligt

V           = xyz = b3         ; kubens volym

Var och en av de sex sidorna bildar en pyramid med volymen

V           = b3/6                ; kubpyramidens volym

Pyramidhöjden (h) kan skrivas som b/2 vilket med basytan b2 ger

             = b2·2h/6

             = b2h/3

             = Ah/3               ; pyramidens volym

 

 

 

 

Oavsett positionen för basytan b i triangeln med höjden h bevaras en och samma triangelyta A=bh/2. Se beviset i FÖRSKJUTNINGSSATSEN om ej redan bekant.

— Eftersom b tydligen DELS är förmögen att gömma basytor av godtycklig form, och att b DELS via förskjutningssatsen också kan vara fragmenterad eller utspridd på godtyckliga ställen med godtycklig uppdelning, och därmed i omvänd mening också sammansatt på basytor av godtycklig form, fortfarande med giltigheten i förskjutningssatsen, är det tydligt att det helt enkla sambandet för pyramidens volym kan återföras direkt på förskjutningssatsen via basytan som en allmän form för konens volym enligt

 

V           = Ah/3               ; konens volym

 

— Konens basyta kan tydligen ha vilken som helt godtyckliga plana figurform.

Vi studerar hur detta resultat leder fram till sfärytan och sfärvolymen och deras samhörighet med cylindern.

 

 

 

SFÄRYTAN och CYLINDERYTAN,

SFÄRVOLYMEN och CYLINDERVOLYMEN

 

Med konvolymens klassiska innebörd klarlagd, framträder elementarytorna på än vidare (mera avancerade) enkla klassiskt logiska sätt. Konvolymens klarläggande leder dels vidare till ytterligare sätt för sfärytans härledning och dels till sfärens volym som därmed framträder som kanske den klassiska logikens allra enklaste härledning för just sfärvolymens del — retoriskt såväl som algebraiskt. Vi studerar hur.

 

 

 

 

Med sfärytans minsta möjliga LIKFORMIGA plana principalform genom uppdelning i ett obegränsat antal delytor

DA(SPH)           = A(SPH)/(n®¥)

lika med cylinderytans minsta möjliga LIKFORMIGA plana principalform genom samma typuppdelning i ett obegränsat antal delytor

DA(CYL)           = A(CYL)/(n®¥)

ges tydligen sfärens koniska principalvolym enligt

DV(SPH)           = DA(SPH)h/3

och cylinderns koniska principalvolym enligt

DV(CYL)           = DA(CYL)h/3

;

— Med principiellt likadana principalkonbasytor för DA(CYL) och DA(SPH) kan därmed, tydligen, sfärytan överföras identiskt på den omskrivna cylinderytan genom förskjutningssatsen enligt

Sfärytan

DA(SPH)h/3      = DA(CYL)h/3 ;

A(SPH)             = A(CYL)         ; sfärytan är identisk med omskrivna cylinderytan genom förskjutningssatsen

4pr2                   = 2pr·2r;           ; sfärytan och cylinderytan

Bonus: Sfärens Volym

— Därmed framgår också att

sfärens volym är cylinderns volym minus de bägge kompakta ändkonerna

 

 

enligt

V(SPH)             = 2r(pr2) – 2[V(CON)]

                          = 2r(pr2) – 2[(pr2r/3]

                          = 2rpr2 – 2pr2r/3

                          = 2pr3 – 2pr3/3

                          = 6pr3/3 – 2pr3/3

                          = 4pr3/3            ; sfärens volym

 

 

 

 

SFÄRVOLYMERNA I SAMMANSTÄLLNING

 

Fingranskning av projektionstriangeln för sfären mot omskrivna cylindern gör att man ur de ovan beskrivna detaljerna också kan härleda

volymen för sfäriska zonen [p(r2x – x3/3)],

volymen för sfäriska sektorn [2pr2h/3] och

volymen för sfäriska kalotten eller segmentet [ph2(r–h/3)] [h anger kalotthöjden].

 

 

 

 

Integrala exempel

 

 

SFÄREN OCH KONEN GENOM INTEGRALKALKYLEN

Artiklarna nedan beskriver hur sfärvolymen, sfärytan, konvolymen och konytan kan hanteras i integralkalkylen.

