CHEOPS
REKTANGEL IIIbA1 ¦ TYNGDCIRKELN | 2018XII24 | a production
| Senast uppdaterade version: 2019-08-19
|| ·
innehåll · webbSÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i SAKREGISTER · förteckning alla webbsidor · JordSyret · CHEOPS REKTANGEL I ¦ II ¦ III
I Fortsättning från Från |
Nov2018-Jan2019: INTEGRALREFERENSER ¦ Si1 — Första Systemintegralen ¦ Si1-Exemplen
Bakgrund
i sammanfattning med länkar — Sep2018-Feb2019 ¦ CheopsRektangelns
CirkelEllipsPerspektivBevis — etablerat okänt
Tyngdcirkeln: STATISKA
TYNGDCIRKELNS HÄRLEDNING
TYNGDCIRKLARNAS FYSIK I MODERN AKADEMI
TYNGDCIRKLARNAS INTEGRALA MATEMATIK
HUR MODERN AKADEMI FÖRSTÅR ÄMNETS NATUR. Vi studerar det. Noga.
• Genombrott i
Solsystemets detaljerade förklaring i Vintergatan — impulsmomentets matematik
förklarar
• Gyrofysiken får en
heltäckande utförlig förklaring — stundtals rena villervallan i MAC
• Tyngdcirkelns
matematiska fysik klarläggs ingående — MAC missar förklaringen
Länkade rubriker:
Speciella avsnitt i
matematiken framträder som förtydligar och klargör elementära kopplingar till
fysiken: Hur och varför matematiken visar sig som den gör. Ett centralt Exempel
visas här i inledningen till EXEMPLEN: Varför den moderna
akademins lärosystem har så svårt att verkligen FÖRKLARA för naturbarnen varför
och hur saker och ting fungerar som de gör i matematikens underbara värld.
STATISKA TYNGDCIRKELN — HÄR GENOMGÅENDE ANVÄND BETECKNING FÖR TYNGDRADIE: r, ”ru”
Elementära
fysikbegrepp i Universums Historia
—————————————————————————————————————————————————————————
TYNGDCIRKELN R
= R/√2 ¦ R¦r, ”ru”,
eng. »ArEYOu».
Detaljer vi bör känna till: Matematiken från början med FORMLAGARNA och NOLLFORMSALGEBRAN med elementära INTEGRALA EXEMPEL
STATISKA TYNGDCIRKELN FRÅN STATISKA MOMENTET M = Fr:
—————————————————————————————————————————————————————————
r = √ (R2
+ r2)/2:
Reella fysiska motståndet mot
rotation:
M = Fr roterande ¦
polära ringens vridmotstånd
KRAFTEN ÖVER VÄGEN — tiden för att accelerera upp m-ringen med given kraft F:
—————————————————————————————————————————
a = v/t ; t = v/a = (2πr/t)/a = r(2πf )/a = r(2πf )/(a=F/m) = mr(2πf )/F ¦ f = Hz, antal varv/S
——————————————————————————————————————
Jmfr. konv.: ”tröghetsmoment” — se BETECKNINGAR:
——————————————————————————————————————
Ĵ = mr2 ¦ M = Fr ¦ M/Ĵ = mar/mr2 = a/r = α ¦ t = ω/α = (2π·RPM/60)/(M/Ĵ) = r(2πf )/a
—————————————————————————————————————————
Jämför WikipediaCitatet
Ämnets elementära klargörande har tydligen undgått
den moderna akademins skarpsinnen.
MODERN AKADEMI FÖRSTÅR UPPENBARLIGEN INTE kan inte relatera och klargöra ÄMNET — om inget främsta synligt litterärt har missats.
— Notera det för undvikande av alla möjliga missförstånd: Det är ALDRIG fel på matematiken. NoWay. Problemet är att fattningen på naturinnehållet 1800+ har ockuperats av typen ”människan har skapat matematiken” = Automatiska Merit&Betygssystem = garanterat noll utrymme för NaturStudium = fängelse:
— Omfattande miljömord. — »Städpersonal sökes», förefaller det som att Naturen vill uttrycka saken.
ÄMNET GÄLLER uppenbarligen INTE — ej, icke, neh, Nej, NEJ, Nopp, osv. — r2-integreringar eller dito summeringar — de etablerade textböckernas manualer till trots — vänta bara ska du få se;
INTE Ĵ = mr2. Utan istället mr — Via M = Fr = mar:
— Kraften F över radien r — energierna i momenten M=Fr med deras momentarmar (r). Inte r-kvadraterna.
Vi studerar det — se särskilt beviset genom WikipediaCitatet.
STATISKA MOMENTETS REDAN ETABLERADE NOMENKLATUR
BEVISEXEMPEL — det allra enklaste med anknytning till redan väl kända applikationer under minst 100 år:
— Vi
skiljer här på beteckningarna M (fetstil,
Statiska Momentet) = Fr och M (meterEnhetsbeteckningen) och låter resten
förklaras av sammanhanget.
— En jämntjock PLÅT har massan per ytenhet 1KG/M2. Dess kantform begränsas av kurvan y=f (x) och vertikallinjerna x=a (minsta) och x=b (största), samt horisontlinjen y=0.
— Bestäm plåtens statiska moment M med avseende på y-axeln. Använd standard MKSA-enheter.
Lösning:
Φ = F/x¦y¦z ; allmän beteckning för Kraftfaktorns
olika dimensionsreferenser
för integrallösningar
Φ = F/xy = F/A = ma/M2 ;
Φ = F/A ;
F = ΦA ;
dF = Φ dA = Φ · y · dx ;
MY = Fx ;
dMY = dFx = Φ · y · dx · x ;
dMY = Φ · xy · dx ;
Vi sätter y=f (x) = konstant k=1M :
dMY = Φ · x · 1M · dx ;
Plåtlösningen —
x=a¦b:
— Insättningsgränserna b→a
från största till minsta: största=b minsta=a:
MY = ΦM · b→ax dx ; [EXP7] direkt bestämd integral via M=0 om x=0:
= ΦM · (b2 –
a2)/ 2 ; Φ = (N=KG·M/S2)/M2
= KP/M2 ; 1KP=1KG·9,81M/S2 ;
= ΦM · (25 – 16 = 9)/2
= ΦM · 4,5 M2 = 4,5
NM
Ringlösningen
— x=R¦r; b=R, a:=–a=–r:
— Insättningsgränserna b→a från största till minsta: största=b minsta=–a:
MY = ΦM · b→–ax dx ; Integralens lösning [EXP7]
= ΦM · (b2 +
a2)/ 2 = Fr ;
NM = NM/r2 ...
1 = 1/r2 ...
r2 = (52 + 42 =
41)/
2 ;
STATISKA MOMENTETS planringens
tyngdcirkelradie
r =
√ (R2 + r2)/2
= 4,52
769 25 69 M ; STATISKA
TYNGDCIRKELN vidare
nedan.
Saken gäller — tydligen som det får förstås — ett DISTANSMOMENT:
— Kraften öven vägen: F över (gånger) r. Inget annat. Motståndet mot Det: Fr. Inget annat.
— Rotationscirkeln som samlar/definierar hela kroppsformens ROTERANDE massekvivalent.
»PLÅTSEKTIONEN» ovan i figuren — symmetriskt omkring
y-axeln som rotationsaxel — beskriver i vilket fall EXAKT SAMMA diametralt
jämviktande TVÄRSNITTSMOMENT GENOM EN RING MED innerYTTERradierna ab
— MASSOBEROENDE.
— What’sUp, ”tröghetsmomentet mr2”? Här finns inget ”mr2 måste summeras/integreras”. r. Inte r2.
MY = ΦM · R→–rr dr ;
Nämligen så: I moderna kvarter GENERALISERAR man behandlingssättet genom
(FM-källan i citatet nedan använder J, här används j-flexet)
vridmoment M = Fr = m(a=w2/r=[2πr/t]2/r=rω’)r = mr2ω’ = Ĵω’
SEDAN integrerar MAN genom kraftfaktorn (Φ) med mr2 som leder till en integrand r3 dr som ger lösningen r4/4 — VAREFTER man GÅR TILLBAKA TILL kraftfaktorn (Φ) och LÖSER TILLBAKA GENERALISERINGEN med resultat i ett r2. Jätteintressant.
— Jag har det: Varför inte, istället, ta fram en kortlek, dela ut korten, och spela poker, istället, med matteeleverna?
— Rent matematiskt-integralt FÅS
EXAKTA SAMMA SLUTRESULTAT. Exakt. Men förklaringen via generaliseringen blir
helt galen:
” .. blir definitionsekvationen
J = ∫ r2 dm
Summeringen måste utföras med en integral eftersom antalet masselement är oändligt.”,
” Storheten mr2 måste därför motsvara den tröga massan m i ekvation (16) [F=ma];
den måste vara ett mått på det motstånd partikeln gör då vridmomentet sätter den i rotation. Denna storhet kallas partikelns tröghetsmoment med avseende på den givna rotationsaxeln.”,
— Masströgheten är och förblir det RENA m:et: Kraften (F) över vägen (r). Bevisbart i detalj.
STATISKA TYNGDCIRKELNS ENKLA GRUND bevisar det också vidare. Se WikiCit särskilt jämförande citat från Wikipedia: vi jämför ekvationssätten och bevisar sammanhanget i detalj.
Modern akademi kan — heller — inte hantera differential, derivata och integralkalkylen. Se utförligt med exempel och jämförelser i NOLLFORMSALGEBRAN om ej redan bekant.
Ovan motsvarande klargörande i etablerade kvarter har eftersökts men ännu inte påträffats, Dec2018.
Genomgången visar att den etablerade synen på saken, milt sagt, lämnar en del övrigt att önska: Folket i moderna korridorer har uppenbarligen INTE förstått grunden till konceptet — med största sannolikhet beroende på det hängivna moderna akademiska beundrandet för den moderna akademins egenhändigt ihopsnickrade s.k. vektorkalkyl[‡]. Den, som vi ockå i andra sammanhang har sett vränger det mesta av DJUPFÖRKLARINGARNA. Ungefär som C-språket i datorsammanhang i förhållande till Assembler: C-programmering kan INTE specificera logiken i atomistisk detalj, medan Assembler — direkt CPU-kommunikation med HEX-kod — gör det med enorm pace. Varför då C, alls? Därför att SLARVPELLARNA inte gillar — blir överkörda av — NOGA. ”Assembler är jobbigt” = ”NOGA är besvärligt”.
Absolut gärna rätta om fel.
EXEMPEL: magnetismen ¦ induktionen ¦ centralrörelsen.
Se vidare med integrala exempel i RingenStångenSfärenKonen.
GRUNDREFERENSER TILL GYROFYSIKENS
ELEMENTÄRA MATEMATIK — enligt relaterad fysik och matematik i Universums
Historia
BETECKNINGAR MED INTEGRALA EXEMPEL
JÄMFÖRANDE FRAMSTÄLLNING
BETECKNINGAR I RELATERAD FYSIK (TNED)
associativa beteckningar om möjligt
KONTRA ETABLERAD LITTERATUR (Wikipedia Dec2018, List of physical quantities ¦ physical constants)
NEDANSTÅENDE TABELLERADE BETECKNINGAR ANVÄNDS
INTE GENOMGÅENDE — OLIKA KÄLLOR ANVÄNDER OLIKA.
——————————————————————————————————————
storhet beteckning enhet
————————— ————— —————
omloppshastighet w M/S ¦ 1/t = f , Hz
= 2πr/t = ωr
vinkelrotation ω 2piVarvtalet¦1Hz=2πrad/S
= 2π/t = 2πf
acceleration a M/S2 ¦ α
= a/r = ω’
=
dw/dt =
r(dω/dt) = rω’ ¦ rad/S2 ¦ = w/t
= 2πr/t2 = (2π/t2)r
= α · r
Boltzmanns konstant b J/°K
impuls [impetus] p NS
= mv = Ft
rörelsemängd, linjemoment, eng., (linear) momentum.
impulsmoment J ¦ konv. L JS
= mvr = mr2ω = Ĵω
rörelsemängdsmoment, vinkelmoment, eng., angular momentum.
konv. tröghetsmoment I ¦ J M2KG
= mr2
konv. eng., inertial momentum, moment of inertia, rotational inertia,
angular mass
integralmoment Ĵ M2KG
¦ Ĵ j-flex
j-flex ingår explicit inte i den moderna akademins
vokabulär
dĴ = dm r2 — kräver differentialtransformation för lösning till fysikens olika problemområden:
Relaterat: KROPPARS
ROTATIONSTRÖGHET: Egentliga fysiska tröghetsmomentet är vridmomentet M:
MEN
GENOM ATT ETT massoberoende INTEGRALMOMENT SAMMANFÖR STATISK OCH
DYNAMISK
via
praktiskt fysikaliska massformer — Konv. J, här j-flex Ĵ — som blir en
allmän bekväm matematiskt integral metod för praktiskt taget samtliga fall —
har begreppet (sv.) tröghetsmoment (OEGENTLIGT) etablerats som »kroppars
rotationströghet» — ehuru kropparnas rotationströghet entydigt emellertid
definieras av M=Fr:
vridmoment M NM
=Fr = mar = mr2ω’ = Ĵω’
statiskt moment, hävstångsmoment, eng., torque, enhet samma som Joule J
SE
VIDARE UTFÖRLIG GENOMGÅNG VIA WIKIPEDIACITATET. Utförliga Exempel följer.
energi E Joule
= mw2/2 = (1/2) · mr2ω2 = Ĵω2/2
induktans L VS/A, Henry
= Rt
luminositet ¦ effekt P ¦ konv.L ¦ Watt
——————————————————————————————————————
röelsemängdsmoment J = Ĵω = mvr, JS
vridmoment M = Ĵω’ = Fr, J
rörelseenergi E = Ĵω2/2 = mw2/2, J
——————————————————————————————————————
Ĵ = mr2 ¦ M = Fr ¦ M/Ĵ = mar/mr2 = a/r = α ¦ t = ω/α = (2π·RPM/60)/(M/Ĵ) = r(2πf )/a
—————————————————————————————————————————
Enheter (internationalMKSA ¦ 1961+):
—————————————————————————————————————————
J Joule ¦ N Newton ¦ M Meter ¦ S Sekund ¦ KG KiloGram ¦ A Ampere ¦
SÄRSKILD BETECKNING Ĵ I TNED FÖR TRÖGHETSMOMENT M2KG från J=mvr: SAMBAND:
E = Fd = J/t = mvr/t
;
vridmoment, statiskt moment
v/r = a = å = w2/r = ω2r ; ω, vinkelfrekvens omega
E = Fd = J/t = mvr/t = ω2mr2 = ω2Ĵ = Jf ; Ĵ: j-flex:
Ĵ = mr2
= J f ω–2 = Fd/ω2 ; tröghetsmoment
Ĵω¦ω’¦ω²
innefattar
STATISKA MOMENT tyngdlinjer, tyngdytor,
tyngdcirklar,
yttröghetsmoment (»hängstyvhet» för typ balkar, stora fartygsplåtar, etc.):
Ĵ
förekommer enbart med vinkelfrekvens ω
i olika sammanhang enbart med
2piFrekvenser = NÅGON vridande rörelse,
hur än liten vinkelfrekvens, ω med avseende på typ xyz-axlar (axiella eller polära tröghetsmoment).