För den om är obekant med integralkalkylens grunder, se utförligt från ATOMTRIANGELN och NOLLFORMSALGEBRAN.

 

 

 

SFÄRVOLYMEN VIA INTEGRALKALKYLEN

 

 

 

Sfärens volym via integralkalkylen

 

 

Sfärens differentialvolym dV kan skrivas som vertikalcirkelns yta, py2, multiplicerat med positionen dx för x-värdet (skivans tjocklek).

y avtar från ymax= r till 0 vid x=r.

— Ekvationen för y är ekvationen för den storcirkel vi ser (rakt framifrån) av sfären enligt  y=Ör2–x2.

— Vi får alltså differentialekvationen

 

             dV        = py2 dx

                          = p(r2–x2) dx ; 

Integralen ger

             V          = p ò (r2–x2) dx = p (r2 ò dx – ò x2 dx)

 

Vi ser att bägge integralerna i HL kan återföras på exponentialintegralen

ò (P)Dn(P) dx = (P)n+1/(n+1)  .......................    exponentialintegralen

(från omvändningen av exponentialderivatan).

— Således den integrala lösningen

                                 a

             V          = p [r2x – x3/3]

                                 b

Vi ser också att denna integral är av bestämd (definit) typ (Se Bestämda och Obestämda integraler). Den är alltså direkt beräkningsbar från noll utan vidare.

— Vi går enklaste vägen och väljer att tillämpa integralen i intervallet från origo fram till x=r. Detta ger volymen för halva klotet. Vi multiplicerar sedan resultatet med 2.

 

             V          = p [r2r – r3/3]

                          = pr3[11/3]

                          = 2pr3/3

 

Totala sfärvolymen blir alltså med denna lösning

 

             V          = 4pr3/3  ...........................................     sfärens volym

 

Och som vi ser är detta alldeles samma resultat som i föregående utvecklingar.

Se även Sfärytan via Integralkalkylen.

 

 

 

 

SFÄRYTAN GENOM INTEGRALKALKYLEN

 

Nedan följer till jämförelse sfärytan från integralkalkylen.

 

 

Sfärens yta via integralkalkylen

 

I integralkalkylen finner vi samma resultat. Vi sätter s som del av storcirkelns båglängd. Sfärens differentialyta dA kan då skrivas som omkretsen hos den variabla vertikalcirkeln, 2py, multiplicerat med båglängdens differential ds. Den variabla radien y har vi i PREFIXxSIN genom

             y = r · sina

där r är sfärradien. a betecknar här vinkeln i radianer med vinkelnollan i y-axeln. a växer alltså från noll då x gör det. Radianvinkeln a är den inneslutna bågdelen s dividerat med r så att vi får a=s/r. Men för att kunna integrera på a måste vi först genomföra en differentialtransformation. Vi får denna enligt

             da/ds = Dn a  = Dn s/r = 1/r ;  ds = r da.

Vi insätter detta i differentialekvationen dA = 2py ds tillsammans med y-formen ovan och får då

             dA = 2p · r · sina · r da ; integrationen ger

             A = 2pr2 ò sin a da = 2pr2[cos a]

 

Nu är cosa = x/r i den utvalda del som integrationens intervall avser (bågen s). Detta ger oss

             A = 2pr2[x/r] = 2pr[x]

Denna integralform är bestämd direkt eftersom den ger 0 om x är noll. Med x=r får vi halva sfärytan. Totala sfärytan blir alltså dubbla denna. Därmed

 

             A          = 4pr2  .............................         sfärytan, omskrivna cylinderytan

 

Och som vi ser är detta alldeles samma resultat som i föregående utvecklingar.

 

 

 

KONEN GENOM INTEGRALKALKYLEN

 

 

Konens volym genom integralkalkylen

R/h       = k = y/x                                                 ;

y           = kx                                                        ;

dV         = A dx = py2 dx = p(kx)2 dx = pk2x2 dx ;

V           = pk2 ò x2 dx                                           ; integration genom exponentialintegralen ger

             = pk2 x3/3                                               ; direkt bestämd integral,

x från 0 till h ger med insättningen av R/h för k resultatet

             = pR2/h2 h3/3

             = pR2 h/3  ..........................................    ; konens volym

             = Ah/3

vilket vi ser är samma resultat som i den enkla klassiska härledningen till konens volym.