—————————————————————————————————————————
w = 2πr/t
= 2πrf = 2πf r = ωr ; w2/r = ω2r
; w rotationshastighet M/S ; ω vinkelfrekvens = 2pi-varvtalet
m0ad = mvr/t
= ω2mr2 ;
(m0/m)ad = ω2r2 ; vinkelfrekvensen:
ω = (1/r)√ (m0/m)ad = 2πf ; f = ω/2π, Hz antal varv per sekund
tyngdcirklar eng. Radius of Gyration r här ”ru” — Kraften F över radien r:
r = rotationsmassans tyngdcirkelradie — tyngdcirkeln; M statisktMoment = Fd ;
:
F/r = Fr/r2 = M/A = M/r2 = Φ, grek. Fi associativt vald beteckning — Φ = F/x¦y¦z kraftfaktorn:
F/r = Φ ;
M = Fr ;
dM = d(Fr) = dF · r ;
dM = dF · r ;
F = Φr ;
dF = d(Φr) = Φ ·(dr=dr) ;
dF
= Φ · dr ;
dM = Φ · dr · r ;
dM = Φ r dr ; statiska momentets ENDIMENSIONELLA differentialekvation : Φ = F/x
TyngdCirkelRadieBegreppet relaterat: ideala geometriska/matematiska orten
för en roterande kropps idealt samlade kropps(mass)form: tyngdcirkeln r »ru».
— Momentarmen r
med pålagd kraft F bestämmer momentenergin M=Fr i kroppens
reaktion på — trögheten mot — rotation.
— Grundformen är cirkelskivans tyngdradie som
delar/definierar skivytan A=piR² i två lika halvor 2pii²=A=piR²: r²
= R²/2; r = R/√2 = R.
— Den roterande cirkelskivan reagerar på rotation som om
hela dess kroppsmassa är koncentrerad i cirkeln med radien R:
M = Fr = mar = m(w/t = 2pir/t² = rω’)r =
mr²ω’ = Ĵω’; Ĵ
= mr² = r²(m/N)N
= m(r²/N)N = (mr²/N)N ≠ m(r1²+r2²+...+rN²).
Notera
etablerade referenser: ytterst svårgenomträngligt ämne i etablerade kvarter.
Här görs ett
försök att bryta isen genom att relatera ENKLA grunder — i jämförande
etablerade utdrag. Vi fortsätter först på ovan inledda led:
Integralmatematikens
sätt för TCR = r:
: Bildoriginal — webbläsarna
kan inte hantera den typen: FÖRENKLAT — integraltecknet i
ArialBlackSize25;
Insättningsgränserna MÅSTE BEAKTAS SÄRSKILT
FÖR TYNGDCIRKLARNAS INTEGRALER — se särskild beskrivning:
M = Φ R→–rr dr ; KONV. statiska
momentets integralform
¦ Φ = (F=ma)/x¦y¦z
dM = (M/r2)
r dr ; r2 =
R2/2 ; dr2 = d(R2/2
) = dr2 = r dr ;
d1 = (1/r2)
r dr ; dr2 = dr2
= r2/∞ = r2/∞ = r
r/∞ = r r/∞ = r dr;
dr2 =
r dr ; STATISKA tyngdcirkelns
differentialekvation
r2 = R→–rr dr ; RINGSUMMAN förklarar insättningsgränserna
r = √ R→–rr dr ; [EXP7] STATISKA tyngdcirkelns integral: [R²—0 — (—r²—0)] = R²+r²
:
= √ (R2 + r2)/ 2 ; R största, r minsta = 0 om hel skiva
utan hål.
INTEGRALEN ÄR DIREKT BERÄKNINGSBAR eftersom r=0 om
R=0.
— Se Bestämda
och Obestämda Integraler om ej redan bekant.
M = Fr ;
F=ma
KAN anges direkt i materialets TYNGD = KiloPond: 1 KP = 1KG × 9,18 M/S² = 9,81 Newton.
= M1 + M2 + M3 + ... + MN
= (Fr)1 + (Fr)2 + (Fr)3 + ... + (Fr)N
= (F√ [R2+r2]/2)1 + (F√ [R2+r2]/2)2 + (F√ [R2+r2]/2)3 + ... + (F√ [R2+r2]/2)N
Noggrant klargörande exempel genomgås i huvudtexten.
KLARGÖRANDEN SAKNAS I ETABLERAD
LITTERATUR
RELATERAD FYSIK — integralmomentet:
INTEGRALA MOMENTET Ĵ — kropparnas
tyngdrelaterade integralmoment
statiska
och dynamisk är inte samma — modern akademi kan inte klargöra naturdomänerna
— Genom att DYNAMISKA tyngdcirkelbegreppet kräver MASSA (m) måste, tvunget, någon massa (F=ma) eller tyngd multipliceras¦associeras med varje STATISKA tyngdcirkel r2 som i ledet närmast ovan: mr2 om vi extraherar den gemensamma tyngdkraftsaccelerationen (a). Den formen — mr2 — blir det generella uttrycket för varje särskild rotationskropps BIDRAG till en total tyngdcirkelradie som sedan erhålls som i ledet ovan; r = M/F. SÅ: faktorformen mr2=Ĵ (j-flex) MetodFORMERAR — inte definierar — samtliga möjliga dynamiska tyngdcirkelradiefalls LÖSNINGAR där varje särskilt fall UTLÖSES enligt
Ĵ
= mr2
; Ĵ/m = r2
; IntegralTCR
r = √ Ĵ/m;
Konventionellt kallas (konv.bet. ofta J) j-flex-faktorn (Ĵ) tröghetsmoment: dynamiska (m) tyngdradiekvadraten:
mr2 = (F/a)r2 = (1/a)Fr · r = (1/a)Mr ; JM · S2/M = JS · S = J/f : impulsmoment mvr per varvtal:
— En
mellanfaktor som representerar en METOD (»integralmomentet») för samtliga falls lösning:
GENERALISERINGEN för samtliga fall betyder att mr2-formen måste uttryckas på en allmän differentialekvation:
dĴ = dmr2
;
Ĵ
= dmr2 ; integralmomentet i relaterad fysik
där integrationskonstanten dm tvunget måste genomgå en differentialtransformation i vart särskilt problemkomplex för att få anpasslighet till aktuella storheter och dimensioner. Därmed kan integralen lösas och DYNAMISKA tyngdradien r bestämmas.
— SÅ: OM vi vill hoppa över alla FORMALITETER och gå direkt PÅ dynamiska målet, bör vi — alltid — koncentrera hemmaartilleriet till att befria dm-formen ur våndorna för r-anpassning, och sedan integrallösa.
Se fullständiga utvecklingsexempel i IntExRTC
med ringens
tyngdcirkel via Jflexets IntegralMoment Ĵ = ∫ dm
r2 — även Sfären och Konen härleds.
STATISKA TYNGDCIRKELN
Enkla
övningsexempel — Grundskolematematikens sätt:
— uppgifterna kan lösas med Grundskolans matematik — med bara litet vind i ryggen:
EXEMPEL 1 — — cirkelskivans tyngdcirkel:
Uppgift:
— Försök TÄNK UT — bestämma »formmitten» — en tyngdcirkelns radie för en cirkelrund masshomogen skiva eller cylinder med radien R. — ANVÄND INTE INTEGRALKALKYLEN. Enbart grundskolans enkla samband är tillåtet här.
Lösning:
— Cirkelradien r som delar cirkelytan A=πR2 i två lika halvor kan skrivas
A = 2(πr2)
= πR2 ; 2r2
= R2 ; r2
= R2/ 2 ; r =
R/√2 = R
SVAR: r = R/√2
— Medelcirkeln med radien r
som delar skivan i de bägge lika cirkulära ythalvorna kan förstås som en
skivans rent geometriska — massoberoende, statisk
— tyngdcirkel i skivtjocklekens mittplan — som om hela skivmaterialet
vore samlat i den ringcirkeln.
EXEMPEL 2 — — cylindriska ringens tyngdcirkel
Uppgift:
— En masshomogen cylindrisk ring med ytterradien R=5 enheter och innerradien r=4 enheter bör ha sin tyngdcirkel r någonstans mellan r¦R. Försök bestämma r.
— INTEGRALKALKYLENS LÖSNING ovan ger oss direkt
r = √ (R2 + r2)/ 2 = √ (25+16)/2 = √ 20,5/2
= 4,527692569 enheter.
SVAR: r = √ 20,5/2 = 4,53 enheter.
— Vi studerar »Grundskolans lösning» alternativt nedan (läs: mycket mera innehållsrik):
CIRKELSKIVANS VILLKORADE MEDELGRÄNSFORM R=R/√2 FÖR VÄXANDE-AVTAGANDE r MOT ORIGO
FRÅGA:
CIRKELSKIVANS VILLKORADE MEDELGRÄNSFORM R=R/√2 FÖR VÄXANDE-AVTAGANDE r MOT ORIGO
— Varför står det ett PLUS i integrallösningen? Normalt sker integrationen (insättningsgränserna) från största till minsta enligt regeln som här skulle vara
[R2 – 0 — (r2 — 0)] = R2 — r2 . Inte plus.
— What’sUp?
FÖRSTA DELSVARET:
— Kolla exemplet: √ (25 — 16)/2 = √ 9/2 = 2,12...
— 2,12 enheter ligger uppenbarligen långt utanför massringen, in mot centrum. Integrationen ska, i så fall, istället tydligen utföras på formen
[R2 – 0 — (–r2 — 0)] = R2 + r2 . Inte minus. Vidare nedan (interna villkor framträder).
ANDRA DELSVARET:
RINGSUMMANS VILLKOR
Tyngdcirklarnas elementära
grunder —
r , ”ru”, understruket r, betecknar tyngdcirkelradien
CIRKELSKIVANS VILLKORADE MEDELGRÄNSFORM R=R/√2:
— Med ett visst antal ringar N¦Rr kan vi först kontrollera hur varje r(N¦Rr) förhåller till en helt fylld cirkelskiva r(R→0) = R=R/√2.
— Om tilläggsringens r i en summering av två ringar — nämligen — ligger UTANFÖR R måste r-summeringen göras omvänt fallet då tilläggsringens r ligger INNANFÖR R:
— Ligger maxRr-ringens r (=No1¦Rr) utanför R, kommer varje tilläggsring innanför No1 att MINSKA r1-värdet:
— r2-värdet
måste i så fall subtraheras från r1-värdet,
så, att resulterande r3 hamnar längre in mot centrum. Omvänt:
— Ligger maxRr-ringens r (=No1¦Rr) — eller ett föregående resultat — innanför R, kommer varje ytterligare tilläggsring innanför No1 att ÖKA PÅ senast erhållna r-värdet för att åter driva det mot R för fylld skiva,:
— r2-värdet
måste i så fall adderas till
senaste r-värdet, så, att resulterande r3 hamnar
närmare R.
Totalt för samtliga fall med summerande Rr-ringar kan alltså följande villkor formuleras:
— Vi använder en SIGNAL faktor (s) med möjliga värden ±1 i association till varje successivt framräknad resulterande statisk tyngdcirkel rN:
— FÖREGÅENDE EN RINGSUMMERING testas sedan varje rN enligt en allmän
VILLKORSFORM för statiska tyngdcirkeln
endast: Från ett största R in mot Origo:
OM r1<R: s1=—1; annars +1; OM r2<R: s2=—1; annars +1; ... : rN=R = helt fylld skiva.
Ringsummeringen görs sedan enhetligt enligt sambandsformen
r¦statiskaTCR = √ [1(R2 + r2)/2 — s12(R2 + r2)/2 — s23(R2 + r2)/2 — ... — sN–1N(R2 + r2)/2 ]
r =
√(r1² – s1r2² – s2r3² – ... – sN–1rN²)
Vi kan kontrollera resultatet genom ett jämförande
exempel med resultaten ovan: Grundskolans Matematik:
r¦R→0 = √ 25/2 = 5/√2 = 3,54... ; R=5
r¦ r→0 = √ 16/2 = 4/√2 = 2,83... ; r= 4
——————————————————————————
r¦R→r ≠ √25/2 + √16/2 = 9/√2 = 6,37... ;
notOK: tyngdradier
kan inte
DIREKT summeras
(r¦R→r)² = 25/2 + 16/2 = 41/2 ;
OK: men
deras kvadrater kan det:
PLUS betyder: tyngdradien
PÅ VÄG UTÅT bort från origo.
(r¦R→r) = √ 41/2 = 4,527692569 ;
MINUS betyder: tyngdradien
PÅ VÄG INÅT mot centrum.
(r¦R→0)² = (r¦R→r)² — (r¦r→0)² = 41/2 – 16/2 = 25/2 :
(r¦R→0) = √ 25/2 = 3,54...
— 25/2-Rcirkeln är den som har sin r längst in mot centrum/origo.
— Tas en inre skivdel bort — 25/2 + 16/2 = 41/2 — flyttas r obönhörligt UTÅT.
— Läggs en inre skivdel till — 41/2 – 16/2 = 25/2 — flyttas r obönhörligt INÅT.
SÅ: OM vi börjar längst ut med en ring — normala vanliga största integralgränsen, analogt största tyngdcirkelradien — och avancerar inåt mot centrum genom att lägga till andra skivdelar, måste vi
SUBTRAHERA, inte addera, de olika bidragen SÅ LÄNGE r-resultatet > R:
r dras in mot R = fylld skiva med tilläggen av växande mellanliggande massa:
ADDERA, inte subtrahera, de olika bidragen SÅ LÄNGE r-resultatet < R:
r flyttas mot R = fylld skiva med fortsatt växande mellanliggande massa:
REFLEXION:
— Säg den ämnesintresserade människa som INTE från början frågar just efter dessa grundläggande, mest enkelt matematiskt upplysande detaljer. Det är barnets enkla första fråga: Hur.
Möjligen finns detaljerna ovan någonstans (kanske i äldre) etablerad litteratur — men tydligen helt osynligt i nuvarande utbud.
SÅ: I slutänden ser det ut som att Grundskolematematiken klarar biffen, trots allt.
Se även i MATEMATIKEN FRÅN BÖRJAN om inte redan bekant.
Vi fortsätter grundhärledningen:
DYNAMISKA TYNGDCIRKELN
Dynamiska tyngdcirkeln — den
enda representerade i etablerad litteratur, här veterligt;
OM SKIVDELARNA HAR OLIKA TJOCKLEK:
— en delrings tjocklek påverkar INTE r-värdet, enbart r-värdets STYRKA: massmotståndet endast:
— Så: Tyngdcirkeln för ... Jahadu:
Studentens ARGUMENT i resonemanget:
— Svänghjulet eller
»Snurren» i Figurdel¦a ovan är klar: ytterringen (Rr) + hela skivan (r) innanför
har tyngdcirkeln (med nyligen omnämnda
exempelräknings repetition):
r = √[(R² + r²)/2 — (r² + 0²)/2] = R/√2: »tyngdcirkeln har en och samma styrka».
— Men kolla alternativet
i b:
— OM ytterringens (grått)
r² = R²/2 + r²/2 ÖKAS PÅ I SAMMA MASSÄMNE
är det tydligt ATT den
extra massan tvunget måste DRIVA tyngdcirkeln mot det masstillskottets region —
snarare än att »den geometriska tyngdcirkeln» behåller sin rent matematiska
status.
— HUR löser man en sådan uppgift, rent fysiskt
tekniskt: Hur ändras STATISKT GIVNA r med olika PÅLAGDA masstyrkor?
— Uppenbarligen ingen
rent geometrisk/matematisk lösning kan användas för den uppgiften.
RESONEMANG — summan av alla energibidrag
Fr=E=M:
— Alla massbidrags MOMENT
— eg. vridmomentet E=Fd = kraften över vägen — uttrycker en ENERGI (E) som inte har några
»medelvärdesformer», endast effektiva dito: inget läggs till, inget tas bort.
Alla bidrag räknas, absolut:
M = Fr = (Fr)1 + (Fr)2
+ (Fr)3 + ... + (Fr)N
= 1→NΣ (Fr) = mad = Energin
Kroppens delar
summerar hela massformen.
SLUTSATS: Enda tillägget som behöver göras
— för våra vardagliga
Jordiska experiment inom den medelmässiga gravitella fältstyrkan på Jordytan a
= 9,81 M/S²
— blir alltså att
multiplicera varje geometriskt/matematiskt given tyngdcirkel (r) med
dess TYNGD
(F=ma:
m×9,81M/S²=m(KiloPond¦KP):
FN = Cirkelsegmentets/Ringens VIKT i KG ger
enheten KP med integrerat a=9,81M/S²
Fr = F · √(R²/2 + r²/2) ;
M = (Fr)1 + (Fr)2 + (Fr)3
+ ... + (Fr)N = mar ;
= (F√(R²/2 + r²/2))1 + (F√(R²/2 + r²/2))2 + (F√(R²/2 + r²/2))3 + ... + (F√(R²/2 + r²/2))N
= a[(mr)1 + (mr)2 + (mr)3 + ... + (mr)N]
= Fr ;
mar = a[(mr)1 + (mr)2 + (mr)3 + ... + (mr)N] ;
mr = [(mr)1 + (mr)2 + (mr)3 + ... + (mr)N] ;
Och sedan helt enkelt
LÖSA UT motsvarande resultant ur det givna:
r = M/(F = totalmassan i KP) ;
Vi
behöver — nödvändigtvis Praktiskt Exempel —
ingen specifik integralmatematik för den uppgiften.
Resultatbild:
GRUNDEN FÖR DYNAMISKA
TYNGDCIRKLAR
—
totala momentenergin är summan av de enskilda energimomenten enligt
Fr
= M = M1+M2+M3+ ... +MN = (Fr)1+(Fr)2+(Fr)3+...+(Fr)N
— ÄR statiska TYNGDCIRKLAR: De idealt homogena mass- och kroppsformernas
massoberoende tyngdcirklar PÅ VILKAS FORMKROPPAR SEDAN PÅLÄGGS OLIKA
MASSOR/tyngder. Se Praktiskt Exempel.
— MEN DEN
GRUNDMATEMATIKEN TYCKS INTE ALLS FINNAS I ETABLERADE KVARTER;
Sagt i andra ord: en
(TCR, förk. [efter summering resulterande] tyngdcirkelradie)
DYNAMISK
(TCR) TYNGDcirkelRADIE i en RING r ≠ √(R²/2 + r²/2)
r = F–1(F1r1 + F2r2 + F3r3 + ... + FNrN)
kontra
ingår tydligen INTE i modern akademi
r = √(r²1
— s1r²2 — s2r²3 — ... — sN–1r²N)
enSTATISK
(TCR) TYNGDcirkelRADIE i en
RING r = √(R²/2 +
r²/2) är INTE samma sak.
— Termen el.motsv. har
eftersöks i etablerade kvarter (Dec20018) men ännu inte påträffats. Se PRAKTISKT
Jämförande EXEMPEL.
— Varifrån kommer
Uppslaget, här?[‡]. Svar:
— En plan cirkulär
jämntjock skiva delas i två lika ythalvor A/2=pir²=piR²/2 av
(geometriska¦ här Statiska) tyngdradien r=R/√2.
— Vi kan, tydligen,
beräkna, analysera och bestämma elementära gyroskopiska värden på helt enkel
grundskolematematik (Pythagoras
Sats). Men (Dec2018) ingen
här ännu upphittad etablerad källa verkar ha uppmärksammat den möjligheten —
ämnets annars väl svårfattliga grunder. Etablerade verk i ämnet (eng. radius of gyration — ingen avvikande ännu
upphittad) uppehåller sig uteslutande vid integral matematik och modern
akademisk vektoralgebra — Ingen varken förstår eller kan förklara innehållet.
Citat nedan.
— En Statisk (TCR) r =
√(R²/2 + r²/2) är helt oberoende av höjd;
RingSummans Villkor — gäller endast summerande statiska
tyngdcirklar:
r ÖverUnder R=R/√2 reglerar ±summeringen av ringbidragen.
SATSEN har eftersökts i
etablerade kvarter men ännu inte påträffats.
— Dynamisk (TCR) r ≠ √(R²/2 + r²/2) VÄGER sin (höjd) form mot aktuell VIKT (KP), vilket påverkar
tyngdlinjens förskjutning mot aktuell maximal massdel då svänghjulet INTE är en
enkel rak skiva.
En
dynamisk med F tyngdcirkel har ingen sådan 1-cirkelskiva- singulär uttryckbar
form:
— En DYNAMISK TYNGDCIRKEL kan bara FORMAS — beskrivas, förklaras, uttryckas, definieras —
EFTER minst två olika RINGARS olika MASSBIDRAG PÅ GIVNA MASSOBEROENDE STATISKA
TYNGDCIRKELVÄRDEN.
— Snabbkoll @INTERNET
23Dec2018 visar att etablerad litteratur (Wikipedia+) INTE klargör DET —
omnämns inte ens.
Statisk
kontra Dynamisk. Enkla skolexempel — Med inledande exempel från RINGSUMMAN :
— Se PRAKTISKT
EXEMPEL.
Dynamiska tyngdcirkelns värde (r) fås summerande ur totala momentenergin M=Fr enligt summeringen
r = F–1(F1r1 + F2r2 + F3r3 + ... + FNrN)
F¦N varje bidragande dels egen individuella
vikt i KP, F hela svänghjulets vikt i KP
Statiska tyngdcirkelns värde (r) däremot fås summerande
r = √(r²1
— s1r²2 — s2r²3 — ... — sN–1r²N)
som en — tyngdcirkelbegreppets elementära grundval — massoberoende
sambandsform på en helt annan summerande fason än dynamiska tyngdcirkelns r-resultant.
— Den verkar helt ha
tappats bort i det främst synliga utbudet i etablerad litteratur: inget hittat.
— Den sambandsformen
gäller enbart — uteslutande — för raka oprofilerade cirkulära
geometriska-matematiska planskivor — EGENTLIGEN: HELT MASSLÖSA
HJULFORMER MED GODTYCKLIG FORMSAMMANSÄTTNING EFTERSOM CYLINDERHÖJDEN I EN RING
INTE PÅVERKAR STATISKA TYNGDCIRKELNS VÄRDE — med en förklarande vidhängande VILLKORSFORM R=R/√2 för (signal) s-faktorerna EFTER successiv summering: Med inledande exempel från RINGSUMMAN :
r¦sTCR = √ [(52 + 42)/2 — (42 + 02)/2 = √ [(52 + 02)/2 = 5/√2 =
3,54... :
— Föregående EN RINGSUMMERING testas varje ny tillagd beräknad rN enligt en allmän
VILLKORSFORM för statiska tyngdcirkeln
endast: Från ett största R in mot Origo:
OM r1<R: s1=—1; annars +1; OM r2<R: s2=—1; annars +1; ... : rN=R = helt fylld skiva.
— Summeringen av Ringarnas olika tyngdcirklar görs sedan enhetligt enligt sambandsformen
r¦statiskaTCR = √ [1(R2 + r2)/2 — s12(R2 + r2)/2 — s23(R2 + r2)/2 — ... — sN–1N(R2 + r2)/2 ]
= √ ( r12 — s1r22 — s2r32 — ... — sN–1rN2 )
—
En dynamisk tyngdcirkel kräver ett massberoende, medan statiska tyngdcirklar är
helt massoberoende. Så skrivs statiska tyngdcirklarnas summering via
individuella ringar som.
r = √[((R²/2 + r²/2))1 — s1((R²/2 + r²/2))2 — s2((R²/2 + r²/2))3 — ... — sN–1((R²/2 + r²/2))N]
=
√(r²1 — s1r²2 — s2r²3 — ... — sN–1r²N)
— Den resulterande
tyngdcirkeln r gäller sedan för en godtycklig (oberoende) PLAN massform.
— Förekommer olika
rektangulära sektioner gäller dynamiska tyngdcirkelns samband.
Etablerad
litteratur verkar inte — alls — vidröra den ämnesgrenen:
— Därmed inte sagt att
ämnesbeskrivningen INTE existerar i MAC. Om den gör det, finns
den i så fall i väl undangömda gamla arkiv.
Exempelbeskrivningarna
uppehåller sig (samtliga här upphittade) uteslutande kring dynamiska
tyngdcirklar i uteslutande integral matematisk tappning via begreppet
tröghetsmoment (här Beteckningar Ĵ=mr²).
WIKIPEDIACITATET
Statiska tyngdcirkelns
sambandsform DynaStatFörkl UTTRYCKER uppenbarligen och bevisligen INTE — ej, icke, NEJ,
osv. — ANNAT än en plan rak homogen idealt geometriskt cirkulär skiva, ring
eller cylinder i olika omfång, alla i samma skivplan.
Hittills upphittade,
inkl. Wikipedia Dec2018:
Det
verkar som att etablerad litteratur INTE noterar den detaljen.
—
Kaos råder — tydligt — om inget har missats:
”
Formula of moment of inertia if all the particles are of same mass m,
then
I = m1r1² + m2r2²
+ ... + mnrn²
If all the masses are the same, then
the moment of inertia is:
I = mn(r1² + r2²
+ ... + rn²”)/n since mn = M, total mass of the body,
I = M(r1² + r2² +
... + rn²”)/n
From the above equations we have
MRg² = M(r1² + r2²
+ ... + rn²”)/n
Radius
of gyration is the root mean square distance of particles from axis formula
Rg² = (r1² + r2²
+ ... + rn²)/n
Therefore the radius of gyration about
a given axis may also be defined as the root mean square distance of the various particles of the
body from the axis of rotation.”,
@INTERNET — Wikipedia,
Radius of gyration, 23Dec2018
— Eng. Radius of
Gyration, sv. tyngdcirkeln.
JÄMFÖR ENDA TILLGÄNGLIGA
SAMBANDSFORMERNA FÖR motsv. BEGREPPET TRÖGHETSMOMENT via StatiskaDynamiska FRÅN
M = Fr = mar = m(w/t = 2pir/t² = rω’)r = mr²ω’ =
Ĵω’ ENLIGT: Ĵ =
mr² = r²(m/N)N = m(r²/N)N =
(mr²/N)N ≠ m(r1²+r2²+...+rN²).
— Andra ekvivalenta typled finns inte. Det finns inget ”I = mr²
= m1r1² + m2r2² + ...”: Inte i Statiska. Inte i Dynamiska.
Wikipedias text talar visserligen om
PARTIKLAR, beståndsdelar, medan sambanden här berör enbart summerande
tyngdcirklar eller dito ringar.
— MEN VI HAR HELLER INGET ANNAT ATT JÄMFÖRA
MED EFTERSOM STATISKA TYNGDCIRKELNS BEGREPP[‡] INTE AVHANDLAR NÅGRA
PARTIKLAR, ENBART FÄRDIGA ENHETER. DET ÄR DET FRÄMSTA BEVISET: Modern akademi
verkar ha missat det;
— Varför göra besvärliga (integrala)
utläggningar om ”partiklar”[‡] när Enheten redan står där?
Det sammanhanget antyder att själva sättet
med ”summera partiklar via olika
r” INTE fungerar som förklaring. Det är galet sätt.
Att saken gäller ett ”r²” är tydligt. Men
begreppet ”partiklarnas
rotmedeldistans från rotationsaxeln” är tydligt galet — som
ovan.
SÅ:
Begreppet tyngdradie, tyngdcirkel,
masscirkel, ”radius of gyration” kan TYDLIGEN[‡] FÖR DET ENKLA RELATERBARA FÖRNUFTETS RÄKNING INTE beskrivas
genom någon ”summering av delar” — på samma sätt som inte heller GRAVITATIONEN
— från centralverkan: cirkelrörelsen,
centrifugalkraften — kan det. Så, återigen:
— sTCR Masscirkeln eller tyngdcirkeln kan bara förklaras — djupförstås
— genom statiska tyngdcirkelns STATISKA MOMENTETS elementära form: cirkelradien som delar cirkelytan i två lika
halvor — enhet utan delar — och som leder direkt på
ringens enkla tyngdekvation r = √ (R² + r²)/2;
A/2 = piR²/2 = pir²
; r² = R²/2 ; r = R/√2 = R —- med dess vidare differentialekvation d(r²)=d(R/√2)=r·dr, se IntegralTCR — BLIR tvunget tyngdcirkelns absolut MASSOBEROENDE definition: statiska tyngdcirkeln.
På dess elementära, helt
massoberoende form Praktiskt Exempel
kan sedan TYNGD och MASSA användas i olika partier och sektioner för att
utveckla praktiska tyngdcirklar och/eller masscirklar. Så, återigen i
resultatbildens tydligt relaterbara ljus:
Den moderna akademins lärosystem har
uppenbarligen inget begrepp om tyngdcirkelns ”radius of gyration” rent logiska,
förklarbara, relaterbara, elementärt FÖRKLARANDE definition och innehåll.
Det är också en jäkla mening att sätta på
pränt i den närmast enorma tekniska applikation som ämnet intar i vår närmast
200-åriga kulturepok.
Wikipediatexten bygger
tydligen på — en djup okunskap med konsekvenser — att försöka framhäva en
HYBRID mellan StatiskaDynamiska.
OM vi inte har missat avgörande förklarande litteratur i Modern Akademi, är det
tydligt att samma instans verkligen har förstått ämnet illa: huvuddelarna STATISKA TYNGDCIRKELN utelämnas — stryks. Och man
uppfinner, i vanlig klassisk 1800+-ordning egna, helt obegripliga saker.