 

Konens yta genom integralkalkylen

I DET FATALA CYLINDERFELET visas hur man genom en felaktig förmodan (genom [multipla] dubbelfel) ändå hamnar i rätt slutresultat. Tillämpas samma cylinderfel på konen ges emellertid direkt ett felaktigt resultat (vidare i slutet). Det är enkelt att förbise det kritiska differentialvalet — som lekman är det lätt att använda cylindrar som percept för allt möjligt, men det är inte alltid samma som det klokaste valet. Korrekt sätt är i konytans fall att relatera konmantelytans differential till hyposidan (s), inte till utsträckningen utmed x-axeln.

— Man får

R/(s)     = k = y/s                                                 ;

y           = ks                                                        ;

dA         = P ds = 2py ds = 2pk s ds                    ;

V           = 2pk ò s ds                                            ; integration genom exponentialintegralen ger

             = 2pk s2/2                                               ; direkt bestämd integral

             = pk s2

s från 0 till hela mantelsidan (s) ger med insättningen av R/(s) för k resultatet

             = pR/(s) (s)2

             = pR(s) ................................................. ; konens mantelyta

             = pRÖ R2+h2

vilket vi ser är samma resultat som i den enkla klassiska härledningen till konens yta.

OM vi här, felaktigt hade satt mantelytans differential till dA=Pdx skulle slutresultatet med y=kx ha blivit det felaktiga V=pRh.

 

 

Cylinderfelet

 

HUR EN FELAKTIG ANSATS FÖR SFÄRYTANS HÄRLEDNING LEDER TILL ETT KORREKT RESULTAT

DET FATALA CYLINDERFELET

DEN FÖRMODADE SFÄRYTAN GENOM CYLINDRAR

Från M2001_1.wps s53

                                                                                                                                                                                                                  

Ansats (den är felaktig, se vidare nedan):

 

 

Vi sätter

             a           antalet cylindrar plus en

             n           räknare från 1 till a–1

             d           = r/a, varje cylinders bredd

             An         = 2p yn d,  the n:th cylinder-area

             yn         = Ö  r2(nd)2 = Ö  r2(nr/a)2 = r Ö  1(n/a)2

                          radien hos varje individuell cylinder

 

Ytan för den n:te cylindern blir då

             An = 2prd Ö 1(n/a)2 = 2pr2(Ö a2–n2)/a2

 

Summan av alla a–1 cylindrar kan då skrivas via serien

             2prd[ Ö 1(1/a)2 + Ö 1(2/a)2 + Ö 1(3/a)2 + +  Ö 1([a–1]/a)2 ]

 

EN OINITIERAD PERSON kommer (med största sannolikhet) att resonera så (frestad av uppenbarligheten i de första termerna när a är ett stort tal):

— Om a är stort, blir talen 1, 2, 3, 4, … n försumbara jämfört med a och varje rot erhåller då ett värde lika med 1.

Med generatorn (a®¥) som utsäger att a växer obegränsat, vilket betyder att d blir r/(a®¥), kommer vi fram till att

 

             2prd  [  1 + 1 + 1 + ] = 2pr · (r/[a®¥])[ [a®¥] ] = 2pr2

 

(Vi skulle få samma resultat genom att direkt referera seriesumman som a).

(Uppställningen ovan ger via differentialbegreppet i  MÄSTARLOGIKENS HUVUDSATS endast ett resulterande 2p·dr med d=1/¥).

Därmed för hela sfären 2 × 2pr2

 

             ASPH = 4pr2  .........................   ; sfärytan, samma som omskrivna cylinderytan

 

HÄRLEDNINGEN ÄR INTE KORREKT

— även fast svaret är det.

Se SFÄRYTAN GENOM INTEGRALKALKYLEN.

 

— Vad gör vi för fel?