Undervisningssystemet sköter sedan resten:
upprepningar, efterhärmningar. Produkten matas ut till mänskligheten typ
”Meddelanden På Wikipedia”.
Beskrivningssättet ÄR »Helt obegripligt».
Stora tvärhål gapar öppna i Logiken.
—
Använder man SÅLEDES generellt för alla möjliga fall den mera sammansatta
differentialformen dĴ=r²dm — som kan utvecklas på en mängd olika sätt —
berörs ALDRIG grundformen med Statiska Tyngdcirklar: Integrationerna leder
ALLTID direkt på slutmålet med (dynamiska) tyngdcirklar, tyngdytor och
tyngdlinjer: Ingen BEHÖVER bryr sig i något mellanliggande.
— Och så kom det sig ”i
senaste släktens år” att Kunskapen sjönk ner, allt mer i glömska ... .
Verkligen fascinerande KulturHistoria.
— Fyll i här nu.
InteTänkaSjälv. ViTänka—DuGöra. Såga här nu. Jättebra för miljön.
WIKIPEDIA WikiCit GER INGET KLARGÖRANDE MELLAN STATISK OCH DYNAMISK — ATT
DYNAMISKA GES FRÅN STATISKA: WIKIPEDIAS UTVECKLINGSLED OVAN ÄR OMÖJLIGA UR DEN
STATISKA TYNGDCIRKELNS PERSPEKTIV, OCH OCKSÅ UR DEN DYNAMISKA: INGET AV
SAMBANDSFORMERNA ÄR RELEVANTA I NÅGON FÖRKLARANDE MENING.
Masslösa tyngdcirkelformen är reserverad för
statiska tyngdcirkelns samband endast. Och den känner man tydligen inte till i
etablerade kvarter:
Bedrövligt. Urdåligt.
— SAMBANDSFORMERNA SOM
WIKIPEDIA ANGER HAR INGEN KOPPLING TILL VARKEN STATISKA ELLER DYNAMISKA
TYNGDCIRKLARNAS SAMBANDSFORMER.
— Det går inte att
uttryca dessa på Wikipedias ovan exemplifierade former:
— Wikipediaförfattarna
känner uppenbarligen INTE till det.
Eller så har den här författaren förirrat
sig till baksidan på någon krater på Pluto.
(Jag glömde ta med mig bränsle för
återresan — syret börjar ta slut ...).
Wikipedias masslösa
samband har bara en möjlig formkoppling till StatiskaDynamiska sambandsformerna
för tyngdcirklarnas relaterbara förklaring: statiska tyngdcirkelns summaform —
frånsett tecken, divisionen med N, samt villkoret mot R=R/√2 —
r² = r²1 — s1r²2 — s2r²3 — ... — sN–1r²N
Och vi ser att det är
INTE den som gäller i Wikipediafallet;
StatiskaDynamiska har
ingen motsvarande möjligt typ ”mr²”-summaform.
Det enda PRAKTISKT EXEMPEL närliggande som finns är formtypen
mr = (mr)1+(mr)2+(mr)3+
... +(mr)N
enligt dynamiska
tyngdcirklarnas summerande individer
r = F–1[(F√(R²/2 + r²/2))1 + (F√(R²/2 + r²/2))2 + (F√(R²/2 + r²/2))3 + ... + (F√(R²/2 + r²/2))N]
= F–1(F1r1 + F2r2 + F3r3 + ... + FNrN)
= aF–1(m1r1 + m2r2 + m3r3 + ... + mNrN)
WIKIPEDIAS ARTIKEL —
etablerade referenskällorna — ÄR VERKLIGEN DJUPT KAOTISKT MISSVISANDE OCH
SÄRSKILT FÖRVIRRANDE SETT FRÅN STATISKA TYNGDCIRKELNS ELEMENTÄRA DEFINITION.
—
GENERELLT: Vad gör MAC-folket
för fel, egentligen?
Mitt svar:
—
MAC-korridorerna befolkas av genuint skickliga algebraiker, oerhört vassa
naturintellekt — med noll utvecklad förmåga att förklara/förstå innehållet: ”människan har skapat matematiken” [‡]. Verkligen fascinerande undervisning. Det är aldrig fel på matematiken. Men: Inblicken blir mera
knepig om man envisas med att försöka leka ”herre över universum” [‡]: trångsynt, ytligt,
tarvligt — BEVISLIGT I VARJE DETALJ — djupt ointelligent:
—
Individerna får inte utvecklas längre. Eleverna nödgas rätta sig efter ett
fastställt meritsystem: DET ÄR INGET FEL I SIG —
FÖRUTSATT ATT »Den Akademiska ÖVERHETEN» HARMONIERAR MED NATURINNEHÅLLET —
VILKET TYVÄRR OCH BEVISLIGT noMACfysik INTE ÄR FALLET I VÅR TID.
Principerna är givna. Tillämpningarna däremot — iakttagandet av INTE
BESLUT ÖVER Naturlagarna — uppvisar global huggsexa: miljömord, naturmord.
— Enda sättet blir alltså: GÅ PÅ VIKTEN (tyngden, massan) — genom att summera alla enskilda skivmoment (M=Fr) och därifrån lösa ut summaresultanten (r).
— Om vi har en skiva med olika (rektangulära) sektioner, alltså olika massor¦tyngder (F) i olika partier, ska regelverket ovan fungera om summeringen görs TOTALT via M:
Momentsumman
M = Fr totala
tyngdcirkelmomentet — tyngdCirkelEnergin från »KRAFTEN ÖVER RADIEN» —
= (F√ [R2+r2]/2)1 + (F√ [R2+r2]/2)2 + (F√ [R2+r2]/2)3 + ... + (F√ [R2+r2]/2)N
= Fr ;
r = M/(F¦totalvikten i KP) ;
Det enda som behöver göras är att bestämma materialets masstäthet för att, via måtten tjocklek t gånger cirkulär ringyta A, få respektive M-dels aktuella F-tyngd (i KiloPond: F=ma = 1KP = 1KG · 9,81 M/S2 = 9,81 Newton):
(m→F) = DensityVolume = D(thickness×Area)
Praktiskt exempel, Statisk Dynamisk
Tyngdcirkel:
EXEMPEL
Tätheten för mässing (KH1977s97) varierar 8 100 - 8 600 KG/M3 beroende på legering (mer/mindre koppar 8 930 KG/M3). Standardvärdet för tyngdkraftsaccelerationen vid Jordytan är 9,81 M/S2.
— Ett SVÄNGHJUL av Mässing med tätheten 8 400 KG/M3 har följande profil med mått i mM:
— Bestäm hjulets totalt resulterande dynamiska tyngdcirkel;
— Använd om möjligt KalkylProgram (GratisOpenOffice) för att säkra räknefel och presentera resultatet i dess kalkylceller som ett separat Kalkylkort.
Lösning:
Tabell 1 — TYNGDCIRKLARNA — GyroDec2018.ods
SVAR: Med de angivna dimensionerna är Svänghjulets dynamiska tyngdcirkelradie r = 18,2448 mM räknat från origo/centrum.
STATISKA tyngdcirkeln sTCR = r = 18,0866 mM har
beräknats RINGSUMMAN enligt cirkelskivans
villkorade medelgränsform R=R/√2 för växande-avtagande r mot origo
r¦sTCR = √ [(25,52 + 23,02)/2 — s1(23,02 + 6,52)/2 — s2(6,52 + 2,02)/2]
=
√ [(25,52 +
23,02)/2
— (23,02
+ 6,52)/2
+ (6,52 + 2,02)/2] = 18,0866 mM
VILLKORSFORMEN statiska
tyngdcirkeln endast: Från största R in mot Origo:
OM r1<R: s1=—1; annars +1; OM r2<R: s2=—1; annars +1; ... : rN=R = helt fylld skiva.
Kommentar:
— Genom att mata in VÄXANDE t-värde (ringhöjden) för resp. M-del kan vi kontrollera att dynamiska r-värdet verkligen närmar sig masstillskottets aktuella region.
IntExtRTC: IntegralTCR
Dynamiska tyngdradiecirklar
EXEMPEL 3 —IntegralExempel
— Dynamiska tyngdradiecirklar
Ringen 1
RINGENS TYNGDCIRKELRADIE FRÅN INTEGRALMOMENTET Ĵ = ∫ dmr2:
DIFFERENTIALTRANSFORMATION: dm ska anpassas till r:
— Vi anställer k = massa/ytenhet = m/A = m/πr2:
m = k · A ;
dm = k dA ;
— Cirkelns/ringens differentialyta kan skrivas alternativt som omkretsen 2πr gånger omkretsens differentiella bredd dr:
dA = 2πr · dr ;
dm = k dA = k · 2πr · dr ;
Ĵ = dmr2
;
Ĵ = k · 2πr
· dr ·r2
= k · 2π
∫ r3dr ;
Integralens
lösning: EXP7
= k · 2π [r4/4] ;
= π [r4/2] k ; integralens insättningsgränser från största till minsta, se nedan:
= π [r4/2] m/πr2
=
m · [r2/2] ; INTEGRALEN ÄR DIREKTBESTÄMD eftersom Ĵ=0 då r=0:
INSÄTTNINGSGRÄNSERNA GÖRS tvunget MED
STÖRSTA = R OCH MINSTA = — r:
LÖSNINGEN FÖR KOMPAKTA CYLINDERN: R=R, — r = 0;
Ĵ/m = R→–r[r2/2] = [R2/2 – (–02/2)] = R2/2 ;
Ĵ/m = R2/2 = r2 ;
Ĵ = mr2/2 ; kompakta cylinderns integralmoment
r = R/√2 ; Kompakta Cylinderns tyngdcirkelradie.
LÖSNINGEN IntegralTCR FÖR RINGEN: R=R, — r = — r;
Ĵ/m = R→–r[r2/2] = [R2/2 – (–r2/2)] = (R2 + r2)/2 ;
Ĵ/m = (R2 + r2)/2 = r2 ;
r = √ (R2 + r2)/2 ; Ringens tyngdcirkelradie. [‡]
EXEMPEL 4 —IntegralExempel
— Dynamiska tyngdradiecirklar
Ringen 2
RINGENS TYNGDCIRKELRADIE FRÅN momentintegralen M = ∫ dFx:
— Vi får alldeles samma resultat som i EX3
genom den (betydligt enklare) momentintegralen:
En rak masshomogen balk med längden L är infäst i en vägg (y-axeln). Balkens tvärsnittsyta är konstant och balkens tyngd i KiloPond (1 KP = 9,81 N) är F. Hur stort är balkens statiska moment M=Fx med avseende på balkens ideala infästningspunkt?
Lösning:
F/x = Φ = ma/Meter ;
F = Φx ;
dF = Φ (dL=dx) ;
dMY = dF·x = Φ dx·x ;
MY = Φ x dx ;
Integralens lösning: [EXP7]
SVAR: M = Φ L→0[x2/2] ; vidare:
= (F/x) [x2/2] = Fx ;
Fx = (F/x) [x2/2] ;
x2 = L→–l[x2/2] ;
:
— Ser vi balksnittet som just en balk med insättningsgränserna L→0 blir dess statiska moment M med avseende på infästningspunkten lika med MY = ΦL2/2 KpM (KiloPondMeter).
— Ser vi balksnittet som snittet
genom ena halvan i en cirkulär cylindrisk skiva får vi hela skivans
tyngdcirkelradie r via insättningsgränserna L→0 med L=R som
x2 = r2 = R→0[x2/2] = R2/2; r = R/√2.
— Med insättningsgränserna för hela cirkelskivan R→–r[x2/2] får vi den cylindriska ringens tyngdcirkelradie r
x2 = r2 = R→–r[(R2/2) – (–r2/2)] = (R2 + r2)/2; r = √ (R2 + r2)/2, vilket vi ser är samma som i EX3.
— Härifrån kan vi lösa ut respektive kropps INTEGRALMOMENT (Ĵ, j-flex)
Ĵ¦CYL = mr2 = mR2/2 ;
Ĵ¦RIN = mr2 = m(R2 + r2)/2 ;
— Hur gör man för att bestämma en motsvarande tyngdcirkelradie för balk- eller stångobjektet i EX4 i fallet då balken roterar kring en axel i änden — eller kring en axel på mitten?
— Har man inget annat roligt för sig kan man alltid försöka befria fångarna med Allmänna MetodIntegralens Vägform:
TYNGDRADIER FRÅN INTEGRALMOMENTET Ĵ = ∫ dmr2. Vi gör ett försök:
EXEMPEL 5 — Integralmoment för en frisvängande rak homogen stång eller balk:
Stången
TYNGDRADIECIRKEL FÖR ROTERANDE STÅNG
Den raka masshomogena stångens massa m per längdenhet x¦L är konstant:
k = m/L ;
k = dm/dx ;
dm = k · dx ;
Ĵ = dmx2 ;
Integralmomentet
[‡] — konv. tröghetsmomentet
=
k · dx x2
= (m/L) ∫ x2 dx ; Integralens lösning: [EXP7]
= L→–l[x3/3] (m/L) ;
LÖSNINGEN MED MITTROTATIONEN :
L/2→–L/2[x3/3] = [(L/2)3/3 + (L/2)3/3] = 2(L/2)3/3 = 2L3/24 ;
Ĵ = (m/L)L3/12 = ;
=
mL2/12 ;
Integralmomentet
med rotationsaxel mitt på rak homogen stång
Ĵ/m = r2 = L2/12 ;
r = L/√12 ; Tyngdradien
LÖSNINGEN MED ÄNDROTATIONEN :
L→0[x3/3] = L3/3 ;
Ĵ = (m/L)L3/3 = ;
=
mL2/3 ;
Integralmomentet
med rotationsaxeln i stångens ände
Ĵ/m = r2 = L2/3 ;
r = L/√3 ; Tyngdradien
Sfären
SFÄRENS TYNGDCIRKEL r
OCH INTEGRALA MOMENT Ĵ, j-flex, konv. tröghetsmomentet:
Med uppslag från
http://www.hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/isph.html
- sph2
HYPERPHYSICS
Dec2018
— Sfärens tyngdcirkel kan bestämmas genom användning av cylinderns tyngdcirkel[‡] r=R/√2 med hjälp av allmänna integralmomentet[‡] (här j-flex, konv. J) Ĵ=mr2 som nedan.
y2 = R2 – x2 ;
Vi använder
blandprojektioner för att förtydliga xy-systemets hantering av uppgiften: r-Cirkeln
i mitten är vyn sedd från positiva x-axeln då cylinderns tyngdcirkelradie
integreras motsv. sfäriskt som tunna cylinderskikt från maxX=R till minX=0.
Referenskällan ovan visar ett annat sätt — ingen detaljerad information.
GENOM CIRKELNS REKTANGULÄRA EKVATION y = √ (R2 – x2) omfattas enbart halva cirkeln;
— xy-systemet i detta fall kan bara uttrycka positiva y-värden.
Tyngdradiens utbredning/integration sett från x-axelns sida kan heller (meningsfullt) inte föras mer än till max ±y = R.
SÅ: I vilket fall måste tyngdradien r integreras över halva sfären med en dubblering i slutet.