— Rotserien Ö1(n/a)2 är frestande för att låts oss begå det fatala felet:

Det är först och främst absolut uppenbart att ”de första” oräkneliga termerna blir praktiskt taget samma som 1 om a är mycket större än n.

— Vad man (som lekman) DÄREMOT INTE ser (enkelt) är att slutdelen i serien är långt från 1.

 

— Vår förmodan att seriesumman ovan dividerad med a skulle ha en gränsform lika med

1

visar i själva verket en gränsform lika med

0,7853981…

Se tabelluppställningen längre ner i HUR ROTSERIENS SUMMA BERÄKNAS.

 

— Det betyder att hela slutsatsresonemanget ovan är direkt felaktigt.

— Vilket vill säga, seriesummans gränsform är lika med p/4=0,7853981…, inte 1:

— Serien kan inte användas alls överhuvudtaget för det åsyftade ändamålet.

— Eller mera korrekt uttryckt:

 

             ansatsen med cylinderindelningen är fatal i strävan att söka sfärytan

             Vi kan se logiken i det också genom att cylinderbredden i själva verket aldrig har något samröre med sfärens yta

 

Cylindrarna vidrör aldrig sfärytan, som istället ges via kordor (stympade koner).

 

HUR ROTSERIENS SUMMA BERÄKNAS I BORLANDS PASCAL (Delphi)

Summering av rotserien Ö1(n/a)2 över a med växande n utförs i Borlands Pascal som följer (R real, A&M longint, Code integer, S string):

 

  Val(Edit1.Text,A,Code); R:= 0;

  for N:= 1 to A-1 do

  begin

   R:= R + Sqrt(1-Sqr(N/A));

  end;

  R:= R/A; S:= FloatToStr(R); ClipBoard.AsText:= S;

 

Värdet på a tas från en EditBox (kopplat till t.ex. FormClick). Efter avslutad summerande for-loop, divideras resultatet med a och transformeras sedan för presentation. Här skickas resultatet till Urklipp och kan sedan importeras (hit) till Ordbehandlingsprogrammet eller Anteckningar med det enkla Ctrl+V.

 

Den följande tabellen visar resultaten med olika a-värden till jämförelse:

 

a           summan/a (direkt från Urklipp)

5           0,659262207220308

101        0,726129581561509

102        0,780104257944913

103        0,784888866729489

104        0,78534786939781

105        0,785393154196754

106        0,785397663385993

p/4 =     0,7853981

 

 

Borlands Pascal DELPHI

 

 

Borlands Pascal

DATORVÄRLDENS I SÄRKLASS MEST REVOLUTIONERANDE ProgramProgram — det är ett masterprogram som kan användas för att skapa Dator(Windows)Program — visade sig med lanseringen av Borlands DELPHI 1 (1995). Det kom som en (befriande) våg som sköljde över hela planeten.

   Mot senare delen av 1990-talet gavs DELPHI 1 (versionen baserad på 16 bitars CPU) ut gratis av (flera) datortidningar (PC&Mac 4/97), totalt med hela den omfattande DelphiHjälpen — inkluderat utförliga referenser till Windows API (Windows Application Programming Interface) — samt några år senare (PC FÖR ALLA 5-2000) även DELPHI 4 (versionen baserad på 32 bitars CPU). Med den förlösande utgåvan kunde man plötsligt skriva egna, ytterst stabila, Windowsprogram med rasande finess och enkelhet (och många kom också att utveckla sina grundläggande datorprogrammeringskunskaper på den vägen).

 

Dessa (gratis) äldre (utgångna) versioner av Delphi är så mycket mer anmärkningsvärda eftersom de innefattar Borlands Assembler; Därmed ligger vägen öppen för den som vill att göra i stort sett allt som kan göras på en dator (med assemblersprålets detaljer innefattat vilket i princip bara betyder att man använder den gamla DOS-skolans Assemblerlitteratur, se exv. USING ASSEMBLY LANGUAGE 3rd Edition, Allen L. Wyatt, QUE 1995). Kort sagt: i Delphi 1/4 finns allt man behöver för att utveckla precis vad som helst som alls KAN utvecklas på en dator, dessutom med maximal (via assemblerdelen, en garanterad) snabbhet.