— Webbkällan i referensen ovan (har annat koordinatsätt) ger ingen antydan i den detaljen — utom genom att ange insättningsgränserna som ”R→–R”: slutformen skrivs bara ut utan kommentarer. Genomför man — reguljärt — insättningarna ”R→–R” i integrallösningen får man något annat än nedan:
— Vi följer utvecklingsprocessen i detalj:
ySPH = √(R2 – x2) ; Sfären
i xy-systemet:
VSPH = 4πr3/3 ;
k = m/V = 3m/4πr3 ;
ĴCYL/m = r2 = y2/2 = (R2 – x2)/2 ;
k = dm/d(V=πy2x)
= dm/πy2dx ;
dm = kπy2dx ;
dĴ = (y2/2)dm
= (y2/2)kπy2dx
= (kπ/2)(y2)²dx
= (kπ/2)(R2 – x2)²dx
=
(kπ/2)(R4
– 2R2x2 + x4)dx ; integralmomentets
differentialekvation
=
(kπ/2)(R4dx
– 2R2x2dx + x4dx) ; Lösningen [EXP7] för halva sfären som ovan:
Ĵ/2 = (kπ/2)(R→0R4dx – R→0
2R2x2dx + R→0
x4dx)
INTEGRALERNA ÄR AV BESTÄMD FORM [‡] EFTERSOM R=0 0M x=0 och därmed direkt
beräkningsbara:
= (kπ/2)(R5 – 2R2R3/3 + R5/5)
= (kπ/2)(R5 – 2R5/3 + R5/5)
= (kπ/2)(15R5/15 – 10R5/15 + 3R5/15)
= (kπ/2)(15R5 – 10R5 + 3R5)/15
= k(π/2)(8R5)/15
= k(π/2)(8R5)/15
= (1/2)k(πR5)8/15
= (1/2)(3m/4πr3)(πR5)8/15
= (1/2)(m)(R2)2/5
=
(1/2)mR2(2/5) ;
Ĵ = mR2(2/5) ; Hela
Sfärens integrala moment.
Ĵ/m = r2 = R2(4/10) ; Hela Sfärens tyngdradiekvadrat:
r = R√ 4/10 ; Hela Sfärens tyngdradie.
Konen
KONENS TYNGDCIRKEL r
OCH INTEGRALA MOMENT Ĵ, j-flex, konv. tröghetsmomentet:
y2 = x2 ;
Vi använder
blandprojektioner för att förtydliga xy-systemets hantering av uppgiften: r-Cirkeln
i mitten är vyn sedd från positiva x-axeln då cylinderns tyngdcirkelradie
integreras motsv. sfäriskt som tunna cylinderskikt från maxX=R till minX=0.
— För KONKROPPEN med given täthet k=m/(V=πr2h/3)=3m/πr2h och given basyta (πr2) bevaras k om m och h varierar omvänt proportionellt: För en masshomogen konkropp med en fast given basyta (πr2) är konhöjd (h) och massa (m) proportionella. I detta fall kan vi alltså skriva konvolymen förenklat med h=r som V=πr3/3;
— Vi får samma utvecklingstyp som för Sfären EX6 men med Konens karaktär:
yKON = –x ;
Konen
i xy-systemet:
VKON = πr3/3 ;
k = m/V = 3m/πr3 ;
ĴCYL/m = r2 = y2/2 = (x2)/2 ;
k = dm/d(V=πy2x)
= dm/πy2dx ;
dm = kπy2dx ;
dĴ = (y2/2)dm
= (y2/2)kπy2dx
= (kπ/2)(y2)²dx
= (kπ/2)(x2)²dx
=
(kπ/2)(x4)dx ; integralmomentets
differentialekvation
Ĵ = (kπ/2)(h=R→0R4dx) ; Lösningen: [EXP7]
= (kπ/2)(R5/5)
= (1/2)kπ(R5/5)
= (1/2)(3m/πR3)π(R5/5)
= (1/2)(3m)R2(1/5)
= mR2(3/10) ; Konens integrala moment.
Ĵ/m = r2 = R2(3/10) ; Konens tyngdradiekvadrat:
r = R√ 3/10 ; Konens tyngdradie.
SAMMANSTÄLLNING Konen Sfären Cylindern:
———————————————————
————————————————————
Kon mR2 3/10 R√ 3/10
Sfär mR2 4/10 R√ 4/10
Cylinder mR2 5/10 R√ 5/10
———————————————————
MOMENTEXEMPLEN
ROTERANDE KROPPARS VARVTALSACCELERATIONER
Teoretiskt
EXEMPEL
1
En trumma med tyngdradien
r = 0,8M på massan m = 200 KG drivs av en konstant kraft F = 120 N via
en kedja kopplad till ett kugghjul med effektiv drivradie r = 0,15M.
— Bestäm tiden som åtgår
för att accelerera trumman upp till varvtalet per sekund f = 1/3 Hz (20RPM).
Hämtat WEBBEXEMPEL från
Worked example No.6, D.J. DUNN — SOLID MECHANICS DYNAMICS
TUTORIAL — MOMENT OF INERTIA ¦ 2016
http://www.freestudy.co.uk/dynamics/moment of%inertia.pdf
— Orsaken till
Webbreferenserna är att använda redan (väl) genomräknande exempel från andra
författare — vilket säkrar minimala räkne- och utvecklingsfel då exemplen SÅ
blir särskilt felkontrollerade, och samtidigt breddar perspektivet för en redan
befintlig — säker — referenslitteratur.
Lösning:
— Vi använder den enkla
grundformen som angavs i INLEDNINGEN enligt
—————————————————————————————————————————
a = v/t ; t = v/a = (2πr/t)/a = r(2πf )/a = r(2πf )/(a=F/m) = mr(2πf )/F ¦ f = Hz, antal varv/S
——————————————————————————————————————
t = 200KG · 0,8M · 2pi(1/3S)/(120N · 0,15M/0,8M)
= 200KG · 0,8M · 2pi(1/3S)/(22,5N)
= 320KG · 1M · pi(1/S)/(67,5N)
= (320/67,5)pi S
= 14,893476628 S
SVAR: Tiden som åtgår för att accelerera trumman
till 20RPM med kraften 120N och kraftutväxlingen 0,15/0,8=1,5/8 är 14,89 S.
KOMMENTAR:
—
KRAFTUTVÄXLINGSFÖRHÅLLANDET 1.5/8 används INTE i webbkällans exempel. Där
används istället drevmomentet M = Fr = 120N · 0,15M = 18
NM — tillsammans med den vanliga konventionella typen
——————————————————————————————————————
Ĵ = mr2 ¦ M = Fr ¦ M/Ĵ = mar/mr2 = a/r = α ¦ t = ω/α = (2π·RPM/60)/(M/Ĵ) = r(2πf )/a
—————————————————————————————————————————
t = 2pi(20/60S)/(120N·0,15M/200KG[0,8M]²)
= pi(2/3S)·200KG·0,64M²/(120N·0,15M)
= pi(2/3S)·128KG·M²/(18 NM)
= pi(1/S)·256KG·M²/(54 NM=KG·M²/S²)
= 14,893476628 S
— Webbkällan använder
INTE DIREKT den enklaste sambandsformen.
Teoretiskt
EXEMPEL
2 — en klassiker
Svänghjul med axel och uppvindad lodlina med
lodmassa i änden
— Ett svänghjul av
figurens formtyp med massan m = 1KG och tyngdradien r = 1M sitter friktionsfritt
uppmonterat på en smal genomgående stålaxel (med försumbar inverkan) i ett
Jordlaboratorium med lokal tyngdkraftsacceleration a = 9,81 M/S².
På en cylindrisk mellanaxel med radien r = 0,6M finns en uppvindad lina med försumbar tyngd med en frihängande
lodmassa på m(L) = 1 KG i änden.
— Bestäm svänghjulets
varvfrekvens per sekund sedan lodmassan fått falla fritt under 10 sekunder.
Lösning:
— Vi använder också här
den enkla grundformen som angavs i INLEDNINGEN enligt
—————————————————————————————————————————
a = v/t ; t = v/a = (2πr/t)/a = r(2πf )/a = r(2πf )/(a=F/m) = mr(2πf )/F ¦ f = Hz, antal varv/S
——————————————————————————————————————
KRAFTUTVÄXLINGEN: F := F
· 0,6/1 = 6/10;
KONSTANT PÅLIGGANDE
DRIVKRAFT: F = ma = m(L)·9,81 M/S² = 9,81 N;
Vi söker frekvensen f
efter t = 10S:
t = 1KG · 0,6M · 2pi · f / (9,81N · 0,6) = 10 S ;
f = 10S · 9,81N · 0,6/(1KG · 0,6M · 2pi)
= 98,10NS/(1KG · 2piM)
= 49,05NS/(1KG · 1piM)
= 15,61309992 Hz = avr. 937 RPM
SVAR: Varvtalet per sekund som uppnås efter 10
sekunder är avr. 15,61 Hz.
KOMMENTAR:
— Våndan att (ens)
försöka lösa problemet ovan med den etablerade ”Ĵ=mr²”-metoden leder här
till så stora utsvävningar att vi (här) helt hoppar över den delen. Vi använder
istället tiden vi fick till övers att minnas (och ära) alla de studenter som,
utan framgång en gång i tiden, förtvivlade över liknande problem. Det får inte
fungera så i en anständig kunskapskultur. Kunskapen ska lysa upp, inte mörka
ner.
Praktiskt
EXEMPEL
3 — gyrofysiken
Från SKIVTALLRIKSANALOGIN
2009
Svänghjul (Snurra) av mässing med massan
40Gram = 0,04 KG och tyngdradien 18,25 mM = 0,01825 M, undre navdistans ca 12
mM = 0,012 M,
Ett svänghjul av typen ovan vägrar resolut
ANNAT än att LUTA mot underlaget så länge varvtalet (f) genom sin utvecklade
centrifugalkraft F=må=mw²/r inte kan uppväga den nedåtriktande
tyngdkraftens inverkan F=ma. r (”ru”) anger tyngdcirkelradien.
UPPGIFT:
— Vilket minsta möjliga varvtal
i vårt Jordiska laboratorium med a=9,81M/S² krävs för att snurran med r=0,01825M
ska hålla sitt svänghjul rakt horisontellt innan den uppvisar tendenser att
lägga sig?
Lösning:
— Med minsta möjliga undre navavstånd ger
ma=må=mw²/r villkoret
a=å=w²/r = (2pir/t)²/r = (2pi ·
f)²r = 9,81 M/S² med lösningen
f = (1/2pi)√ 9,81M/S²/r
= (1/2pi)√ 9,81M/S²/0,01825M
= 3,689973107 Hz = avr. 238 RPM.
SVAR: För en snurra med r=0,01825M
krävs en minsta varvtalsfrekvens lika med avr. 3,69 Hz för att dess svänghjul
inte ska börja precessera. Under den gränser precesserar snurran allt mera och
lägger sig strax.
KOMMENTAR:
Större navavstånd (d)
kräver högre varvtal genom att kvoten r/d avtar, = sämre stabilitet.
— Vid ett försök med
snurran ovan — 4st extra Ø10mM påmonterade neodymmagneter för noggrann mätning
av varvtalet via en Hallsensor med oscilloskop — noterades (med en mindre mätosäkerhet, ett mättillfälle) frekvensen 3,06 Hz precis innan snurran vek ner sig.
I
ALL ENKELHET tänkte man sig, så: Med SÅ enkla praktiska exempel skulle webben
@INTERNET året 2018 vara proppad med tillämpade praktiska exempel med EXAKT
verifierbar matematik — och snygga lösningar på trådlösa elektroniska
varvräknare.
Inte ett liv Dec2018.
— Håller Marknaden på med
att LÅSA IN MÄNSKLIGHETENS ELEKTRONIKBEROENDE i ett PRIMITIVT INTELLEKTUELLT
SKRÄPSKAL?
Jag vill mena det: Ytlighet, Offentlig
Gapighet; Offentlig Störighet: Ingen Märkbart Kulturell Intellektuell
Produktion Annan än NuÄräJaHärNuSöddö. Andefattigheten breder ut sig över
asfalten.
— ENORMT AVANCERAD
ELEKTRONIK. Noll datorbaserade
produktionsverktyg för vanliga privatpersoner.
MAN MÅSTE KÖPA MERA ÄN DET SOM REDAN FINNS. TROTS ATT DET SOM FANNS TIDIGARE —
20 år bakåt — GOTT OCH VÄL RÄCKTE TILL. Vad gjorde man med Det? Skippade Det.
Kasserade Det. Och Ersatte Det med ”hundra gånger långsammare” till ”tiodubbla
priset” med ”halv funktionalitet”. Stämmer det, är det så?
Folk, vanliga trottoarfotgängare som
utvecklats i de två decennierna ”VetaIntet”? Offer för en elak, girig, tarv fan
som uppträder, mer och mer, som ExistensÄgare: ”Vi Hyr Ut Alfabetet Per Månad”.
Regionala inlåsningar. Är det så? Marknaden har tagit över. Uppträder som
bestämmare. Härskare. En elak, girig, tarv fan. Hur kan den trenden ändras, eller
kan den inte? ”Här är det vi som bestämmer”. Atomerna bockar och bugar.
— Electronic Tools for
PRIVATE Productivity? Det FANNS en gång i tiden — runt 2000. Bergis.
— »Dagens marknadskrafter
2018+ är INTE ute efter Kunskap»?. Herravälde. Fascismens Klassiska Ansikte.
Slavägare. Okunnighetens DRIFT.
— Integralmatematikens olika detaljer kräver (ständig) träning och erinran. Här ges de främsta referenserna i Universums Historia för den (författaren själv inkluderat, från och till) som vill friska upp minnet med baskunskaper.
— @INTERNET innehåller också (värdefulla) referenser. Men det är (ännu 2018 ofta) svårt att hitta annat än ”meddelanden”: Integrala härledningar är (ofta) komplicerade och litteraturen är inte direkt lättåtkomlig (än).
Se även samlat i DOKUMENTÖVERSIK FÖR MATEMATIKEN i Universums Historia
INTEGRALREFERENSER — Integrallista
Alla integrala utvecklingsexempel som beskrivs i detta dokument har särskilda noteringsmärken [i‡] som leder hit:
RÄKNELAGARNA FÖR OÄNDLIGT — differentialbegreppets absoluta grunder
Skillnaden mellan Integral och Gränsvärde
Eulers Ekvivalenter
— exponentialekvivalenterna
FORMLAGARNA
— tabell med (engelska) härledda
referenser till grundintegralerna
Formlagarna —
översikt
DIFFERENTIALBEGREPPET — derivata, differential och integral
Integralbegreppet
— alla grundbegreppen
INSÄTTNINGSGRÄNSER — hur integralens lösning används
Differentialekvation — termen finns inte etablerat —
Integralkonstanten
— termen finns inte etablerat, betecknas
konventionellt C
Integrationskonstanten — termen finns inte etablerat, betecknas konventionellt dx
Se även differentialbegreppet
mera historiskt i modern akademi:
VARFÖR MISSADE NEWTON DIFFERENTIALEN? — se även etablerade begreppet
Differentialelementet i modern akademi — jämförande analys
DIFFERENTIALTRANSFORMATIONER — några exempel visar hur TYP dm omvandlas till TYP dx
INTEGRALKALKYL — metoder och exempel med lösningar:
Integrala Exempel
— atomtriangeln grunderna utan integraler
Integralbegreppet i den högre analysen — mera avancerat
INTEGRALBEVISET — beviset för enhet utan delar
Integralen genom Derivatan — basic
INTEGRALEN I NUMERISKA BERÄKNINGAR — konv. Simpsons Formel: komplicerade integraler
Vissa elementära integralexempel ger i ELEMENTARYTORNA tillsammans med jämförande mera klassiska lösningsmetoder (Sfären, Konen).
I ANALYSENexempel härleds några centralt integrala sambandsformer inom matematik och fysik:
Globala vattenflödets
allmänna ekvation — kapacitans och induktans
Ljusets ändring genom
materien
Fritt fall med luftmotstånd
Den Logistiska
tillväxtekvationen
Allmänna Svängningsekvationen
————————————————————————————————
Välj passande artikel — där
beskrivs detaljerna vidare om ej redan bekant
———————————————————————————————————
NOTERA ATT BESKRIVNINGARNA HÄR ANSLUTER TILL relaterad MATEMATIK:
— Fullständigt beskrivbara och härledningsbara grunder i detalj, eller så inte alls.
— Avsnitten innehåller, eller ska i varje fall göra det, särskilda jämförande exempel och genomgångar av etablerade (motsvarande, om alls) begrepp och termer.
Integrallista UHDec2018
FÖLJANDE LISTADE INTEGRALER FINNS UPPTAGNA exempel, härledningar I UNIVERSUMS HISTORIA t.o.m. 27Dec2018:
— Listan har ordnats efter typ (art och sort) för bekväm åtkomst och referens.
NEDAN: ALLA direkt integralt uttryckta
FÖREKOMSTER i de 129 UH-dokumenten 28Dec2018:
MOTSVARANDE UNICODETECKEN — olika för varje teckensnitt —
visas av webbläsarna FULA KLUMPIGA, KLADDIGA:
— WebbVärlden (2015+) behärskas
av — bevisbart tydligt — ostädade typer. Titanic. Här används bildkopia
av hemmagjort:
MJUKVARUINDUSTRINS OERHÖRT AVANCERADE
UTVECKLING 1980+.
Integral INTEGRAND integrationskonstant
(dx) — anges om annan el. sammansatt:
UPPTAGNA INTEGRALER, Alla Webbsidor
Löpande UH-dokumenten: DEL 1
|
|
|
|
|
|
1 |
t(AGW) dx |
6[1– (1+[x/10]4)–1] |
AGW-komplexet |
1 |
|
2 |
6(1 – [1+(x/10)4]–1) dx |
saknas ännu |
energiintegralen |
2 |
|
3 |
(a4 + x4)–1 |
saknas ännu |
energiintegralen |
3 |
|
4 |
dA |
A |
räknelagarna för oändligt |
4 |
|
5 |
0dx |
0x |
nollintegralen |
5 |
|
6 |
dx |
x |
atomtriangeln |
6 |
|
7 |
y’ |
y |
atomtriangeln |
7 |
|
8 |
dy |
y |
atomtriangeln |
8 |
|
9 |
2x |
x2 |
atomtriangeln |
9 |
|
0 |
f (x) |
b→a[F(x)] |
atomtriangeln |
0 |
|
1 |
kx |
kx2/2 |
atomtriangeln |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
x2/2Z |
x3/6Z |
atomtriangeln |
3 |
|
4 |
πx3/Z |
πx4/4Z |
atomtriangeln |
4 |
|
5 |
2·2πx2 |
4πx3/3 |
atomtriangeln |
5 |
|
6 |
ds=vdt |
vt=s |
atomtriangeln |
6 |
|
7 |
|
|
|
|
7 |
8 |
PI–2 dI |
PI–1 |
ljusbågsfysiken |
8 |
|
9 |
mv dv |
mv2/2 |
integrala analogierna |
9 |
|
0 |
LI di |
LI2/2 |
integrala analogierna |
0 |
|
1 |
dp/p |
p/p0 |
en.gaslag. |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
aU/RT dh |
p0e–hUa/RT = –h(0,0341579)/T |
tryckvarianten |
3 |
|
4 |
(1 + T/b)–2 dT |
b/(1 + b/T) |
SVPintegralen |
4 |
|
5 |
f (x)(A – y) |
A + C e–F(x) |
strålintegral |
5 |
|
6 |
(a/cn) vn dv |
(a/cn) vn+1/(n+1) |
elektriska förskjutningen |
6 |
|
7 |
v dv |
v2/2 |
accelerationsbegreppet |
7 |
|
8 |
|
|
|
|
8 |
9 |
dBPx |
µ0(I/4πx) cosb |
magn. exp. integralen |
9 |
|
0 |
sinb db |
b→90[cosb] |
rakledaren, induktionen |
0 |
|
1 |
(cscb – csc2b) db |
0→90[ln tan(b/2) + cotb] |
rakledaren, induktionen |
1 |
|
2 |
r–2 dr |
–r–1 |
dipolfältstyrkan |
2 |
|
3 |
µ0(I/4πx) dbs |
µ0(I/2x) |
ringen, magnetismen |
3 |
|
4 |
µ0(r2)(I/4πm3) d(2π)s |
µ0Ir2/2m3 |
konen, magnetismen |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
5 |
6 |
sina da |
cosa |
till sfärytan |
6 |
|
7 |
(r2 – x2) dx |
r2x – x3/3 |
till sfärvolymen |
7 |
GRUNDINTEGRALER: REF:
|
trigonometriska : |
|
|
|
|
1 |
–cos |
sin |
1 |
||
2 |
sin |
cos |
2 |
||
3 |
–n(cos nx) |
sin nx |
3 |
||
4 |
n(sin nx) |
cos nx |
4 |
||
1/sin2 |
tan |
5 |
|||
6 |
–1/cos2 |
cot |
6 |
||
7 |
–1/√1–x2 |
asinx |
7 |
||
1/√1–x2 |
acosx |
8 |
|||
1/(1+x2) |
atanx |
9 |
|||
0 |
–1/(1+x2) |
acotx |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
exponentiella : |
|
|
|
|
a(P)a–1Dn(P) |
(P)a |
1 |
|||
2 |
axa–1 |
xa |
2 |
||
3 |
(P)nDn(P) |
(P)n+1/(n+1) |
3 |
||
4 |
xa |
(xa+1)/(a+1) |
4 |
||
5 |
A(DnB) + B(DnA) |
AB |
5 |
||
6 |
[B(DnA) – A(DnB)]B–2 |
A/B |
6 |
||
|
logaritmiska : |
|
|
|
|
e(P)Dn(P) |
e(P) |
1 |
|||
2 |
zezx |
ezx |
2 |
||
3 |
ex |
ex |
3 |
||
4 |
B(P)Dn(P)lnB |
B(P) |
källförklaring: |
4 |
|
5 |
BxlnB |
Bx |
källförklaring: |
5 |
|
Dn(P)/(P) |
ln(P) |
6 |
|||
1/x |
ln x |
7 |
NOTERA ÅterDeriveringen:
Derivatan (Dn) till integralen = integranden åter.
Del 2: Del 1
|
|
|
|
|
|
1 |
dI/I |
lnI |
Ljusflödet |
1 |
|
2 |
dU/(U0 – U) |
–ln(U0 – U) |
GlobalaVattenflödet |
2 |
|
3 |
(1/RC)dT |
T/RC |
kondensatorn |
3 |
|
4 |
(R/L)dT |
RT/L |
spolen |
4 |
|
5 |
ω sinωT dT |
cosωT |
reaktanserna |
5 |
|
6 |
xne(P) |
metod med helt avsnitt ...................................... |
................................... |
6 |
|
√1–x2 dx |
(1/2)(acosx+x√1–x2) |
cirkelns integral |
7 |
||
√a–x2 dx |
a(1/2)[acos(x√a) + (x√a)(√1–(x√a)2]] |
Variabelsubstitution 1 |
8 |
||
1/√a–x2 dx |
acos (x√a) |
Variabelsubstitution 2 |
9 |
||
0 |
xex dx |
ex(x–1) |
Partiell Integration 2 |
0 |
|
1/√a+x2 dx |
ln(x + √a+x2) |
Hyperbelinversens integral |
1 |
||
2 |
ρ0(1+r/R)–4 dr |
ρ0R/3[1 – (1+r/R)–3] |
Solfysiken |
2 |
|
3 |
rR–2 drR |
–rR–1 |
Solfysiken |
3 |
|
4 |
Q(4πr2ε0)–1 dr |
–Q(r · 4πε0)–1 |
Solens kapacitans |
4 |
|
5 |
0→2π∫ d(2π) |
2π |
Solmagnetismen |
5 |
|
6 |
–2(3/2πG)T–3 dT + k dT |
(3/2πG)T–2 + kT |
Pulsarerna |
6 |
|
7 |
k1T·1dTx2dTy3dTz |
k1T4 |
Stef.Boltzm. str.lag |
7 |
|
8 |
x(a+x 2)–2 dx |
(1/2)[a–1 – (a+x2)–1] |
K-cellens effektfunktion |
8 |
|
9 |
c0–1(√ 1 – x2b)–1 dx |
c0–1(1/√b)acos(x√b) |
Ljuvägens integral |
9 |
|
0 |
dr/r2 |
–1/r |
Fria g-fallets hastighet |
0 |
|
1 |
T dt |
T2/2 |
Fria g-fallets tid |
1 |
|
2 |
(x2 ± a)–1/2 dx |
ln[x + (x2 ± a)1/2] |
Ljuvägens integral |
2 |
|
3 |
[b]–1/2(k – x2)–1/2
dx |
[b]–1/2(acos[x/k1/2]) |
Ljuvägens integral |
3 |
|
4 |
[b]–1/2(x2 – k)–1/2
dx |
[b]–1/2(ln[x+k1/2
+ ((x+k1/2)2 – k)1/2] – ln[k1/2]) |
Ljuvägens integral |
4 |
|
5 |
T–1/3 dT |
T–1/3 + 1/(–1/3 + 1) |
Exp.v-formen,
K-cellen |
5 |
|
6 |
(Gρ24π/3) r dr |
(Gρ24π/3)r2/2 |
HydroBasic |
6 |
|
7 |
τ–1dτ |
ln τ/K |
Jkropparnas
värmefysik |
7 |
|
8 |
dW/W = d(S/b) |
lnW = S/b |
EntropiIntegralen |
8 |
|
9 |
y’ dx |
y |
Differentialbegr.i
MAC |
9 |
|
0 |
p dp |
(1/2)p2 |
Halvertingstiden,
radiofys. |
0 |
Till Dec2018 Upptagna REGULJÄRA ROTINTEGRALER UiDel2 i PREFIXxSIN:
———————————————————————————————————
(7) √1–x2
dx = (1/2)(acosx+x√1–x2)
; .................................. cirkelns
integral
(8) √a–x2
dx = a(1/2)[acos(x√a)
+ (x√a)(√1–(x√a)2]] ; ..... cirkelns generaliserade integral
(9) 1/√a–x2
dx = acos (x√a)
; ................................................. generaliserad acos-integral (TRIG7)
(11) 1/√a+x2
dx = ln(x +
√a+x2) ;
............................................. hyperbelinversens
integral [‡]
Jämför den reguljära METODISKA LÖSNINGEN här i IRa — ytterst krävande.
Hyperboliska
produktintegraler:
Kompletterande i detta dokument (1Jan2019):
HPi: HYPERBOLISKA PRODUKTINTEGRALENS INTEGRALER:
√x2±a dx = x(√x2±a)/2 ± (a/2)ln(x
+ √x2±a) ; HYPERBELNS INTEGRAL
1/√x2±a dx = ln(x + √x2±a) ; IRa ¦ (11)
x2/√x2±a dx = (1/2)[x√x2±a
a ln(x + √x2±a)] ;
Hyperboliska
Produktintegralen
Länkar — särskilda referenser som krävs vid utveckling och lösning av integraler:
—————————————————————————————————
SAMBANDSKARTOR TILL TRIGONOMETRIN
KOMPLETTERANDE GRUNDINTEGRALER
29Dec2018
GRUNDTABLÅERNA ¦ secans integral ¦ cosecans integral ¦ IRa ¦ Hyperboliska Produktintegralen ¦
———————————————————————————————————————————
1/sin = sec; 1/cos = cosec; 1/tan = cotan ; cos/sin=tan=y/x: 1=x2+y2=sin2+cos2.
sin cos tan — sec
cosec cot — PREFIXxSIN
— nomenklaturen genomgående i Relaterad
Matematik; rakt, enkelt.
——————————————————————————————————————————————
cos
sin tan — cosec sec cot — PREFIXxCOS — nomenklaturen
i modern akademi; krånglig, omständlig.
1/cos = sec; 1/sin = cosec; 1/tan = cotan — »taskig koordinering».
———————————————————————————————————————————
ENDA SKILLNAD: etiketterna sin ¦ cos byter plats. Inget annat: »Håll Eggen
Skarp, Alltid (KangFuMath)».
MÄNGDEN GRUNDSAMBAND:
— Det är helt uteslutet för den som vill lösa integraler
framgångsrikt att INTE ha hela biblioteket med referenser och grundsamband
framför sig — antingen uppradade per skrifter på ett separat — långt — bord.
Eller genom övning och färdighet per direkt ihågkomst. Referensmaterialet ÄR
omfattande. Det finns inga genvägar.
Vi måste — i vilket
fall — erinra grundsambanden så att vi, säkert, kan återföra hela
lösningsprocessen, detaljerat, på grundformerna. Och det arbetet är väldigt —
mycket — stimulerande OCH arbetskrävande. OCH (mycket) rent intellektuellt
energiGIVANDE. Absolut.
För trigonometrins del
som nedan — grundtablå,
grundkonversioner, arcuskonversioner —
Grundtablån — grundkonversionerna —
arcuskonversionerna ¦ PREFIX xSIN ¦ TrigBasic ¦ Sambandstablåerna:
med grundsambanden från VINKELSUMMATEOREMET ¦ Sin nA ¦ BastablånFormLagarna ¦;
VST: Vinkelsummateoremet ¦ Sin nA
:
sVST: VST SÄRSKILDA
TRIGONOMETRISKA RELATIONER från ovanstående — delvis upprepningar
för sammanhanget
— se särskilt sammanställd mera utförlig ekvationskarta i SekVST;
1. cos2A = 2cosAsinA ¦ VST13
2. cos2A = √ (1 – sin4A)/2
3. cos(A+90)/2 = √ (1 – cosA)/2
4. sin2A = 2/(1 + [tanA]2) – 1 ¦ VST2
5. sin2A = 1 – 2(cosA)2
6. sin2A = 2(sinA)2 – 1
7. sin2A = √ (1 + sin4A)/2
8. tan2A = √ 2/(1 + sin4A) – 1
Kännedomen här grundas på härledningarna till alla samband från GRUNDMATEMATIKEN, med den vidare derivata, differential och
integralkalkylens detaljer. NOLLFORMSALGEBRAN är grunden.