 

Vilka VERKLIGT ANVÄNDBARA ELEMENTÄRA DATORORIENTERADE utvecklingsverktyg erbjuds GRATIS på Webben idag?

 

Efter en kort genomgång på webben (Maj 2009) visar sig emellertid en deprimerande resultatlista — för den som vill testa olika motsvarande masterprogram:

DELPHI med Borlands Pascal och Turbo Assembler: Delphi 1/4 finns (här veterligt) INTE längre att få tag på i någon gratisversion;

(Q)BASIC med Visual Basic (och liknande): Flera (många) (Visual) Basic-versioner finns GRATIS på webben idag (Maj 2009) — men det är inte lätt att få veta om ens avgörande funktioner finns med; EXEMPEL: Jämför t.ex. Microsoft Corporation med Office 2000; Där finns visserligen Visual Basic version 6 (VB6) med — men kommandohjälpen är så dålig, och dokumentationen så utspridd att det inte ens går att få fram det tidigare QBasic-kommandot för att rita ut bildpixels (PSET): PSET-kommandot finns inte i repertoaren, omnämns inte i hjälpen — men PSET-funktionen omnämns på webben i olika diskussionsforum där VB6 diskuteras. VAR finns alltså PSET i VB6?

— En nybörjare som (t.ex.) kommer över VB6 via Office 2000 — mitt exempel — har ALLTSÅ inte ens en rimlig chans att komma någonvart i en enkel elementär datorbaserad bildkunskap. Hur (då) andra personer kan påstå att (t.ex.) PSET skulle finnas på deras versioner, är här helt okänt; Det indikerar bara ett (mycket) depraverat allmäntillstånd.

 

Övriga programKompilerande program: Att (t.ex.) försöka få fatt på ett GRATIS C++-kompilerande masterprogram som garanterat INTE försöker pracka på ”nybörjaren” runt 50 olika demoVideos på 20 minuter vardera (med i vissa fall så grovt amerikaniserade dialekter hos inspicienten att det stundtals är svårt att höra vad som sägs) och som slutar med att nybörjaren lärt sig att skriva ut ”Hello World” på bildskärmen, eller LÄGGA BESLAG PÅ ALLT MÖJLIGT PÅ MITT SKRIVBORD OCH INFÖRA ÄNDRINGAR JAG INTE VILL HA, verkar vara en direkt omöjlighet (Maj 2009). Med den hastigheten gäller typ nästa istid innan vi kommer fram till motsvarande för PSET: elementär datorstödd bildbehandling. DELPHI skulle klara saken (lätt som en plätt, dessutom), men den programformen tillsammans med den omfattande Windows API-dokumentationen finns som sagt inte längre tillgänglig — i någon gratis upplaga. Fullversioner av Delphi är f.ö. definitivt inte billiga; från 400 till 4000 dollar (Maj 2009) — och då vet vi (här) inte vad de innehåller (om språket ens är begripligt för en nybörjare).

   En sak att lägga märke till (som allmän referens): Ännu 2009 finns inte en enda webbläsare som klarar av att visa original från en traditionell ordbehandlare utan att förvanska den typografiska metriken, på ett eller annat sätt (Se exempel från Webbtest) — trots (extremt) dyra utvecklingsprogram, från Borland och andra.

 

 

 

ARKIMEDES LÖSNING

 

SFÄRENS YTA OCH VOLYM — grundform

ARKIMEDES LÖSNING

Se även föregående i SAMHÖRIGHETEN MELLAN SFÄR OCH CYLINDER

 

Föregående beskrivningar av hur samhörigheten mellan sfären och dess omskrivna cylinder kan förstås, har en mera elegant allmän matematisk lösning känd som ARKIMEDES LÖSNING;

Lösningen som gavs av Arkimedes (Grekisk matematiker och filosof, 287-212 f.Kr., @INTERNET Wikipedia Arkimedes 2009-04-30) omtalas bl.a. i webbkällan

[http://www.maths.lth.se/query/answers/q200410.html#20041007095326] 2004, 2009-04-30,

LUNDS UNIVERSITET — Fråga Lund om matematik, Frågor och svar oktober 2004.