— Se vidare här från början i INTEGRALREFERENSER i Universums Historia.
Utöver de grunderna
krävs också — vid mera avancerad lösning — kännedom om EKVATIONSLÄRAN (partialbråksuppdelningar särskilt).
Länkarna
här i UH till de olika avsnitten ska föreställa SÄKRA repetitionsgrunder för
den som har varit borta ett tag från ämnet, och vill ha en SNABB minnesrefresh
(PilotTräning).
Vi försöker lägga in sådana länkar i härledningarna (här, på
lämpliga ställen) för att förenkla för den läsare att hänga med som inte
erövrat tungviktstiteln — än.
GENERELLT: MED ett
(genuint) LÄNKAT, detaljerat, läromedel, datoriserat noggranna genomgångar,
blir det så ofantligt mycket lättare för i princip vem som vill och har TID att
plöja (relativt) komplicerade manualer i matematik (och fysik). Det är ett av syftena med UH: att studera, lära,
och begrunda, från platsen vi står på för tillfället — med maximal direkt
villkorslös åtkomst. Jorden är — och förblir — rund.
Generellt i UH används beteckningssättet Dn för Derivatan alternativt till det mera normalt etablerade enkla primet (’) efter derivatans objekt (»derivanden»), typ
Dn y = dy/dx = y’. Se f.ö. grunderna i Differentialbegreppet, om ej redan bekant.
— Många integralproblem innefattar nödvändigheten att utföra en DIFFERENTIALTRANSFORMATION (ofta analogt med eller kombination av en s.k. konv. variabelsubstitution). Den delen KAN vara knepig för den som inte riktigt kommer ihåg grunderna. Utöver exemplen som ges här, finns ett särskilt sammanställt avsnitt DialTransEX som visar några olika praktiska UH-exempel.
KOMPLETTERANDE GRUNDINTEGRALER:
cosecans integral ¦ secans integral ¦
Secans Integral — 1/sinx
dx = ln[tan (π/2 + x)/2]
SECANS 1/sin = secans (sec) INTEGRAL — PREFIXxSIN — Integralen för 1/sinx
INTEGRAND: 1/sinx
UPPGIFT: Bestäm integralen för den angivna trigonometriska integranden
1/sinx.
GRUNDSAMBAND: sinA =
cos(90–A=B) = cos(π/2 – x) = cosa
= cosB;
Differentialtransformationer: a = (π/2)–x ; radianvinkeln generellt ¦ SINUSKURVAN
¦ Radianer:
Dn a dx = –dx
sina = cosx ; sin (π/2 – x) = cos x ;
sinx =
cosa ;
da = Dn a dx = –dx ;
dx = –da ;
a/2 = b ;
dx = –da = –2db ;
db = –(1/2)dx ;
b = – x/2 ;
a = 2b ;
Lösning:
dx = –da = –2·d(a/2) = –2db ...................................... TÄLJAREN
–db –db sinb –db 1 d(tanb)
↓↑ = —————— = ————— = ————— , [—— = Dn tan = ———— ] ;
cosb sinb cosb sin2b tanb sin2a sin2 db
sinx = cosa = 2cos(a/2)sin(a/2) = 2cosbsinb ............ NÄMNAREN = cos2b ; STS(1)
RESULTAT:
dx/sinx = –d(tanb)/tanb
1/sinx
dx = –
1/tanb
d(tanb) = – ln tanb = – ln[tan
(π/2 – x)/2] = ln 1/tan b
Tvivlar vi på resultatet genomförs en oberoende prövning;
ÅterDERIVERING Ger : LOG5 :
(x/2) – x = a ; da/dx = Dn(a) = –1 ; da = –dx
Dn –ln(tan b) = –Dn(tan b)/(tan b) ;
Dn(tan b) = d(tan b)/db = –2d(tan b)/dx = 1/sin2b ; TRIG4
d(tan b)/dx = –/2sin2b = Dn(tan –x/2) = Dn(tan b) ;
Dn(tan b)/(tan b) = –1/2(sin2b)(tanb)
= –1/[2(sin2b)(tanb = √(1/sin2b – 1))
= –1/2(sinb)√(1 – sinb2) = –1/2(sin)cos = –1/2(sinacosa) ;
Dn –ln(tan b) = – [–1/2(sinb cosb)] = 1/(2sinb cosb = cos2b [TF13, B=0]) = 1/cos2b ;
; cosA + cosB =
2cos[(A+B)/2] · sin[(A–B)/2] ¦ B=0; A=2b; VST13, B=0 ;
; cos2b =
2cos[b] · sin[b] = 2sinb cosb ;
; cosb =
2cos(b/2)sin(b/2) ;
; cos2b = cosa = sinx enligt
förutsättningarna, se ovan.
= 1/cos2b = 1/sinx ;
Således INTEGRANDEN ÅTER.
Svar: 1/sinx dx = – ln[tan (π/2 – x)/2]
¦ = ln[tan (π/2 +
x)/2]
Cosecans Integral — 1/cosx
dx = ln(tan x/2)
COSECANS 1/cos = cosecans (cosec¦csc) INTEGRAL — PREFIXxSIN — Integralen för 1/cosx
På samma sätt som i fallet med secans integral utnyttjar vi trigonometriska grundformer för att försöka åstadkomma en upplösning av integranden i grundintegrander. Utvecklingen blir här enklare då vi direkt utan mellanled kan utnyttja att
cosx = 2cos(x/2)sin(x/2) ¦ VST13 ¦ STS(1).
INTEGRAND: 1/cosx
UPPGIFT: Bestäm integralen för den angivna trigonometriska integranden
1/cosx.
GRUNDSAMBAND: cosx
= 2cos(x/2)sin(x/2) ;
Differentialtransformationer: Variabelsubstitution — enskild faktorterm
ersätter mera sammansatt uttryck för enklare mellanräkningar:
Variabelsubstitutionen ges här som den mera sammansatta typen
t = tan x/2 = tana ;
1/cosx dx ; a = (x/2) ; radianvinkeln generellt ¦ SINUSKURVAN ¦ Radianer:
da = Dn a dx = (1/2) dx ;
Lösning:
dx = 2da ..................................................................... TÄLJAREN
da da sina da 1 d(tana)
↓↑ = —————— = ————— = ————— , [—— = Dn tan = ———— ] ;
cosa sina cosa sin2a tana sin2a sin2 da
cosx = 2cos(x/2)sin(x/2) = 2cosa sina ....................... NÄMNAREN
Resultat:
dx/cosx = d(tana)/tana
1/cosx
dx =
1/tana
d(tana) = ln
tana ;
Tvivlar vi på resultatet genomförs en oberoende prövning;
ÅterDERIVERING Ger : LOG5 :
(x/2) = a ; da/dx = Dn(x/2) = 1/2 ; da = dx/2
Dn ln(tan a) = Dn(tan a)/(tan a) ;
Dn(tan a) = d(tan a)/da = 2d(tan a)/dx = 1/sin2a ;
d(tan a)/dx = 1/2sin2a = Dn(tan x/2) = Dn(tan a) ;
Dn(tan a)/(tan a) = 1/2(sin2a)(tana)
= (1/2)[1/(sin2a)(tana = √(1/sin2a – 1))
= 1/(sina)√(1 – sina2) = 1/(sin)cos = 1/(sinacosa)] ;
Dn ln(tan a) = (1/2)/(sina cosa) = 1/(2sina cosa = cos2a ¦ VST13]) = 1/cosx
Således INTEGRANDEN ÅTER.
Svar: 1/cosx dx = ln(tan x/2)
Integralt Rotkomplement (a) —
1/√1+x2
dx = ln(x+√1+x2) ¦
1/√x2±a dx = ln(x+√x2±a)
— Vi använder (här) omväxlande beteckningssätten ”Dn” och ” ’ ” för ”derivatan (till)” typ Dn x = x’:
HYPERBELINVERSENS INTEGRAL — PREFIXxSIN — Integralen för 1/√1+x2:
DEN YTTERST ENKLA LÖSNINGEN genom substitution och bekantskapen med Formlagarna — R = √1+x2:
; 1/R = (R+x)/R(R+x) = [1/(R+x)](R+x)/R = [1/(R+x)](1+x/R) ;
; 1+x/R = Dn(x+R) = Dnx + DnR = x’ + R’ ¦ EXP4 ¦ EXP7 ;
; 1/R = (x+R)’/(R+x) = Dn ln(x+R) ¦ LOG5 .................................. ;
; 1/R dx = ln(x+R)
DEN YTTERST KOMPLICERADE LÖSNINGEN:
I grundintegralerna
ser vi att typen 1/√(1+x2) inte alls har någon representation. Uttrycket ARCUSBEGREPPET finns emellertid i Arcuskonversionerna ¦ Trigonometrins tangensformer som
1/√(1+x2) = sin atan x. Det ger en möjligt ansats:
INTEGRAND: 1/√(1+x2)
UPPGIFT: Bestäm integralen för den angivna trigonometriskt associerade integranden
1/√(1+x2).
GRUNDSAMBAND: 1/√(1+x2)
= sin atan x ;
Differentialtransformationer: Variabelsubstitution — enskild faktorterm
ersätter mera sammansatt uttryck för enklare mellanräkningar:
Vi söker en passande omformning:
tan x = t ;
x = atan t ;
sin x = sin atan t ;
= 1/√(1+ t2) ;
Integration på dt kräver en reguljär differentialtransformation. Vi får
dt = d(tan x) = Dn tan x dx = (sin x)–2 dx ; sammanställning ger ;
sin atan t dt = sin x dt
=
sin x (sin x)–2 dx ;
= (sin x)–1 dx
= 1/√(1+ t2) dt ;
dx/sinx = dt/√(1+ t2) ;
Med återställningen t = tan x har fått två likvärdiga integraler
dx/sinx =
dt/√(1+x2) :
Lösningen till integralen ò1/Ö(1+ t2) dt återfaller på en lösning till integralen ò (sin x)–1 dx med t = tan x.
Vi återkommer till den delen senare.
— Härledningen till integralen för 1/(R=√(1+x2)) blir fortsättningsvis:
SÄRSKILDA TRIGONOMETRISKA SAMBANDET STS(8)
inom trigonometrin, ekvivalenterna
tan(a/2) = √ (2/[1 + sina]) – 1) hjälper oss vidare:
[tan(a/2)]2 = 2/(1 + sina) – 1 ;
• Vi utnyttjar differentialtransformationen från secans integral
a = (π/2)–x ;
b = – x/2 ;
a/2 = b = (π/2 – x)/2 ;
• Konvertering från a till x genom a = π/2 – x ¦ A° = 90° – B° ¦ x = π/2 – a :
2/(1+sina) – 1 = (2 – [1 + sina])/(1 + sina) = (1–sina)/(1 + sina) ;
; sin a = cos x ; sinA = cos(90-B); 1 = sin2 + cos2 = x2+y2:
= (1–cosx)/(1+cosx) = (1–cosx)[1+cosx]/[1+cosx](1+cosx) = [1 – (cosx)2]/[(1 + cosx)2] → Konjugatlagen;
= (sinx)2/(1+ cosx)2 = [tan (a/2)]2 ;
tan (a/2) = (sinx)/(1+ cosx) ;
Grundkonversionerna 1/sin = √ 1+
tan2 ;
Förenkling — vi utnyttjar grundsambanden från trigonometrin i slutleden: cos/sin=tan=y/x:
1/tan(a/2) = (1+ cosx)/(sinx) = secx + tanx = tanx + √ 1+ (tanx)2 ;
Resultat:
1/tan(a/2) =
tanx + √
1 + tan2x ;
ln 1/tan(a/2) = ln(tanx + √ 1 + tan2x)
= –ln tan(a/2) ; Logaritmlagarna (9.1) : ln(A)=–ln(1/A); ln(1/A)=–ln(A);
–ln tan(a/2) = –ln tan b = –ln[tan (π/2 – x)/2]
Enligt secans integral föregående resultat hade vi
–ln tan b = 1/sinx
dx
Insättning av ekvivalenten till –ln tanb i ovanstående led ger oss alltså
1/sinx dx
= – ln tan b =
ln(tanx + √ 1 + tan2x)
Med tan x=t hade vi RIaMR från början de likvärdiga integralerna
1/sinx dx =
1/√
1+ t2 dt
Insättning av ovanstående ekvivalent ger oss
1/sinx
dx = ln (tanx +
√ 1 + tan2x)
=
ln (t + √1+ t2) = 1/√1+
t2 dt ;
1/√1+
t2 dt = ln
(t + √1+ t2)
De bägge sista leden har så visat svaret:
— Vi kan direkt ersätta t med x i leden ovan vilket ger oss
1/R
dx = ln (x+R); R = √1 + x2 ;
1/√1+x2
dx = ln (x+√1+x2)
:
Tvivlar vi på resultatet genomförs en oberoende prövning;
ÅterDERIVERING Ger : LOG5 :
Dn ln(x+R) = (1+xR–1)/(x+R) = R–1(x+R)/(x+R) = R–1
Således INTEGRANDEN ÅTER.
Svar: 1/√1+x2
dx = ln(x+√1+x2)
BONUS:
Återderiveringen via R = √1+x2 visar oss att koefficienten (1) är egal: rotinnehållet 1+x2 eller ±a+x2 går på ett ut;
Svar: 1/√x2±a+
dx = ln(x+√x2±a)
Se även det betydligt enklare integrala utvecklingssättet för integranden ovan i ROTUPPDELNING—Exempel1:
— Den enkla kraftfulla PEFECD-METODEN som finns — men inte existerar (!) — i modern akademi.
Hyperboliska Produktintegralen — x2/R
dx = (1/2)[xR
a ln(x + R)] ; R
= √x2±a
PARTIELLA INTEGRATIONENS KRAFTFULLA METOD — Hyperbelns integral från biprodukter genom Partiell Integration Metod 2:
Utvecklingsexempel som — i jämförelse med samma resultat
via andra, mera omständliga metoder, länkar ges nedan — visar kraftfullheten i
PARTIELL INTEGRATION Metod 2:
:
INTEGRAND: x2/√x2±a
UPPGIFT: Bestäm via Metod 2 Partiell Integration integralen för den sammansatta integranden
x2/√x2±a.