En gymnasielärare vill veta råd för sina elever i någon ’enkel härledning’ till sfärens volym …

 

Arkimedes lösning bygger helt enkelt på iakttagelsen att samhörigheten sfär-cylinder-kon i själva verket automatiskt innefattas i Pythagoras sats: ett snitt genom sfären-cylindern med den symmetriskt delade konkroppen innefattad (ljusa triangeln i figuren nedan) visar att cirkelytan, sfärens kalottcirkel [px2], och konens avgränsande ringyta [p(r2 – y2)] i själva verket är identiska ytor via Pythagoras sats x2 = r2 – y2 enligt

 

A(CRLSPH) = px2  = p(r2 – y2) = A(RINCON)

;

Dubbelkonen (endast halva utritad nederst) i mitten på kroppen sfär-cylinder, figuren nedan, överför y-snittvärdet symmetriskt på x-axeln så att konringens yta blir identisk med sfärkalottens snittcirkelyta via Pythagoras sats.

 

 

— Genom att ytorna är identiska (de snedstrecksmarkerade delarna i ovanstående figur) och därmed den urholkade konkroppens snittyta tydligen kan överföras identiskt på sfärkalottens snittyta — och därmed dess variation från noll till max — är det tydligt att också volymerna blir identiska.

— Därmed bevisade Arkimedes samhörigheten mellan sfären och dess omskrivna cylinder med den inskrivna dubbelkonen. Se Sfärens Volym FRÅN konvolymen och cylindern.

— TYVÄRR finns inte denna (gamla klassiskt eleganta) elementära geometri beskriven i någon översvallande allmän litteratur: exemplet ovan från Lund visar i stort sett att ämnets kännedom är ett område förbehållet fåtalet.

   Editor2009IV30

 

 

 

 

 

Elementarytorna

 

innehåll: SÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F ·

 

 

Elementarytorna

ämnesrubriker

 

                                     

 

 

innehåll

              ELEMENTARYTORNA I MATEMATIKEN

 

                                                         Sfärens Yta Och Sfärens Volym i enkla klassiska härledningar

 

                                                         Alla härledningar — tabell

 

 

                       Förskjutningssatsen

 

                                                         Tillämpning

 

                                                         Konens volym

 

                                                         Cylinderns volym

 

                                                         Sfärens volym

 

                                                         Sfärens yta

 

                       Elementarytorna

 

                                                         Genomgång av den enkla, klassiska geometrins ytbegrepp

 

                                                         Cirkeln

 

                                                         Konen

 

                                                         Konytan

 

                                                                            Tyngdlinjen

 

                                                                            Tyngdpunktssatsen

 

                                                                            Cirkelbågens tyngdpunkt

 

                                                                                               Sfärens yta

 

                                                                            Tyngdpunkten för halvcirkeln

 

                       Sfärytan och Cylinderytan

 

                                                         Perceptiv analys

 

                                                         Sfärytan

 

                       Sfärytan genom förskjutningssatsen

 

                                                         Beskrivning

 

                                                         Sfärytan

 

                                                         Sfärens volym

 

                                                         Sfärvolymerna i sammanställning

 

                       Integrala exempel

 

                                                         SFÄRVOLYMEN VIA INTEGRALKALKYLEN

 

                                                         SFÄRYTAN GENOM INTEGRALKALKYLEN

 

                                                         KONEN GENOM INTEGRALKALKYLEN

 

                       DET FATALA CYLINDERFELET

 

                                                         DEN FÖRMODADE SFÄRYTAN GENOM CYLINDRAR

 

                                                                            Delphi

 

                                                                            Borlands Pascal

 

                       Delphi

 

                                                         Borlands Pascal

 

                       Arkimedes lösning

 

                                                         SFÄRENS YTA OCH VOLYM — grundform

 

referenser

 

Senast uppdaterade version: 2011-10-10

*END.

Stavningskontrollerat 2009-05-26.

 

rester

*

åter till portalsidan   ·   portalsidan är www.UniversumsHistoria.se 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PNG-justerad 2011-10-10

åter till portalsidan   ·   portalsidan är www.UniversumsHistoria.se