GRUNDSAMBAND: AdB
= AB –
BdA
; PARTINT Metod 2: Vi
använder EXP7 ¦ LOG5:
Lösning:
B = R = √x2±a = (x2±a)1/2 ; R = (P)1/2 · P/P = (P)–1/2 · P = (x2±a)/√x2±a = x2/√x2±a ± a/√x2±a = x2/R ± a/R ;
Dn R = d(R=B)/dx = Dn (P)1/2 = (1/2)(P)1/2–1=–1/2 · [(P)’ = 2x] = (1/2)(x2±a)–1/22x = x/R ; EXP7
dB = x/R dx ............................................................................................................ ;
A = x ;
x2/R
dx = xR –
Rdx
..................................................................................................... ; (1)
= xR – (x2/R ± a/R)dx
= xR – x2/R dx
a
1/R dx
;
2 x2/R
dx = xR
a
1/R dx
; 1/R = (R+x)/R(R+x) = [1/(R+x)](R+x)/R = [1/(R+x)](1+x/R) ;
; (1+x/R) = Dn(x+R) = Dnx + DnR = x’ + R’ ;
; 1/R = (x+R)’/(R+x) = Dn ln(x+R) ¦ LOG5 .................................. ; (2)
; 1/R dx = ln(x+R) ¦ Jämför
metodiska lösningen i IRa:
1/R dx = ln(x+R)
=
xR a ln(x+R) ;
Resultat:
x2/√x2±a dx = (1/2)[x√x2±a
a ln(x + √x2±a)] =
x2/R
dx = (1/2)[xR
a ln(x + R)] ; R
= √x2±a.
BONUS (1) — Hyperbelns integral (automatiskt generaliserad):
Rdx = xR –
x2/R
dx
=
xR – [xR/2
(a/2)ln(x + R)] = xR – xR/2
± (a/2)ln(x + R)
= xR/2 ± (a/2)ln(x + R) ;
BONUS (2) — Integrala Rotkomplementet a IRa på mycket enklare sätt:
1/R dx = ln(x+R)
; R = √x2±a
:
Tvivlar vi på resultatet genomförs en oberoende prövning;
ÅTERDERIVERINGEN av (1/2)[x√x2±a a ln(x + √x2±a)] Ger ;
Dn x√x2±a =
x[ (1/2)[1/(√x2±a)](2x) ] +
[√x2±a]
= x2/R + R ;
Dn a·ln(x+√x2±a) = a[ Dn(x+R)/(x+R) ]
= a[ (1+[x/R]
)/(x+R) ]
= a[ 1/R
] ;
summering: =
(1/2)[x2/R + R a/R]
= (1/2)[x2/R + R2/R (–+) a/R]
= (1/2)[x2/R + [R2 (–+)
a]/R]
= (1/2)[x2/R + [x2±a (–+) a]/R]
= (1/2)[x2/R + [x2]/R]
= (1/2)[2x2/R]
= x2/R
Således INTEGRANDEN ÅTER
Svar: x2/√x2±a dx = (1/2)[x√x2±a
a ln(x + √x2±a)] ;
Hyperboliska
Produktintegralen
√x2±a dx = x(√x2±a)/2 ± (a/2)ln(x
+ √x2±a) ; HYPERBELNS INTEGRAL
1/√x2±a dx = ln(x + √x2±a) ; IRa ¦ (11)
Uppslaget till produktintegranden x2/R
från PI Metod 1 från RotHyperbeln (R):
:
Bestäm √ x2+a dx.
Förenkla med R = √ x2+a.
Lösning:
f (x) d[·]
= f (x)[·] –
[·]d[f
(x)] ............ Partiell integration, Metod 1
f (x) ................................................................ = R = √ x2+a
[·] .................................................................. = x
R dx = xR –
x dR
Differentialtransformation, högerintegralen:
dR = Dn R dx = x/R dx ; insättning ger
R dx = xR –
x2/R dx
.............................. ;
→ x2/R :
— Se vidare i Hyperboliska Produktintegralen — hela lösningen visar sig genom PARTINT Metod 2.
Första Systemintegralen Si1 ELLER »matematikens grundläggande maskinlära» enligt
INTEGRALERNAS ARITMETIK — xc(Axa + Bxb)n
dx
1997IX27 · 2001III — Binomialteoremets BT Integralaritmetik — numerisk och algebraisk djupanalys till matematikens praktiska användbarhet.
De raka enkla integranderna av formen xc(Axa + Bxb)n har — här veterligt 2018+ — ingen direkt konventionell representation. Wikipedia (Jan2019, Lists of integrals) har en enda närmaste representant ”Absolute value-functions” av formen ”(ax+b)n”. Det är allt.
Det finns (säkert, kanske) mera kött på benen i andra delar, typ
MATHEMATICAL HANDBOOK FOR SCIENTISTS AND EGINEERS Appendix E Integral Tables p925-,
McGraw-Hill Second Edition 1968 — sektioner E-1 till E-9 (Summor och serier från E-4).
Men inget är här känt om dessa ev. förekomster (Biblioteken har för länge sedan magasinerat de klassiska »tegelstensböckerna» från 1900-talets typografiska guldålder — om de alls finns kvar).
Första systemintegralen är — emellertid — relativt lätt att härleda med hjälp av Binomialteoremet. Se Si1-Härledningen.
—
Enda skillnaden i att x^c finns med/utesluts är högerledets respektive an+c+1
eller an+1:
SummaINDEXERINGEN har innebörden FRÅN undre
m=0 TILL övre n — i rak form: m=0→n.
— Med
n<1 ges oändliga serier. Se tillämpade exempel nedan..
Webbläsarna klarar
inte naturvetenskapen:
KOLLA SVÅRIGHETERNA ATT PRESENTERA ÄMNET @INTERNET :
Bildoriginalet från MsWorks 4.0 importerat till htm-dokumentet i WORD 2000:
MOTSVARANDE I WEBBLÄSAREN — IE9 — fram till 2015 — Även
GoogleCHROME 2015+ bortsett från Chromes suddiga text:
KORRIGERINGEN SOM MÅSTE GÖRAS i WORD-htm-dokumentet för
korrekt läsbarhet — författarens trevliga dokumentvy:
MOTSVARANDE SLUTLIGT UTSEENDE I WEBBLÄSAREN (i varje fall
t.o.m. Dec2018):
Jämför aktuell webbläsare, htm-originalet här:
= An([(xan+c+1)/(an+c+1)] + m=0→nΣ [[(B/A)(n–m)]m!x(b–a)(m+1)+an+c+1]/[[(b–a)(m+1) + an + c + 1] (m+1)!])
EN HEL DEL AV ORIGINALARBETENA i MsWorks 4.0 har på detta sätt mer eller mindre spolierats av Internetvärldens olika tydligt IMPERIALISTISKT FÖRETRÄDDA KöpListaLäsare (klarar — knappt — 0123456789): Matematiken GRATIS är urdåligt representerad: klumpig, rent ut sagt FUL. Det FINNS enkla typsnitt — Times New Roman + Symbol. Men webbläsare i allmänhet är inte utformade för att ta med fingraderna utan skalar bort det mesta i nivåpresentationer och storlekar — för att mera prioritera det verkliga glädjeämnet: allmänna globala slaveriets utbredning: mera vinst, mera makt. SAMT att en del webbläsare (FIREFOX särskilt) INTE läser Symbol, alls — vad exakt Firefox läser är här inte känt (De bevisligt överlägset rent kulturellt utbildade programmakarna funderar på att utesluta Times New Roman också, eller?). Det är i vilket fall — så bevisat — INTE en webbläsare anpassad och utformad för naturvetenskapliga presentationer som kan produceras av vem som helst med internetabonnemang.
— För att undvika GLIDNINGAR, TABBFÖRSKJUTNINGAR och andra olika olägenheter som en del webbläsare envisas med i deras glada köptävlingar med att — SÅ — förstöra så mycket som möjligt av kunskapsinnehållet, har här bildkopior lagts in från originalen (de flesta perioden 1994-2006: Windows 3.1, Windows 95, Windows XP) — ev. tillsammans med raka kopierbara textversioner där så är påkallat.
S1 ¦ S2 ¦ S3
¦ S4
¦ S5
¦ Se även sammanställning i kalkylprogram
FÖRSTA SYSTEMINTEGRALEN i Tillämpade
EXEMPEL
— kraftfulla verktyg i
matematikanalysen:
• ALLA INTEGRALA LÖSNINGAR HÄR BLIR DIREKT BESTÄMDA EFTERSOM SERIELEDET ÄR FAKTORISERAT x-BEROENDE: integralen=noll om x=0.
• Fallen an+c+1=0 och (b–a)(m+1)=0 ger division med 0 — systemintegralen är inte (direkt) tillämplig för dessa fall.
• Systemintegralen kan INTE ge formen för ln x direkt eftersom den integralen är obestämd — däremot är integranden 1/(1+x) OK. Se exempel.
• x-värden större än 1 får seriesumman att växa över alla gränser. Se följande exempel.
• n-värden mindre än 1 garanterar oändliga seriesummor.
I modern akademi — BinomialTeoremets strukturkomponent stryks [‡] — kan systemintegralen inte utvecklas. Sättet
man skriver BT på komprimerat i den moderna akademins lärosystem utelämnar —
stryker, korrumperar, punkterar — kärnan: den fristående avgörande separata
strukturkomponenten (m+1)!. Formen kan inte användas — utom SÅ för formerad-dikterad statistik och kombinatorik. Jämför:
relaterad matematik — EULERS EKVIVALENTER — NOLLFORMSALGEBRAN:
(a+b)n = an[1 + m=0→nΣ [(b/a)(n–m)]m!/(m+1)!] ; a¦b¦n ; (1+1/∞)∞ = 1 + m=0→∞Σ [(1/∞)(∞)]m!/(m+1)! = 1 + m=0→∞Σ [1]m!/(m+1)!
= 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ... + 1/m! = e = 2,718 ...
modern akademi — MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s45-47
— Ordet BINOMIALTEOREM ingår f. ö. inte alls i källans boktext:
(a+b)n = an[1 + m=0→nΣ (b/a)mn!)/[(n–m)m!]] ; a¦b¦n ; (1+1/∞)∞ = 1 + m=0→∞Σ (1/∞)m∞!)/[(∞–m=∞)m!] = 1 + m=0→∞Σ 1/∞
= 1 + 1/∞ + 1/∞ + 1/∞ + 1/∞ + 1/∞ + ... +1/∞ = 1+ 0 = 1:
Punkter — dx = x/∞ = x · 1/∞ = A/∞ ≠ Δx = x/(n→∞) — kan inte adderas; det existerar inga oändliga mängder: MÄSTARLOGIKENS HUVUDSATS i relaterad matematik och fysik. Existerar inte i den moderna akademins lärosystem. I princip: grundligt bannlyst. Se även i ALLA TAL.
RESULTATBILD — MED BEVIS:
— Den moderna akademins matematiska idé STÄNGER VÄGEN FÖR människans fulla och fria INTELLEKTUELLA UTVECKLING [‡].
Det är en bevisbart trångsynt, inskränkt, träaktig, smalspårig, enögd, enbent existensföreteelse vars främsta bevisliga landvinning är omfattande naturmord.
— Kommunikationerna 1800+ ställdes in. Den korresponderande gemenskapen avlivades. Mänskligheten inträdde i den mänskliga kulturhistoriens allra mörkaste period. Jämför det moderna sättet att härleda e i Citat. Se även vidare i HÄRLEDNINGEN TILL FÖRSTA SYSTEMINTEGRALEN.
Vad gör Modern Akademi för fel i BT-ledet? Uttryckssättet med typen ”n över k” beskrivs f.ö. i bokkällan ovan på s45 (”binomialkoefficienter”);
binomialteoremets ekvivalenta
strukturform:
(b/a)m+1(n–m)!/(m+1)!; Exponent-Koefficientformen T/N = (n–m)!/(m+1)!;
BinomExponenten n insatt
i nämnarledet eliminerar naturliga strukturkriteriet: naturprocessernas
e-logaritmiska differentialekvationer. Se Den
Högre Analysen.
— SVAR: [‡] ”Att övervinna sin mänskliga begränsning och bli herre över universum”, ”Transire suum pectus mundoque potiri”: Fascistattityd. Relaterat.
Det är inte formalian som sådan; Matematiken är aldrig fel. Problemet gäller ATTITYDEN bakom: Den moderna akademins lärosystem 1800+:
Det är inget FEL i att formulera algebra och aritmetik som en typ ”Manipulerad Matematik” — om man klart och tydligt ANGER ATT SÅ ÄR FALLET. Att däremot upphöja tilltaget såsom kriterium på Speciellt Glänsande mänsklig Intelligens är något helt annat — och att också påtvinga studenter, mänskligheten, och elever att MERITERA I BETYG på sådant bevisligt fascistinspirerat kulturellt kloakutflöde: hävden i manipulerande överhet. Kulturmord: naturvandalisering.
Hur så? Den
uppenbara, här direkt bevisliga, avsaknaden av inblick i naturläran i den
moderna akademins lärosystem, med motsvarande kaxhävder.
— STRUKTURKOMPONENTEN — den fundamentala naturliga icke-manipulerade strukturella ordningen — i BT-ledet är ENTYDIGT RESERVERAD FÖR NUMERISKA KOEFFICIENTER i nämnaren (m+1) — inte täljardelar exponentiella (n). Införs täljarfaktorer (n) i nämnardelen, spolieras grundordningen.
— Varfördå?
— Därför — relaterad matematik och fysik TNED, Eulers Ekvivalenter — att BT-ledet innefattar naturliga logaritmens — talet e:s — fundamentala struktur såsom grundläggande fundamental för alla fysikaliska naturliga processer — naturliga strukturer — genom ett TIDSBEROENDE (t):
— dF/dt
leder till e-logaritmiska DIFFERENTIALEKVATIONER — varianter
och universaler BT-ledets grundval — som beskriver hela floran
av alla möjliga naturprocesser. Och därmed deras STRUKTUR — efter den enda
(förbannade) härledbara matematiska grundordning som alls existerar i
universum:
BT-ledet, Eulers Ekvivalenter.
— Genom att en exponentfaktor (n) införs i nämnarledet,
spolieras den naturligt strukturella ordningen. Och e framträder inte
längre: naturstrukturen är raderad. Det S5 är beviset.
Resultatbild:
NATURSTRUKTURERNA PREMIERAR INTE modern akademi: lärosystemet som utesluter naturstrukturerna för att hävda egen natursuveränitet på statistikens bevisligt manipulerande grunder. Naturen premierar Inte Kalhyggen: människans och djurens utveckling genom en Naturskog — icke modernAkademiskt Manipulerad Existensgrund — bevisar Det: Modern Akademisk Intelligens främjar NaturTeknikFientlig Marknad&Produktion — inte naturharmoni. Naturen premierar Inte Uppfunna Akademiska Strukturbegrepp såsom intelligensens mest högtstående. Säg igen. Lägg fram bevisen.
Naturordningen är Rättslära. Matematikgrunderna. UDHR10Dec1948. Rätten att få utvecklas som människa. Inte någon (förbannad) skyldighet att påtvingas utveckling som privat världsakademisk nationell ägodel: STATSFÖRVALTNINGENS FÖRBANNADE SKYLDIGHET ATT FRÄMJA PERSONLIGHETSUTVECKLINGEN men som åsidosätts för andra intressen: