Cheops Rektangel IIIbA1

CHEOPS REKTANGEL IIIbA1 ¦ TYNGDCIRKELN | 2018XII24 | a production | Senast uppdaterade version: 2019-08-19 || ·

innehåll · webbSÖK äMNESORD på denna sida Ctrl+F · sök ämnesord överallt i SAKREGISTER · förteckning alla webbsidor · JordSyret · CHEOPS REKTANGEL I ¦ II ¦ III

I Fortsättning från Från : Solsystemen i VINTERGATAN : med KOMPLEMENTÄRA DOKUMENT

Nov2018-Jan2019: INTEGRALREFERENSER ¦ Si1 — Första Systemintegralen ¦ Si1-Exemplen

Bakgrund i sammanfattning med länkar — Sep2018-Feb2019 ¦ CheopsRektangelns CirkelEllipsPerspektivBevis — etablerat okänt

Tyngdcirkeln: STATISKA TYNGDCIRKELNS HÄRLEDNING

TYNGDCIRKLARNAS FYSIK I MODERN AKADEMI

TYNGDCIRKLARNAS INTEGRALA MATEMATIK

HUR MODERN AKADEMI FÖRSTÅR ÄMNETS NATUR. Vi studerar det. Noga.

• Genombrott i Solsystemets detaljerade förklaring i Vintergatan — impulsmomentets matematik förklarar

• Gyrofysiken får en heltäckande utförlig förklaring — stundtals rena villervallan i MAC

• Tyngdcirkelns matematiska fysik klarläggs ingående — MAC missar förklaringen

Länkade rubriker:

Speciella avsnitt i matematiken framträder som förtydligar och klargör elementära kopplingar till fysiken: Hur och varför matematiken visar sig som den gör. Ett centralt Exempel visas här i inledningen till EXEMPLEN: Varför den moderna akademins lärosystem har så svårt att verkligen FÖRKLARA för naturbarnen varför och hur saker och ting fungerar som de gör i matematikens underbara värld.

INLEDNING:

STATISKA TYNGDCIRKELN — HÄR GENOMGÅENDE ANVÄND BETECKNING FÖR TYNGDRADIE: r, ”ru”

Elementära fysikbegrepp i Universums Historia

—————————————————————————————————————————————————————————

TYNGDCIRKELN R = R/√2 ¦ R¦r, ”ru”, eng. »ArEYOu».

Detaljer vi bör känna till: Matematiken från början med FORMLAGARNA och NOLLFORMSALGEBRAN med elementära INTEGRALA EXEMPEL

STATISKA TYNGDCIRKELN FRÅN STATISKA MOMENTET M = Fr:

—————————————————————————————————————————————————————————

r = √ (R² + r²)/2:

Reella fysiska motståndet mot rotation:

M = Fr roterande ¦ polära ringens vridmotstånd

KRAFTEN ÖVER VÄGEN — tiden för att accelerera upp m-ringen med given kraft F:

—————————————————————————————————————————

a = v/t ; t = v/a = (2πr/t)/a = r(2πf )/a = r(2πf )/(a=F/m) = mr(2πf )/F ¦ f = Hz, antal varv/S

——————————————————————————————————————

Jmfr. konv.: ”tröghetsmoment” — se BETECKNINGAR:

——————————————————————————————————————

Ĵ = mr² ¦ M = Fr ¦ M/Ĵ = mar/mr² = a/r = α ¦ t = ω/α = (2π·RPM/60)/(M/Ĵ) = r(2πf )/a

—————————————————————————————————————————

SMEN:

Jämför WikipediaCitatet

Ämnets elementära klargörande har tydligen undgått den moderna akademins skarpsinnen.

MODERN AKADEMI FÖRSTÅR UPPENBARLIGEN INTE kan inte relatera och klargöra ÄMNET — om inget främsta synligt litterärt har missats.

— Notera det för undvikande av alla möjliga missförstånd: Det är ALDRIG fel på matematiken. NoWay. Problemet är att fattningen på naturinnehållet 1800+ har ockuperats av typen ”människan har skapat matematiken” = Automatiska Merit&Betygssystem = garanterat noll utrymme för NaturStudium = fängelse:

— Omfattande miljömord. — »Städpersonal sökes», förefaller det som att Naturen vill uttrycka saken.

ÄMNET GÄLLER uppenbarligen INTE — ej, icke, neh, Nej, NEJ, Nopp, osv. — r²-integreringar eller dito summeringar — de etablerade textböckernas manualer till trots — vänta bara ska du få se;

INTE Ĵ = mr². Utan istället mr — Via M = Fr = mar:

— Kraften F över radien r — energierna i momenten M=Fr med deras momentarmar (r). Inte r-kvadraterna.

Vi studerar det — se särskilt beviset genom WikipediaCitatet.

BevisEx:

STATISKA MOMENTETS REDAN ETABLERADE NOMENKLATUR

BEVISEXEMPEL — det allra enklaste med anknytning till redan väl kända applikationer under minst 100 år:

— Vi skiljer här på beteckningarna M (fetstil, Statiska Momentet) = Fr och M (meterEnhetsbeteckningen) och låter resten förklaras av sammanhanget.

— En jämntjock PLÅT har massan per ytenhet 1KG/M². Dess kantform begränsas av kurvan y=f (x) och vertikallinjerna x=a (minsta) och x=b (största), samt horisontlinjen y=0.

— Bestäm plåtens statiska moment M med avseende på y-axeln. Använd standard MKSA-enheter.

Lösning:

Φ = F/x¦y¦z ; allmän beteckning för Kraftfaktorns olika dimensionsreferenser för integrallösningar

Φ = F/xy = F/A = ma/M² ;

Φ = F/A ;

F = ΦA ;

dF = Φ dA = Φ · y · dx ;

M_Y = Fx ;

dM_Y = dFx = Φ · y · dx · x ;

dM_Y = Φ · xy · dx ;

Vi sätter y=f (x) = konstant k=1M :

dM_Y = Φ · x · 1M · dx ;

Plåtlösningen — x=a¦b:

— Insättningsgränserna b→a från största till minsta: största=b minsta=a:

M_Y = ΦM · b→ax dx ; [EXP7] direkt bestämd integral via M=0 om x=0:

= ΦM · (b² – a²)/ 2 ; Φ = (N=KG·M/S²)/M² = KP/M² ; 1KP=1KG·9,81M/S² ;

= ΦM · (25 – 16 = 9)/2

= ΦM · 4,5 M² = 4,5 NM

Ringlösningen — x=R¦r; b=R, a:=–a=–r:

— Insättningsgränserna b→a från största till minsta: största=b minsta=–a:

M_Y = ΦM · b→–ax dx ; Integralens lösning [EXP7]

= ΦM · (b² + a²)/ 2 = Fr ;

NM = NM/r² ...

1 = 1/r² ...

r² = (5² + 4² = 41)/ 2 ; STATISKA MOMENTETS planringens tyngdcirkelradie

r = √ (R² + r²)/2

= 4,52 769 25 69 M ; STATISKA TYNGDCIRKELN vidare nedan.

Saken gäller — tydligen som det får förstås — ett DISTANSMOMENT:

— Kraften öven vägen: F över (gånger) r. Inget annat. Motståndet mot Det: Fr. Inget annat.

— Rotationscirkeln som samlar/definierar hela kroppsformens ROTERANDE massekvivalent.

»PLÅTSEKTIONEN» ovan i figuren — symmetriskt omkring y-axeln som rotationsaxel — beskriver i vilket fall EXAKT SAMMA diametralt jämviktande TVÄRSNITTSMOMENT GENOM EN RING MED innerYTTERradierna ab — MASSOBEROENDE.

— What’sUp, ”tröghetsmomentet mr²”? Här finns inget ”mr² måste summeras/integreras”. r. Inte r².

M_Y = ΦM · R→–rr dr ;

Nämligen så: I moderna kvarter GENERALISERAR man behandlingssättet genom

(FM-källan i citatet nedan använder J, här används j-flexet)

vridmoment M = Fr = m(a=w²/r=[2πr/t]²/r=rω’)r = mr²ω’ = Ĵω’

SEDAN integrerar MAN genom kraftfaktorn (Φ) med mr² som leder till en integrand r³ dr som ger lösningen r⁴/4 — VAREFTER man GÅR TILLBAKA TILL kraftfaktorn (Φ) och LÖSER TILLBAKA GENERALISERINGEN med resultat i ett r². Jätteintressant.

— Jag har det: Varför inte, istället, ta fram en kortlek, dela ut korten, och spela poker, istället, med matteeleverna?

— Rent matematiskt-integralt FÅS EXAKTA SAMMA SLUTRESULTAT. Exakt. Men förklaringen via generaliseringen blir helt galen:

” .. blir definitionsekvationen

J = ∫ r² dm

Summeringen måste utföras med en integral eftersom antalet masselement är oändligt.”,

FM1975s62sp2ö

” Storheten mr² måste därför motsvara den tröga massan m i ekvation (16) [F=ma];

den måste vara ett mått på det motstånd partikeln gör då vridmomentet sätter den i rotation. Denna storhet kallas partikelns tröghetsmoment med avseende på den givna rotationsaxeln.”,

FM1975s62sp1mn

— No mother god loving way:

— Masströgheten är och förblir det RENA m:et: Kraften (F) över vägen (r). Bevisbart i detalj.

STATISKA TYNGDCIRKELNS ENKLA GRUND bevisar det också vidare. Se WikiCit särskilt jämförande citat från Wikipedia: vi jämför ekvationssätten och bevisar sammanhanget i detalj.

Modern akademi kan — heller — inte hantera differential, derivata och integralkalkylen. Se utförligt med exempel och jämförelser i NOLLFORMSALGEBRAN om ej redan bekant.

Ovan motsvarande klargörande i etablerade kvarter har eftersökts men ännu inte påträffats, Dec2018.

Genomgången visar att den etablerade synen på saken, milt sagt, lämnar en del övrigt att önska: Folket i moderna korridorer har uppenbarligen INTE förstått grunden till konceptet — med största sannolikhet beroende på det hängivna moderna akademiska beundrandet för den moderna akademins egenhändigt ihopsnickrade s.k. vektorkalkyl[‡]. Den, som vi ockå i andra sammanhang har sett vränger det mesta av DJUPFÖRKLARINGARNA. Ungefär som C-språket i datorsammanhang i förhållande till Assembler: C-programmering kan INTE specificera logiken i atomistisk detalj, medan Assembler — direkt CPU-kommunikation med HEX-kod — gör det med enorm pace. Varför då C, alls? Därför att SLARVPELLARNA inte gillar — blir överkörda av — NOGA. ”Assembler är jobbigt” = ”NOGA är besvärligt”.

Absolut gärna rätta om fel.

————— ‡

EXEMPEL: magnetismen ¦ induktionen ¦ centralrörelsen.

Se vidare med integrala exempel i RingenStångenSfärenKonen.

Beteckningar: 23Dec2018

GRUNDREFERENSER TILL GYROFYSIKENS ELEMENTÄRA MATEMATIK — enligt relaterad fysik och matematik i Universums Historia

BETECKNINGAR MED INTEGRALA EXEMPEL

JÄMFÖRANDE FRAMSTÄLLNING

BETECKNINGAR I RELATERAD FYSIK (TNED) associativa beteckningar om möjligt

KONTRA ETABLERAD LITTERATUR (Wikipedia Dec2018, List of physical quantities ¦ physical constants)

NEDANSTÅENDE TABELLERADE BETECKNINGAR ANVÄNDS INTE GENOMGÅENDE — OLIKA KÄLLOR ANVÄNDER OLIKA.

——————————————————————————————————————

storhet beteckning enhet

————————— ————— —————

omloppshastighet w M/S ¦ 1/t = f , Hz

= 2πr/t = ωr

vinkelrotation ω 2piVarvtalet¦1Hz=2πrad/S

= 2π/t = 2πf

acceleration a M/S² ¦ α = a/r = ω’

= dw/dt = r(dω/dt) = rω’ ¦ rad/S² ¦ = w/t = 2πr/t² = (2π/t²)r = α · r

Boltzmanns konstant b J/°K

impuls [impetus] p NS

= mv = Ft

rörelsemängd, linjemoment, eng., (linear) momentum.

impulsmoment J ¦ konv. L JS

= mvr = mr²ω = Ĵω

rörelsemängdsmoment, vinkelmoment, eng., angular momentum.

konv. tröghetsmoment I ¦ J M²KG

= mr²

konv. eng., inertial momentum, moment of inertia, rotational inertia, angular mass

integralmoment Ĵ M²KG ¦ Ĵ j-flex

j-flex ingår explicit inte i den moderna akademins vokabulär

dĴ = dm r² — kräver differentialtransformation för lösning till fysikens olika problemområden:

Relaterat: KROPPARS ROTATIONSTRÖGHET: Egentliga fysiska tröghetsmomentet är vridmomentet M:

MEN GENOM ATT ETT massoberoende INTEGRALMOMENT SAMMANFÖR STATISK OCH DYNAMISK

via praktiskt fysikaliska massformer — Konv. J, här j-flex Ĵ — som blir en allmän bekväm matematiskt integral metod för praktiskt taget samtliga fall — har begreppet (sv.) tröghetsmoment (OEGENTLIGT) etablerats som »kroppars rotationströghet» — ehuru kropparnas rotationströghet entydigt emellertid definieras av M=Fr:

vridmoment M NM

=Fr = mar = mr²ω’ = Ĵω’

statiskt moment, hävstångsmoment, eng., torque, enhet samma som Joule J

SE VIDARE UTFÖRLIG GENOMGÅNG VIA WIKIPEDIACITATET. Utförliga Exempel följer.

energi E Joule

= mw²/2 = (1/2) · mr²ω² = Ĵω²/2

induktans L VS/A, Henry

= Rt

luminositet ¦ effekt P ¦ konv.L ¦ Watt

——————————————————————————————————————

röelsemängdsmoment J = Ĵω = mvr, JS

vridmoment M = Ĵω’ = Fr, J

rörelseenergi E = Ĵω²/2 = mw²/2, J

——————————————————————————————————————

Ĵ = mr² ¦ M = Fr ¦ M/Ĵ = mar/mr² = a/r = α ¦ t = ω/α = (2π·RPM/60)/(M/Ĵ) = r(2πf )/a

—————————————————————————————————————————

Enheter (internationalMKSA ¦ 1961+):

—————————————————————————————————————————

J Joule ¦ N Newton ¦ M Meter ¦ S Sekund ¦ KG KiloGram ¦ A Ampere ¦

SÄRSKILD BETECKNING Ĵ I TNED FÖR TRÖGHETSMOMENT M²KG från J=mvr: SAMBAND:

E = Fd = J/t = mvr/t ; vridmoment, statiskt moment

v/r = a = å = w²/r = ω²r ; ω, vinkelfrekvens omega

E = Fd = J/t = mvr/t = ω²mr² = ω²Ĵ = Jf ; Ĵ: j-flex:

Ĵ = mr² = J f ω^–2 = Fd/ω² ; tröghetsmoment

Ĵω¦ω’¦ω² innefattar

STATISKA MOMENT tyngdlinjer, tyngdytor, tyngdcirklar, yttröghetsmoment (»hängstyvhet» för typ balkar, stora fartygsplåtar, etc.):

Ĵ förekommer enbart med vinkelfrekvens ω

i olika sammanhang enbart med 2piFrekvenser = NÅGON vridande rörelse,

hur än liten vinkelfrekvens, ω med avseende på typ xyz-axlar (axiella eller polära tröghetsmoment).

—————————————————————————————————————————

w = 2πr/t = 2πrf = 2πf r = ωr ; w²/r = ω²r ; w rotationshastighet M/S ; ω vinkelfrekvens = 2pi-varvtalet

m₀ad = mvr/t = ω²mr² ;

(m₀/m)ad = ω²r² ; vinkelfrekvensen:

ω = (1/r)√ (m₀/m)ad = 2πf ; f = ω/2π, Hz antal varv per sekund

tyngdcirklar eng. Radius of Gyration r här ”ru” — Kraften F över radien r:

r = rotationsmassans tyngdcirkelradie — tyngdcirkeln; M statisktMoment = Fd ;

F/r = Fr/r² = M/A = M/r² = Φ, grek. Fi associativt vald beteckning — Φ = F/x¦y¦z kraftfaktorn:

F/r = Φ ;

M = Fr ;

dM = d(Fr) = dF · r ;

dM = dF · r ;

F = Φr ;

dF = d(Φr) = Φ ·(dr=dr) ;

dF = Φ · dr ;

dM = Φ · dr · r ;

dM = Φ r dr ; statiska momentets ENDIMENSIONELLA differentialekvation : Φ = F/x

TyngdCirkelRadieBegreppet relaterat: ideala geometriska/matematiska orten för en roterande kropps idealt samlade kropps(mass)form: tyngdcirkeln r »ru».

— Momentarmen r med pålagd kraft F bestämmer momentenergin M=Fr i kroppens reaktion på — trögheten mot — rotation.

— Grundformen är cirkelskivans tyngdradie som delar/definierar skivytan A=piR² i två lika halvor 2pii²=A=piR²: r² = R²/2; r = R/√2 = R.

— Den roterande cirkelskivan reagerar på rotation som om hela dess kroppsmassa är koncentrerad i cirkeln med radien R:

M = Fr = mar = m(w/t = 2pir/t² = rω’)r = mr²ω’ = Ĵω’; Ĵ = mr² = r²(m/N)N = m(r²/N)N = (mr²/N)N ≠ m(r₁²+r₂²+...+r_N²).

Notera etablerade referenser: ytterst svårgenomträngligt ämne i etablerade kvarter.

Här görs ett försök att bryta isen genom att relatera ENKLA grunder — i jämförande etablerade utdrag. Vi fortsätter först på ovan inledda led:

IntegralTCR:

Integralmatematikens sätt för TCR = r:

: Bildoriginal — webbläsarna kan inte hantera den typen: FÖRENKLAT — integraltecknet i ArialBlackSize25;

Insättningsgränserna MÅSTE BEAKTAS SÄRSKILT FÖR TYNGDCIRKLARNAS INTEGRALER — se särskild beskrivning:

M = Φ R→–rr dr ; KONV. statiska momentets integralform ¦ Φ = (F=ma)/x¦y¦z

dM = (M/r²) r dr ; r² = R²/2 ; dr² = d(R²/2 ) = dr² = r dr ;

d1 = (1/r²) r dr ; dr² = dr² = r²/∞ = r²/∞ = r r/∞ = r r/∞ = r dr;

dr² = r dr ; STATISKA tyngdcirkelns differentialekvation

r² = R→–rr dr ; RINGSUMMAN förklarar insättningsgränserna

r = √ R→–rr dr ; [EXP7] STATISKA tyngdcirkelns integral: [R²—0 — (—r²—0)] = R²+r² :

= √ (R² + r²)/ 2 ; R största, r minsta = 0 om hel skiva utan hål.

INTEGRALEN ÄR DIREKT BERÄKNINGSBAR eftersom r=0 om R=0.

— Se Bestämda och Obestämda Integraler om ej redan bekant.

M = Fr ; F=ma KAN anges direkt i materialets TYNGD = KiloPond: 1 KP = 1KG × 9,18 M/S² = 9,81 Newton.

= M1 + M2 + M3 + ... + MN

= (Fr)1 + (Fr)2 + (Fr)3 + ... + (Fr)N

= (F√ [R²+r²]/2)₁ + (F√ [R²+r²]/2)₂ + (F√ [R²+r²]/2)₃ + ... + (F√ [R²+r²]/2)_N

Noggrant klargörande exempel genomgås i huvudtexten.

KLARGÖRANDEN SAKNAS I ETABLERAD LITTERATUR

RELATERAD FYSIK — integralmomentet:

INTEGRALA MOMENTET Ĵ — kropparnas tyngdrelaterade integralmoment

statiska och dynamisk är inte samma — modern akademi kan inte klargöra naturdomänerna

— Genom att DYNAMISKA tyngdcirkelbegreppet kräver MASSA (m) måste, tvunget, någon massa (F=ma) eller tyngd multipliceras¦associeras med varje STATISKA tyngdcirkel r² som i ledet närmast ovan: mr² om vi extraherar den gemensamma tyngdkraftsaccelerationen (a). Den formen — mr² — blir det generella uttrycket för varje särskild rotationskropps BIDRAG till en total tyngdcirkelradie som sedan erhålls som i ledet ovan; r = M/F. SÅ: faktorformen mr²=Ĵ (j-flex) MetodFORMERAR — inte definierar — samtliga möjliga dynamiska tyngdcirkelradiefalls LÖSNINGAR där varje särskilt fall UTLÖSES enligt

Ĵ = mr² ; Ĵ/m = r² ; IntegralTCR

r = √ Ĵ/m;

Konventionellt kallas (konv.bet. ofta J) j-flex-faktorn (Ĵ) tröghetsmoment: dynamiska (m) tyngdradiekvadraten:

mr² = (F/a)r² = (1/a)Fr · r = (1/a)Mr ; JM · S²/M = JS · S = J/f : impulsmoment mvr per varvtal:

— En mellanfaktor som representerar en METOD (»integralmomentet») för samtliga falls lösning:

GENERALISERINGEN för samtliga fall betyder att mr²-formen måste uttryckas på en allmän differentialekvation:

dĴ = dmr² ;

Ĵ = dmr² ; integralmomentet i relaterad fysik

där integrationskonstanten dm tvunget måste genomgå en differentialtransformation i vart särskilt problemkomplex för att få anpasslighet till aktuella storheter och dimensioner. Därmed kan integralen lösas och DYNAMISKA tyngdradien r bestämmas.

— SÅ: OM vi vill hoppa över alla FORMALITETER och gå direkt PÅ dynamiska målet, bör vi — alltid — koncentrera hemmaartilleriet till att befria dm-formen ur våndorna för r-anpassning, och sedan integrallösa.

Se fullständiga utvecklingsexempel i IntExRTC med ringens tyngdcirkel via Jflexets IntegralMoment Ĵ = ∫ dm r² — även Sfären och Konen härleds.

Statiska Tyngdcirkeln:

STATISKA TYNGDCIRKELN

Enkla övningsexempel — Grundskolematematikens sätt:

— uppgifterna kan lösas med Grundskolans matematik — med bara litet vind i ryggen:

EXEMPEL 1 — — cirkelskivans tyngdcirkel:

Uppgift:

— Försök TÄNK UT — bestämma »formmitten» — en tyngdcirkelns radie för en cirkelrund masshomogen skiva eller cylinder med radien R. — ANVÄND INTE INTEGRALKALKYLEN. Enbart grundskolans enkla samband är tillåtet här.

Lösning:

— Cirkelradien r som delar cirkelytan A=πR² i två lika halvor kan skrivas

A = 2(πr²) = πR² ; 2r² = R² ; r² = R²/ 2 ; r = R/√2 = R

SVAR: r = R/√2

— Medelcirkeln med radien r som delar skivan i de bägge lika cirkulära ythalvorna kan förstås som en skivans rent geometriska — massoberoende, statisk — tyngdcirkel i skivtjocklekens mittplan — som om hela skivmaterialet vore samlat i den ringcirkeln.

EXEMPEL 2 — — cylindriska ringens tyngdcirkel

Uppgift:

— En masshomogen cylindrisk ring med ytterradien R=5 enheter och innerradien r=4 enheter bör ha sin tyngdcirkel r någonstans mellan r¦R. Försök bestämma r.

— INTEGRALKALKYLENS LÖSNING ovan ger oss direkt

r = √ (R² + r²)/ 2 = √ (25+16)/2 = √ 20,5/2

= 4,527692569 enheter.

SVAR: r = √ 20,5/2 = 4,53 enheter.

— Vi studerar »Grundskolans lösning» alternativt nedan (läs: mycket mera innehållsrik):

RingSumma:

CIRKELSKIVANS VILLKORADE MEDELGRÄNSFORM R=R/√2 FÖR VÄXANDE-AVTAGANDE r MOT ORIGO

FRÅGA:

CIRKELSKIVANS VILLKORADE MEDELGRÄNSFORM R=R/√2 FÖR VÄXANDE-AVTAGANDE r MOT ORIGO

— Varför står det ett PLUS i integrallösningen? Normalt sker integrationen (insättningsgränserna) från största till minsta enligt regeln som här skulle vara

[R² – 0 — (r² — 0)] = R² — r² . Inte plus.

— What’sUp?

FÖRSTA DELSVARET:

— Kolla exemplet: √ (25 — 16)/2 = √ 9/2 = 2,12...

— 2,12 enheter ligger uppenbarligen långt utanför massringen, in mot centrum. Integrationen ska, i så fall, istället tydligen utföras på formen

[R² – 0 — (–r² — 0)] = R² + r² . Inte minus. Vidare nedan (interna villkor framträder).

ANDRA DELSVARET:

RINGSUMMANS VILLKOR

Tyngdcirklarnas elementära grunder —

r , ”ru”, understruket r, betecknar tyngdcirkelradien

CIRKELSKIVANS VILLKORADE MEDELGRÄNSFORM R=R/√2:

— Med ett visst antal ringar N¦Rr kan vi först kontrollera hur varje r(N¦Rr) förhåller till en helt fylld cirkelskiva r(R→0) = R=R/√2.

— Om tilläggsringens r i en summering av två ringar — nämligen — ligger UTANFÖR R måste r-summeringen göras omvänt fallet då tilläggsringens r ligger INNANFÖR R:

— Ligger maxRr-ringens r (=No1¦Rr) utanför R, kommer varje tilläggsring innanför No1 att MINSKA r1-värdet:

— r2-värdet måste i så fall subtraheras från r1-värdet, så, att resulterande r3 hamnar längre in mot centrum. Omvänt:

— Ligger maxRr-ringens r (=No1¦Rr) — eller ett föregående resultat — innanför R, kommer varje ytterligare tilläggsring innanför No1 att ÖKA PÅ senast erhållna r-värdet för att åter driva det mot R för fylld skiva,:

— r2-värdet måste i så fall adderas till senaste r-värdet, så, att resulterande r3 hamnar närmare R.

Totalt för samtliga fall med summerande Rr-ringar kan alltså följande villkor formuleras:

— Vi använder en SIGNAL faktor (s) med möjliga värden ±1 i association till varje successivt framräknad resulterande statisk tyngdcirkel rN:

— FÖREGÅENDE EN RINGSUMMERING testas sedan varje rN enligt en allmän

VILLKORSFORM för statiska tyngdcirkeln endast: Från ett största R in mot Origo:

OM r1<R: s1=—1; annars +1; OM r2<R: s2=—1; annars +1; ... : rN=R = helt fylld skiva.

Ringsummeringen görs sedan enhetligt enligt sambandsformen

r¦statiskaTCR = √ [₁(R² + r²)/2 — s1₂(R² + r²)/2 — s2₃(R² + r²)/2 — ... — sN–1_N(R² + r²)/2 ]

r = √(r₁² – s1r₂² – s2r₃² – ... – sN–1r_N²)

Vi kan kontrollera resultatet genom ett jämförande exempel med resultaten ovan: Grundskolans Matematik:

r¦R→0 = √ 25/2 = 5/√2 = 3,54... ; R=5

r¦ r→0 = √ 16/2 = 4/√2 = 2,83... ; r= 4

——————————————————————————

r¦R→r ≠ √25/2 + √16/2 = 9/√2 = 6,37... ;

notOK: tyngdradier kan inte DIREKT summeras

(r¦R→r)² = 25/2 + 16/2 = 41/2 ;

OK: men deras kvadrater kan det:

PLUS betyder: tyngdradien PÅ VÄG UTÅT bort från origo.

(r¦R→r) = √ 41/2 = 4,527692569 ;

MINUS betyder: tyngdradien PÅ VÄG INÅT mot centrum.

(r¦R→0)² = (r¦R→r)² — (r¦r→0)² = 41/2 – 16/2 = 25/2 :

(r¦R→0) = √ 25/2 = 3,54...

— 25/2-Rcirkeln är den som har sin r längst in mot centrum/origo.

— Tas en inre skivdel bort — 25/2 + 16/2 = 41/2 — flyttas r obönhörligt UTÅT.

— Läggs en inre skivdel till — 41/2 – 16/2 = 25/2 — flyttas r obönhörligt INÅT.

SÅ: OM vi börjar längst ut med en ring — normala vanliga största integralgränsen, analogt största tyngdcirkelradien — och avancerar inåt mot centrum genom att lägga till andra skivdelar, måste vi

SUBTRAHERA, inte addera, de olika bidragen SÅ LÄNGE r-resultatet > R:

r dras in mot R = fylld skiva med tilläggen av växande mellanliggande massa:

ADDERA, inte subtrahera, de olika bidragen SÅ LÄNGE r-resultatet < R:

r flyttas mot R = fylld skiva med fortsatt växande mellanliggande massa:

REFLEXION:

— Säg den ämnesintresserade människa som INTE från början frågar just efter dessa grundläggande, mest enkelt matematiskt upplysande detaljer. Det är barnets enkla första fråga: Hur.

Möjligen finns detaljerna ovan någonstans (kanske i äldre) etablerad litteratur — men tydligen helt osynligt i nuvarande utbud.

SÅ: I slutänden ser det ut som att Grundskolematematiken klarar biffen, trots allt.

Se även i MATEMATIKEN FRÅN BÖRJAN om inte redan bekant.

Vi fortsätter grundhärledningen:

Dynamiska tyngdcirkeln:

DYNAMISKA TYNGDCIRKELN

Dynamiska tyngdcirkeln — den enda representerade i etablerad litteratur, här veterligt;

OM SKIVDELARNA HAR OLIKA TJOCKLEK:

— en delrings tjocklek påverkar INTE r-värdet, enbart r-värdets STYRKA: massmotståndet endast:

— Så: Tyngdcirkeln för ... Jahadu:

Studentens ARGUMENT i resonemanget:

— Svänghjulet eller »Snurren» i Figurdel¦a ovan är klar: ytterringen (Rr) + hela skivan (r) innanför har tyngdcirkeln (med nyligen omnämnda exempelräknings repetition):

r = √[(R² + r²)/2 — (r² + 0²)/2] = R/√2: »tyngdcirkeln har en och samma styrka».

— Men kolla alternativet i b:

— OM ytterringens (grått) r² = R²/2 + r²/2 ÖKAS PÅ I SAMMA MASSÄMNE

är det tydligt ATT den extra massan tvunget måste DRIVA tyngdcirkeln mot det masstillskottets region — snarare än att »den geometriska tyngdcirkeln» behåller sin rent matematiska status.

— HUR löser man en sådan uppgift, rent fysiskt tekniskt: Hur ändras STATISKT GIVNA r med olika PÅLAGDA masstyrkor?

— Uppenbarligen ingen rent geometrisk/matematisk lösning kan användas för den uppgiften.

RESONEMANG — summan av alla energibidrag Fr=E=M:

— Alla massbidrags MOMENT — eg. vridmomentet E=Fd = kraften över vägen — uttrycker en ENERGI (E) som inte har några »medelvärdesformer», endast effektiva dito: inget läggs till, inget tas bort. Alla bidrag räknas, absolut:

M = Fr = (Fr)₁ + (Fr)₂ + (Fr)₃ + ... + (Fr)_N = 1→NΣ (Fr) = mad = Energin

Kroppens delar summerar hela massformen.

SLUTSATS: Enda tillägget som behöver göras

— för våra vardagliga Jordiska experiment inom den medelmässiga gravitella fältstyrkan på Jordytan a = 9,81 M/S²

— blir alltså att multiplicera varje geometriskt/matematiskt given tyngdcirkel (r) med dess TYNGD

(F=ma: m×9,81M/S²=m(KiloPond¦KP):

F_N = Cirkelsegmentets/Ringens VIKT i KG ger enheten KP med integrerat a=9,81M/S²

Fr = F · √(R²/2 + r²/2) ;

M = (Fr)₁ + (Fr)₂ + (Fr)₃ + ... + (Fr)_N = mar ;

= (F√(R²/2 + r²/2))₁ + (F√(R²/2 + r²/2))₂ + (F√(R²/2 + r²/2))₃ + ... + (F√(R²/2 + r²/2))_N

= a[(mr)₁ + (mr)₂ + (mr)₃ + ... + (mr)_N]

= Fr ;

mar = a[(mr)₁ + (mr)₂ + (mr)₃ + ... + (mr)_N] ;

mr = [(mr)₁ + (mr)₂ + (mr)₃ + ... + (mr)_N] ;

Och sedan helt enkelt LÖSA UT motsvarande resultant ur det givna:

r = M/(F = totalmassan i KP) ;

Vi behöver — nödvändigtvis Praktiskt Exempel — ingen specifik integralmatematik för den uppgiften.

Resultatbild:

GRUNDEN FÖR DYNAMISKA TYNGDCIRKLAR

— totala momentenergin är summan av de enskilda energimomenten enligt

Fr = M = M1+M2+M3+ ... +MN = (Fr)1+(Fr)2+(Fr)3+...+(Fr)N

— ÄR statiska TYNGDCIRKLAR: De idealt homogena mass- och kroppsformernas massoberoende tyngdcirklar PÅ VILKAS FORMKROPPAR SEDAN PÅLÄGGS OLIKA MASSOR/tyngder. Se Praktiskt Exempel.

— MEN DEN GRUNDMATEMATIKEN TYCKS INTE ALLS FINNAS I ETABLERADE KVARTER;

StatDyna:

Sagt i andra ord: en (TCR, förk. [efter summering resulterande] tyngdcirkelradie)

DYNAMISK (TCR) TYNGDcirkelRADIE i en RING r ≠ √(R²/2 + r²/2)

r = F^–1(F₁r₁ + F₂r₂ + F₃r₃ + ... + F_Nr_N)

kontra ingår tydligen INTE i modern akademi

r = √(r²₁ — s1r²₂ — s2r²₃ — ... — sN–1r²_N)

enSTATISK (TCR) TYNGDcirkelRADIE i en RING r = √(R²/2 + r²/2) är INTE samma sak.

— Termen el.motsv. har eftersöks i etablerade kvarter (Dec20018) men ännu inte påträffats. Se PRAKTISKT Jämförande EXEMPEL.

— Varifrån kommer Uppslaget, här?[‡]. Svar:

— En plan cirkulär jämntjock skiva delas i två lika ythalvor A/2=pir²=piR²/2 av (geometriska¦ här Statiska) tyngdradien r=R/√2.

— Vi kan, tydligen, beräkna, analysera och bestämma elementära gyroskopiska värden på helt enkel grundskolematematik (Pythagoras Sats). Men (Dec2018) ingen här ännu upphittad etablerad källa verkar ha uppmärksammat den möjligheten — ämnets annars väl svårfattliga grunder. Etablerade verk i ämnet (eng. radius of gyration — ingen avvikande ännu upphittad) uppehåller sig uteslutande vid integral matematik och modern akademisk vektoralgebra — Ingen varken förstår eller kan förklara innehållet. Citat nedan.

— En Statisk (TCR) r = √(R²/2 + r²/2) är helt oberoende av höjd;

RingSummans Villkor — gäller endast summerande statiska tyngdcirklar:

r ÖverUnder R=R/√2 reglerar ±summeringen av ringbidragen.

SATSEN har eftersökts i etablerade kvarter men ännu inte påträffats.

— Dynamisk (TCR) r ≠ √(R²/2 + r²/2) VÄGER sin (höjd) form mot aktuell VIKT (KP), vilket påverkar tyngdlinjens förskjutning mot aktuell maximal massdel då svänghjulet INTE är en enkel rak skiva.

Se Praktiskt Exempel.

En dynamisk med F tyngdcirkel har ingen sådan 1-cirkelskiva- singulär uttryckbar form:

— En DYNAMISK TYNGDCIRKEL kan bara FORMAS — beskrivas, förklaras, uttryckas, definieras — EFTER minst två olika RINGARS olika MASSBIDRAG PÅ GIVNA MASSOBEROENDE STATISKA TYNGDCIRKELVÄRDEN.

— Snabbkoll @INTERNET 23Dec2018 visar att etablerad litteratur (Wikipedia+) INTE klargör DET — omnämns inte ens.

Statisk kontra Dynamisk. Enkla skolexempel — Med inledande exempel från RINGSUMMAN :

DYNAMISK TYNGDCIRKEL:

— Se PRAKTISKT EXEMPEL.

Dynamiska tyngdcirkelns värde (r) fås summerande ur totala momentenergin M=Fr enligt summeringen

r = F^–1(F₁r₁ + F₂r₂ + F₃r₃ + ... + F_Nr_N)

F¦N varje bidragande dels egen individuella vikt i KP, F hela svänghjulets vikt i KP

STATISK TYNGDCIRKEL:

Statiska tyngdcirkelns värde (r) däremot fås summerande

r = √(r²₁ — s1r²₂ — s2r²₃ — ... — sN–1r²_N)

som en — tyngdcirkelbegreppets elementära grundval — massoberoende sambandsform på en helt annan summerande fason än dynamiska tyngdcirkelns r-resultant.

— Den verkar helt ha tappats bort i det främst synliga utbudet i etablerad litteratur: inget hittat.

— Den sambandsformen gäller enbart — uteslutande — för raka oprofilerade cirkulära geometriska-matematiska planskivor — EGENTLIGEN: HELT MASSLÖSA HJULFORMER MED GODTYCKLIG FORMSAMMANSÄTTNING EFTERSOM CYLINDERHÖJDEN I EN RING INTE PÅVERKAR STATISKA TYNGDCIRKELNS VÄRDE — med en förklarande vidhängande VILLKORSFORM R=R/√2 för (signal) s-faktorerna EFTER successiv summering: Med inledande exempel från RINGSUMMAN :

r¦sTCR = √ [(5² + 4²)/2 — (4² + 0²)/2 = √ [(5² + 0²)/2 = 5/√2 = 3,54... :

— Föregående EN RINGSUMMERING testas varje ny tillagd beräknad rN enligt en allmän

VILLKORSFORM för statiska tyngdcirkeln endast: Från ett största R in mot Origo:

OM r1<R: s1=—1; annars +1; OM r2<R: s2=—1; annars +1; ... : rN=R = helt fylld skiva.

— Summeringen av Ringarnas olika tyngdcirklar görs sedan enhetligt enligt sambandsformen

r¦statiskaTCR = √ [₁(R² + r²)/2 — s1₂(R² + r²)/2 — s2₃(R² + r²)/2 — ... — sN–1_N(R² + r²)/2 ]

= √ ( r₁² — s1r₂² — s2r₃² — ... — sN–1r_N² )

— En dynamisk tyngdcirkel kräver ett massberoende, medan statiska tyngdcirklar är helt massoberoende. Så skrivs statiska tyngdcirklarnas summering via individuella ringar som.

r = √[((R²/2 + r²/2))₁ — s1((R²/2 + r²/2))₂ — s2((R²/2 + r²/2))₃ — ... — sN–1((R²/2 + r²/2))_N]

= √(r²₁ — s1r²₂ — s2r²₃ — ... — sN–1r²_N)

— Den resulterande tyngdcirkeln r gäller sedan för en godtycklig (oberoende) PLAN massform.

— Förekommer olika rektangulära sektioner gäller dynamiska tyngdcirkelns samband.

Se Praktiskt Exempel.

Etablerad litteratur verkar inte — alls — vidröra den ämnesgrenen:

— Därmed inte sagt att ämnesbeskrivningen INTE existerar i MAC. Om den gör det, finns den i så fall i väl undangömda gamla arkiv.

Exempelbeskrivningarna uppehåller sig (samtliga här upphittade) uteslutande kring dynamiska tyngdcirklar i uteslutande integral matematisk tappning via begreppet tröghetsmoment (här Beteckningar Ĵ=mr²).

WikipediaCitatet:

WIKIPEDIACITATET

Statiska tyngdcirkelns sambandsform DynaStatFörkl UTTRYCKER uppenbarligen och bevisligen INTE — ej, icke, NEJ, osv. — ANNAT än en plan rak homogen idealt geometriskt cirkulär skiva, ring eller cylinder i olika omfång, alla i samma skivplan.

Hittills upphittade, inkl. Wikipedia Dec2018:

Det verkar som att etablerad litteratur INTE noterar den detaljen.

— Kaos råder — tydligt — om inget har missats:

” Formula of moment of inertia if all the particles are of same mass m, then

I = m₁r₁² + m₂r₂² + ... + m_nr_n²

If all the masses are the same, then the moment of inertia is:

I = mn(r₁² + r₂² + ... + r_n²”)/n since mn = M, total mass of the body,

I = M(r₁² + r₂² + ... + r_n²”)/n

From the above equations we have

MR_g² = M(r₁² + r₂² + ... + r_n²”)/n

Radius of gyration is the root mean square distance of particles from axis formula

R_g² = (r₁² + r₂² + ... + r_n²)/n

Therefore the radius of gyration about a given axis may also be defined as the root mean square distance of the various particles of the body from the axis of rotation.”,

@INTERNET — Wikipedia, Radius of gyration, 23Dec2018

— Eng. Radius of Gyration, sv. tyngdcirkeln.

JÄMFÖR ENDA TILLGÄNGLIGA SAMBANDSFORMERNA FÖR motsv. BEGREPPET TRÖGHETSMOMENT via StatiskaDynamiska FRÅN

M = Fr = mar = m(w/t = 2pir/t² = rω’)r = mr²ω’ = Ĵω’ ENLIGT: Ĵ = mr² = r²(m/N)N = m(r²/N)N = (mr²/N)N ≠ m(r₁²+r₂²+...+r_N²).

— Andra ekvivalenta typled finns inte. Det finns inget ”I = mr² = m1r1² + m2r2² + ...”: Inte i Statiska. Inte i Dynamiska.

Wikipedias text talar visserligen om PARTIKLAR, beståndsdelar, medan sambanden här berör enbart summerande tyngdcirklar eller dito ringar.

— MEN VI HAR HELLER INGET ANNAT ATT JÄMFÖRA MED EFTERSOM STATISKA TYNGDCIRKELNS BEGREPP[‡] INTE AVHANDLAR NÅGRA PARTIKLAR, ENBART FÄRDIGA ENHETER. DET ÄR DET FRÄMSTA BEVISET: Modern akademi verkar ha missat det;

— Varför göra besvärliga (integrala) utläggningar om ”partiklar”[‡] när Enheten redan står där?

Det sammanhanget antyder att själva sättet med ”summera partiklar via olika r” INTE fungerar som förklaring. Det är galet sätt.

Att saken gäller ett ”r²” är tydligt. Men begreppet ”partiklarnas rotmedeldistans från rotationsaxeln” är tydligt galet — som ovan.

SÅ:

Begreppet tyngdradie, tyngdcirkel, masscirkel, ”radius of gyration” kan TYDLIGEN[‡] FÖR DET ENKLA RELATERBARA FÖRNUFTETS RÄKNING INTE beskrivas genom någon ”summering av delar” — på samma sätt som inte heller GRAVITATIONEN — från centralverkan: cirkelrörelsen, centrifugalkraften — kan det. Så, återigen:

— sTCR Masscirkeln eller tyngdcirkeln kan bara förklaras — djupförstås — genom statiska tyngdcirkelns STATISKA MOMENTETS elementära form: cirkelradien som delar cirkelytan i två lika halvor — enhet utan delar — och som leder direkt på ringens enkla tyngdekvation r = √ (R² + r²)/2;

A/2 = piR²/2 = pir² ; r² = R²/2 ; r = R/√2 = R —- med dess vidare differentialekvation d(r²)=d(R/√2)=r·dr, se IntegralTCR — BLIR tvunget tyngdcirkelns absolut MASSOBEROENDE definition: statiska tyngdcirkeln.

På dess elementära, helt massoberoende form Praktiskt Exempel kan sedan TYNGD och MASSA användas i olika partier och sektioner för att utveckla praktiska tyngdcirklar och/eller masscirklar. Så, återigen i resultatbildens tydligt relaterbara ljus:

Den moderna akademins lärosystem har uppenbarligen inget begrepp om tyngdcirkelns ”radius of gyration” rent logiska, förklarbara, relaterbara, elementärt FÖRKLARANDE definition och innehåll.

Det är också en jäkla mening att sätta på pränt i den närmast enorma tekniska applikation som ämnet intar i vår närmast 200-åriga kulturepok.

Wikipediatexten bygger tydligen på — en djup okunskap med konsekvenser — att försöka framhäva en HYBRID mellan StatiskaDynamiska. OM vi inte har missat avgörande förklarande litteratur i Modern Akademi, är det tydligt att samma instans verkligen har förstått ämnet illa: huvuddelarna STATISKA TYNGDCIRKELN utelämnas — stryks. Och man uppfinner, i vanlig klassisk 1800+-ordning egna, helt obegripliga saker.

Undervisningssystemet sköter sedan resten: upprepningar, efterhärmningar. Produkten matas ut till mänskligheten typ ”Meddelanden På Wikipedia”.

Beskrivningssättet ÄR »Helt obegripligt». Stora tvärhål gapar öppna i Logiken.

— Använder man SÅLEDES generellt för alla möjliga fall den mera sammansatta differentialformen dĴ=r²dm — som kan utvecklas på en mängd olika sätt — berörs ALDRIG grundformen med Statiska Tyngdcirklar: Integrationerna leder ALLTID direkt på slutmålet med (dynamiska) tyngdcirklar, tyngdytor och tyngdlinjer: Ingen BEHÖVER bryr sig i något mellanliggande.

— Och så kom det sig ”i senaste släktens år” att Kunskapen sjönk ner, allt mer i glömska ... . Verkligen fascinerande KulturHistoria.

— Fyll i här nu. InteTänkaSjälv. ViTänka—DuGöra. Såga här nu. Jättebra för miljön.

WIKIPEDIA WikiCit GER INGET KLARGÖRANDE MELLAN STATISK OCH DYNAMISK — ATT DYNAMISKA GES FRÅN STATISKA: WIKIPEDIAS UTVECKLINGSLED OVAN ÄR OMÖJLIGA UR DEN STATISKA TYNGDCIRKELNS PERSPEKTIV, OCH OCKSÅ UR DEN DYNAMISKA: INGET AV SAMBANDSFORMERNA ÄR RELEVANTA I NÅGON FÖRKLARANDE MENING.

Masslösa tyngdcirkelformen är reserverad för statiska tyngdcirkelns samband endast. Och den känner man tydligen inte till i etablerade kvarter:

Bedrövligt. Urdåligt.

— SAMBANDSFORMERNA SOM WIKIPEDIA ANGER HAR INGEN KOPPLING TILL VARKEN STATISKA ELLER DYNAMISKA TYNGDCIRKLARNAS SAMBANDSFORMER.

— Det går inte att uttryca dessa på Wikipedias ovan exemplifierade former:

— Wikipediaförfattarna känner uppenbarligen INTE till det.

Eller så har den här författaren förirrat sig till baksidan på någon krater på Pluto.

(Jag glömde ta med mig bränsle för återresan — syret börjar ta slut ...).

Wikipedias masslösa samband har bara en möjlig formkoppling till StatiskaDynamiska sambandsformerna för tyngdcirklarnas relaterbara förklaring: statiska tyngdcirkelns summaform — frånsett tecken, divisionen med N, samt villkoret mot R=R/√2 —

r² = r²₁ — s1r²₂ — s2r²₃ — ... — sN–1r²_N

Och vi ser att det är INTE den som gäller i Wikipediafallet;

StatiskaDynamiska har ingen motsvarande möjligt typ ”mr²”-summaform.

Det enda PRAKTISKT EXEMPEL närliggande som finns är formtypen

mr = (mr)1+(mr)2+(mr)3+ ... +(mr)N

enligt dynamiska tyngdcirklarnas summerande individer

r = F^–1[(F√(R²/2 + r²/2))₁ + (F√(R²/2 + r²/2))₂ + (F√(R²/2 + r²/2))₃ + ... + (F√(R²/2 + r²/2))_N]

= F^–1(F₁r₁ + F₂r₂ + F₃r₃ + ... + F_Nr_N)

= aF^–1(m₁r₁ + m₂r₂ + m₃r₃ + ... + m_Nr_N)

WIKIPEDIAS ARTIKEL — etablerade referenskällorna — ÄR VERKLIGEN DJUPT KAOTISKT MISSVISANDE OCH SÄRSKILT FÖRVIRRANDE SETT FRÅN STATISKA TYNGDCIRKELNS ELEMENTÄRA DEFINITION.

— GENERELLT: Vad gör MAC-folket för fel, egentligen?

Mitt svar:

— MAC-korridorerna befolkas av genuint skickliga algebraiker, oerhört vassa naturintellekt — med noll utvecklad förmåga att förklara/förstå innehållet: ”människan har skapat matematiken” [‡]. Verkligen fascinerande undervisning. Det är aldrig fel på matematiken. Men: Inblicken blir mera knepig om man envisas med att försöka leka ”herre över universum” [‡]: trångsynt, ytligt, tarvligt — BEVISLIGT I VARJE DETALJ — djupt ointelligent:

— Individerna får inte utvecklas längre. Eleverna nödgas rätta sig efter ett fastställt meritsystem: DET ÄR INGET FEL I SIG — FÖRUTSATT ATT »Den Akademiska ÖVERHETEN» HARMONIERAR MED NATURINNEHÅLLET — VILKET TYVÄRR OCH BEVISLIGT noMACfysik INTE ÄR FALLET I VÅR TID.

Principerna är givna. Tillämpningarna däremot — iakttagandet av INTE BESLUT ÖVER Naturlagarna — uppvisar global huggsexa: miljömord, naturmord.

— Enda sättet blir alltså: GÅ PÅ VIKTEN (tyngden, massan) — genom att summera alla enskilda skivmoment (M=Fr) och därifrån lösa ut summaresultanten (r).

— Om vi har en skiva med olika (rektangulära) sektioner, alltså olika massor¦tyngder (F) i olika partier, ska regelverket ovan fungera om summeringen görs TOTALT via M:

Momentsumman

M = Fr totala tyngdcirkelmomentet — tyngdCirkelEnergin från »KRAFTEN ÖVER RADIEN» —

= (F√ [R²+r²]/2)₁ + (F√ [R²+r²]/2)₂ + (F√ [R²+r²]/2)₃ + ... + (F√ [R²+r²]/2)_N

= Fr ;

r = M/(F¦totalvikten i KP) ;

Det enda som behöver göras är att bestämma materialets masstäthet för att, via måtten tjocklek t gånger cirkulär ringyta A, få respektive M-dels aktuella F-tyngd (i KiloPond: F=ma = 1KP = 1KG · 9,81 M/S² = 9,81 Newton):

(m→F) = DensityVolume = D(thickness×Area)

Praktiskt exempel, Statisk Dynamisk Tyngdcirkel:

EXEMPEL

Tätheten för mässing (KH1977s97) varierar 8 100 - 8 600 KG/M³ beroende på legering (mer/mindre koppar 8 930 KG/M³). Standardvärdet för tyngdkraftsaccelerationen vid Jordytan är 9,81 M/S².

— Ett SVÄNGHJUL av Mässing med tätheten 8 400 KG/M³ har följande profil med mått i mM:

— Bestäm hjulets totalt resulterande dynamiska tyngdcirkel;

— Använd om möjligt KalkylProgram (GratisOpenOffice) för att säkra räknefel och presentera resultatet i dess kalkylceller som ett separat Kalkylkort.

Lösning:

Tabell 1 — TYNGDCIRKLARNA — GyroDec2018.ods

SVAR: Med de angivna dimensionerna är Svänghjulets dynamiska tyngdcirkelradie r = 18,2448 mM räknat från origo/centrum.

STATISKA tyngdcirkeln sTCR = r = 18,0866 mM har beräknats RINGSUMMAN enligt cirkelskivans villkorade medelgränsform R=R/√2 för växande-avtagande r mot origo

r¦sTCR = √ [(25,5² + 23,0²)/2 — s1(23,0² + 6,5²)/2 — s2(6,5² + 2,0²)/2]

= √ [(25,5² + 23,0²)/2 — (23,0² + 6,5²)/2 + (6,5² + 2,0²)/2] = 18,0866 mM

VILLKORSFORMEN statiska tyngdcirkeln endast: Från största R in mot Origo:

OM r1<R: s1=—1; annars +1; OM r2<R: s2=—1; annars +1; ... : rN=R = helt fylld skiva.

Kommentar:

— Genom att mata in VÄXANDE t-värde (ringhöjden) för resp. M-del kan vi kontrollera att dynamiska r-värdet verkligen närmar sig masstillskottets aktuella region.

IntExtRTC: IntegralTCR

Dynamiska tyngdradiecirklar

KONEN ¦ SFÄREN ¦ CYLINDERN

EXEMPEL 3 —IntegralExempel — Dynamiska tyngdradiecirklar

Ringen 1

RINGENS TYNGDCIRKELRADIE FRÅN INTEGRALMOMENTET Ĵ = ∫ dmr²:

DIFFERENTIALTRANSFORMATION: dm ska anpassas till r:

— Vi anställer k = massa/ytenhet = m/A = m/πr²:

m = k · A ;

dm = k dA ;

— Cirkelns/ringens differentialyta kan skrivas alternativt som omkretsen 2πr gånger omkretsens differentiella bredd dr:

dA = 2πr · dr ;

dm = k dA = k · 2πr · dr ;

Ĵ = dmr² ;

Ĵ = k · 2πr · dr ·r²

= k · 2π ∫ r³dr ; Integralens lösning: EXP7

= k · 2π [r⁴/4] ;

= π [r⁴/2] k ; integralens insättningsgränser från största till minsta, se nedan:

= π [r⁴/2] m/πr²

= m · [r²/2] ; INTEGRALEN ÄR DIREKTBESTÄMD eftersom Ĵ=0 då r=0:

INSÄTTNINGSGRÄNSERNA GÖRS tvunget MED STÖRSTA = R OCH MINSTA = — r:

LÖSNINGEN FÖR KOMPAKTA CYLINDERN: R=R, — r = 0;

Ĵ/m = R→–r[r²/2] = [R²/2 – (–0²/2)] = R²/2 ;

Ĵ/m = R²/2 = r² ;

Ĵ = mr²/2 ; kompakta cylinderns integralmoment

r = R/√2 ; Kompakta Cylinderns tyngdcirkelradie.

LÖSNINGEN IntegralTCR FÖR RINGEN: R=R, — r = — r;

Ĵ/m = R→–r[r²/2] = [R²/2 – (–r²/2)] = (R² + r²)/2 ;

Ĵ/m = (R² + r²)/2 = r² ;

r = √ (R² + r²)/2 ; Ringens tyngdcirkelradie. [‡]

EXEMPEL 4 —IntegralExempel — Dynamiska tyngdradiecirklar

Ringen 2

RINGENS TYNGDCIRKELRADIE FRÅN momentintegralen M = ∫ dFx:

— Vi får alldeles samma resultat som i EX3 genom den (betydligt enklare) momentintegralen:

En rak masshomogen balk med längden L är infäst i en vägg (y-axeln). Balkens tvärsnittsyta är konstant och balkens tyngd i KiloPond (1 KP = 9,81 N) är F. Hur stort är balkens statiska moment M=Fx med avseende på balkens ideala infästningspunkt?

Lösning:

F/x = Φ = ma/Meter ;

F = Φx ;

dF = Φ (dL=dx) ;

dM_Y = dF·x = Φ dx·x ;

M_Y = Φ x dx ; Integralens lösning: [EXP7]

SVAR: M = Φ L→0[x²/2] ; vidare:

= (F/x) [x²/2] = Fx ;

Fx = (F/x) [x²/2] ;

x² = L→–l[x²/2] ;

— Ser vi balksnittet som just en balk med insättningsgränserna L→0 blir dess statiska moment M med avseende på infästningspunkten lika med M_Y = ΦL²/2 KpM (KiloPondMeter).

— Ser vi balksnittet som snittet genom ena halvan i en cirkulär cylindrisk skiva får vi hela skivans tyngdcirkelradie r via insättningsgränserna L→0 med L=R som

x² = r² = R→0[x²/2] = R²/2; r = R/√2.

— Med insättningsgränserna för hela cirkelskivan R→–r[x²/2] får vi den cylindriska ringens tyngdcirkelradie r

x² = r² = R→–r[(R²/2) – (–r²/2)] = (R² + r²)/2; r = √ (R² + r²)/2, vilket vi ser är samma som i EX3.

— Härifrån kan vi lösa ut respektive kropps INTEGRALMOMENT (Ĵ, j-flex)

Ĵ¦CYL = mr² = mR²/2 ;

Ĵ¦RIN = mr² = m(R² + r²)/2 ;

— Hur gör man för att bestämma en motsvarande tyngdcirkelradie för balk- eller stångobjektet i EX4 i fallet då balken roterar kring en axel i änden — eller kring en axel på mitten?

— Har man inget annat roligt för sig kan man alltid försöka befria fångarna med Allmänna MetodIntegralens Vägform:

TYNGDRADIER FRÅN INTEGRALMOMENTET Ĵ = ∫ dmr². Vi gör ett försök:

EXEMPEL 5 — Integralmoment för en frisvängande rak homogen stång eller balk:

Stången

TYNGDRADIECIRKEL FÖR ROTERANDE STÅNG

Den raka masshomogena stångens massa m per längdenhet x¦L är konstant:

k = m/L ;

k = dm/dx ;

dm = k · dx ;

Ĵ = dmx² ; Integralmomentet [‡] — konv. tröghetsmomentet

= k · dx x²

= (m/L) ∫ x²dx ; Integralens lösning: [EXP7]

= L→–l[x³/3] (m/L) ;

LÖSNINGEN MED MITTROTATIONEN :

L/2→–L/2[x³/3] = [(L/2)³/3 + (L/2)³/3] = 2(L/2)³/3 = 2L³/24 ;

Ĵ = (m/L)L³/12 = ;

= mL²/12 ; Integralmomentet med rotationsaxel mitt på rak homogen stång

Ĵ/m = r² = L²/12 ;

r = L/√12 ; Tyngdradien

LÖSNINGEN MED ÄNDROTATIONEN :

L→0[x³/3] = L³/3 ;

Ĵ = (m/L)L³/3 = ;

= mL²/3 ; Integralmomentet med rotationsaxeln i stångens ände

Ĵ/m = r² = L²/3 ;

r = L/√3 ; Tyngdradien

EXEMPEL 6 —

Sfären

SFÄRENS TYNGDCIRKEL r OCH INTEGRALA MOMENT Ĵ, j-flex, konv. tröghetsmomentet:

Med uppslag från

http://www.hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/isph.html - sph2

HYPERPHYSICS Dec2018

— Sfärens tyngdcirkel kan bestämmas genom användning av cylinderns tyngdcirkel[‡] r=R/√2 med hjälp av allmänna integralmomentet[‡] (här j-flex, konv. J) Ĵ=mr² som nedan.

y² = R² – x² ;

Vi använder blandprojektioner för att förtydliga xy-systemets hantering av uppgiften: r-Cirkeln i mitten är vyn sedd från positiva x-axeln då cylinderns tyngdcirkelradie integreras motsv. sfäriskt som tunna cylinderskikt från maxX=R till minX=0. Referenskällan ovan visar ett annat sätt — ingen detaljerad information.

GENOM CIRKELNS REKTANGULÄRA EKVATION y = √ (R² – x²) omfattas enbart halva cirkeln;

— xy-systemet i detta fall kan bara uttrycka positiva y-värden.

Tyngdradiens utbredning/integration sett från x-axelns sida kan heller (meningsfullt) inte föras mer än till max ±y = R.

SÅ: I vilket fall måste tyngdradien r integreras över halva sfären med en dubblering i slutet.

— Webbkällan i referensen ovan (har annat koordinatsätt) ger ingen antydan i den detaljen — utom genom att ange insättningsgränserna som ”R→–R”: slutformen skrivs bara ut utan kommentarer. Genomför man — reguljärt — insättningarna ”R→–R” i integrallösningen får man något annat än nedan:

— Vi följer utvecklingsprocessen i detalj:

ySPH = √(R² – x²) ; Sfären i xy-systemet:

VSPH = 4πr³/3 ;

k = m/V = 3m/4πr³ ;

ĴCYL/m = r² = y²/2 = (R² – x²)/2 ;

k = dm/d(V=πy²x)

= dm/πy²dx ;

dm = kπy²dx ;

dĴ = (y²/2)dm

= (y²/2)kπy²dx

= (kπ/2)(y²)²dx

= (kπ/2)(R² – x²)²dx

= (kπ/2)(R⁴ – 2R²x² + x⁴)dx ; integralmomentets differentialekvation

= (kπ/2)(R⁴dx – 2R²x²dx + x⁴dx) ; Lösningen [EXP7] för halva sfären som ovan:

Ĵ/2 = (kπ/2)(R→0R⁴dx – R→02R²x²dx + R→0x⁴dx)

INTEGRALERNA ÄR AV BESTÄMD FORM [‡] EFTERSOM R=0 0M x=0 och därmed direkt beräkningsbara:

= (kπ/2)(R⁵ – 2R²R³/3 + R⁵/5)

= (kπ/2)(R⁵ – 2R⁵/3 + R⁵/5)

= (kπ/2)(15R⁵/15 – 10R⁵/15 + 3R⁵/15)

= (kπ/2)(15R⁵ – 10R⁵ + 3R⁵)/15

= k(π/2)(8R⁵)/15

= k(π/2)(8R⁵)/15 = (1/2)k(πR⁵)8/15

= (1/2)(3m/4πr³)(πR⁵)8/15

= (1/2)(m)(R²)2/5

= (1/2)mR²(2/5) ;

Ĵ = mR²(2/5) ; Hela Sfärens integrala moment.

Ĵ/m = r² = R²(4/10) ; Hela Sfärens tyngdradiekvadrat:

r = R√ 4/10 ; Hela Sfärens tyngdradie.

EXEMPEL 7 —

Konen

KONENS TYNGDCIRKEL r OCH INTEGRALA MOMENT Ĵ, j-flex, konv. tröghetsmomentet:

y² = x² ;

— För KONKROPPEN med given täthet k=m/(V=πr²h/3)=3m/πr²h och given basyta (πr²) bevaras k om m och h varierar omvänt proportionellt: För en masshomogen konkropp med en fast given basyta (πr²) är konhöjd (h) och massa (m) proportionella. I detta fall kan vi alltså skriva konvolymen förenklat med h=r som V=πr³/3;

— Vi får samma utvecklingstyp som för Sfären EX6 men med Konens karaktär:

yKON = –x ; Konen i xy-systemet:

VKON = πr³/3 ;

k = m/V = 3m/πr³ ;

ĴCYL/m = r² = y²/2 = (x²)/2 ;

k = dm/d(V=πy²x)

= dm/πy²dx ;

dm = kπy²dx ;

dĴ = (y²/2)dm

= (y²/2)kπy²dx

= (kπ/2)(y²)²dx

= (kπ/2)(x²)²dx

= (kπ/2)(x⁴)dx ; integralmomentets differentialekvation

Ĵ = (kπ/2)(h=R→0R⁴dx) ; Lösningen: [EXP7]

= (kπ/2)(R⁵/5)

= (1/2)kπ(R⁵/5)

= (1/2)(3m/πR³)π(R⁵/5)

= (1/2)(3m)R²(1/5)

= mR²(3/10) ; Konens integrala moment.

Ĵ/m = r² = R²(3/10) ; Konens tyngdradiekvadrat:

r = R√ 3/10 ; Konens tyngdradie.

KSC:

SAMMANSTÄLLNING Konen Sfären Cylindern:

———————————————————

Ĵ r

————————————————————

Kon mR² 3/10 R√ 3/10

Sfär mR² 4/10 R√ 4/10

Cylinder mR² 5/10 R√ 5/10

———————————————————

Momentexempel:

MOMENTEXEMPLEN

ROTERANDE KROPPARS VARVTALSACCELERATIONER

MomEx1:

Teoretiskt

EXEMPEL 1

En trumma med tyngdradien r = 0,8M på massan m = 200 KG drivs av en konstant kraft F = 120 N via en kedja kopplad till ett kugghjul med effektiv drivradie r = 0,15M.

— Bestäm tiden som åtgår för att accelerera trumman upp till varvtalet per sekund f = 1/3 Hz (20RPM).

Hämtat WEBBEXEMPEL från

Worked example No.6, D.J. DUNN — SOLID MECHANICS DYNAMICS TUTORIAL — MOMENT OF INERTIA ¦ 2016

http://www.freestudy.co.uk/dynamics/moment of%inertia.pdf

— Orsaken till Webbreferenserna är att använda redan (väl) genomräknande exempel från andra författare — vilket säkrar minimala räkne- och utvecklingsfel då exemplen SÅ blir särskilt felkontrollerade, och samtidigt breddar perspektivet för en redan befintlig — säker — referenslitteratur.

Lösning:

— Vi använder den enkla grundformen som angavs i INLEDNINGEN enligt

—————————————————————————————————————————

a = v/t ; t = v/a = (2πr/t)/a = r(2πf )/a = r(2πf )/(a=F/m) = mr(2πf )/F ¦ f = Hz, antal varv/S

——————————————————————————————————————

t = 200KG · 0,8M · 2pi(1/3S)/(120N · 0,15M/0,8M)

= 200KG · 0,8M · 2pi(1/3S)/(22,5N)

= 320KG · 1M · pi(1/S)/(67,5N)

= (320/67,5)pi S

= 14,893476628 S

SVAR: Tiden som åtgår för att accelerera trumman till 20RPM med kraften 120N och kraftutväxlingen 0,15/0,8=1,5/8 är 14,89 S.

KOMMENTAR:

— KRAFTUTVÄXLINGSFÖRHÅLLANDET 1.5/8 används INTE i webbkällans exempel. Där används istället drevmomentet M = Fr = 120N · 0,15M = 18 NM — tillsammans med den vanliga konventionella typen

——————————————————————————————————————

Ĵ = mr² ¦ M = Fr ¦ M/Ĵ = mar/mr² = a/r = α ¦ t = ω/α = (2π·RPM/60)/(M/Ĵ) = r(2πf )/a

—————————————————————————————————————————

t = 2pi(20/60S)/(120N·0,15M/200KG[0,8M]²)

= pi(2/3S)·200KG·0,64M²/(120N·0,15M)

= pi(2/3S)·128KG·M²/(18 NM)

= pi(1/S)·256KG·M²/(54 NM=KG·M²/S²)

= 14,893476628 S

— Webbkällan använder INTE DIREKT den enklaste sambandsformen.

MomEx2:

Teoretiskt

EXEMPEL 2 — en klassiker

Svänghjul med axel och uppvindad lodlina med lodmassa i änden

— Ett svänghjul av figurens formtyp med massan m = 1KG och tyngdradien r = 1M sitter friktionsfritt uppmonterat på en smal genomgående stålaxel (med försumbar inverkan) i ett Jordlaboratorium med lokal tyngdkraftsacceleration a = 9,81 M/S².

På en cylindrisk mellanaxel med radien r = 0,6M finns en uppvindad lina med försumbar tyngd med en frihängande lodmassa på m(L) = 1 KG i änden.

— Bestäm svänghjulets varvfrekvens per sekund sedan lodmassan fått falla fritt under 10 sekunder.

Lösning:

— Vi använder också här den enkla grundformen som angavs i INLEDNINGEN enligt

—————————————————————————————————————————

a = v/t ; t = v/a = (2πr/t)/a = r(2πf )/a = r(2πf )/(a=F/m) = mr(2πf )/F ¦ f = Hz, antal varv/S

——————————————————————————————————————

KRAFTUTVÄXLINGEN: F := F · 0,6/1 = 6/10;

KONSTANT PÅLIGGANDE DRIVKRAFT: F = ma = m(L)·9,81 M/S² = 9,81 N;

Vi söker frekvensen f efter t = 10S:

t = 1KG · 0,6M · 2pi · f / (9,81N · 0,6) = 10 S ;

f = 10S · 9,81N · 0,6/(1KG · 0,6M · 2pi)

= 98,10NS/(1KG · 2piM)

= 49,05NS/(1KG · 1piM)

= 15,61309992 Hz = avr. 937 RPM

SVAR: Varvtalet per sekund som uppnås efter 10 sekunder är avr. 15,61 Hz.

KOMMENTAR:

— Våndan att (ens) försöka lösa problemet ovan med den etablerade ”Ĵ=mr²”-metoden leder här till så stora utsvävningar att vi (här) helt hoppar över den delen. Vi använder istället tiden vi fick till övers att minnas (och ära) alla de studenter som, utan framgång en gång i tiden, förtvivlade över liknande problem. Det får inte fungera så i en anständig kunskapskultur. Kunskapen ska lysa upp, inte mörka ner.

MomEx3:

Praktiskt

EXEMPEL 3 — gyrofysiken

Från SKIVTALLRIKSANALOGIN 2009

Svänghjul (Snurra) av mässing med massan 40Gram = 0,04 KG och tyngdradien 18,25 mM = 0,01825 M, undre navdistans ca 12 mM = 0,012 M,

Ett svänghjul av typen ovan vägrar resolut ANNAT än att LUTA mot underlaget så länge varvtalet (f) genom sin utvecklade centrifugalkraft F=må=mw²/r inte kan uppväga den nedåtriktande tyngdkraftens inverkan F=ma. r (”ru”) anger tyngdcirkelradien.

UPPGIFT:

— Vilket minsta möjliga varvtal i vårt Jordiska laboratorium med a=9,81M/S² krävs för att snurran med r=0,01825M ska hålla sitt svänghjul rakt horisontellt innan den uppvisar tendenser att lägga sig?

Lösning:

— Med minsta möjliga undre navavstånd ger ma=må=mw²/r villkoret

a=å=w²/r = (2pir/t)²/r = (2pi · f)²r = 9,81 M/S² med lösningen

f = (1/2pi)√ 9,81M/S²/r

= (1/2pi)√ 9,81M/S²/0,01825M

= 3,689973107 Hz = avr. 238 RPM.

SVAR: För en snurra med r=0,01825M krävs en minsta varvtalsfrekvens lika med avr. 3,69 Hz för att dess svänghjul inte ska börja precessera. Under den gränser precesserar snurran allt mera och lägger sig strax.

KOMMENTAR:

Större navavstånd (d) kräver högre varvtal genom att kvoten r/d avtar, = sämre stabilitet.

— Vid ett försök med snurran ovan — 4st extra Ø10mM påmonterade neodymmagneter för noggrann mätning av varvtalet via en Hallsensor med oscilloskop — noterades (med en mindre mätosäkerhet, ett mättillfälle) frekvensen 3,06 Hz precis innan snurran vek ner sig.

I ALL ENKELHET tänkte man sig, så: Med SÅ enkla praktiska exempel skulle webben @INTERNET året 2018 vara proppad med tillämpade praktiska exempel med EXAKT verifierbar matematik — och snygga lösningar på trådlösa elektroniska varvräknare.

Inte ett liv Dec2018.

— Håller Marknaden på med att LÅSA IN MÄNSKLIGHETENS ELEKTRONIKBEROENDE i ett PRIMITIVT INTELLEKTUELLT SKRÄPSKAL?

Jag vill mena det: Ytlighet, Offentlig Gapighet; Offentlig Störighet: Ingen Märkbart Kulturell Intellektuell Produktion Annan än NuÄräJaHärNuSöddö. Andefattigheten breder ut sig över asfalten.

— ENORMT AVANCERAD ELEKTRONIK. Noll datorbaserade produktionsverktyg för vanliga privatpersoner. MAN MÅSTE KÖPA MERA ÄN DET SOM REDAN FINNS. TROTS ATT DET SOM FANNS TIDIGARE — 20 år bakåt — GOTT OCH VÄL RÄCKTE TILL. Vad gjorde man med Det? Skippade Det. Kasserade Det. Och Ersatte Det med ”hundra gånger långsammare” till ”tiodubbla priset” med ”halv funktionalitet”. Stämmer det, är det så?

Folk, vanliga trottoarfotgängare som utvecklats i de två decennierna ”VetaIntet”? Offer för en elak, girig, tarv fan som uppträder, mer och mer, som ExistensÄgare: ”Vi Hyr Ut Alfabetet Per Månad”. Regionala inlåsningar. Är det så? Marknaden har tagit över. Uppträder som bestämmare. Härskare. En elak, girig, tarv fan. Hur kan den trenden ändras, eller kan den inte? ”Här är det vi som bestämmer”. Atomerna bockar och bugar.

— Electronic Tools for PRIVATE Productivity? Det FANNS en gång i tiden — runt 2000. Bergis.

— »Dagens marknadskrafter 2018+ är INTE ute efter Kunskap»?. Herravälde. Fascismens Klassiska Ansikte. Slavägare. Okunnighetens DRIFT.

IntegralReferenser i UH:

— Integralmatematikens olika detaljer kräver (ständig) träning och erinran. Här ges de främsta referenserna i Universums Historia för den (författaren själv inkluderat, från och till) som vill friska upp minnet med baskunskaper.

— @INTERNET innehåller också (värdefulla) referenser. Men det är (ännu 2018 ofta) svårt att hitta annat än ”meddelanden”: Integrala härledningar är (ofta) komplicerade och litteraturen är inte direkt lättåtkomlig (än).

Integrallista ¦

Se även samlat i DOKUMENTÖVERSIK FÖR MATEMATIKEN i Universums Historia

INTEGRALREFERENSER — Integrallista

Alla integrala utvecklingsexempel som beskrivs i detta dokument har särskilda noteringsmärken [i‡] som leder hit:

RÄKNELAGARNA FÖR OÄNDLIGT — differentialbegreppets absoluta grunder

Skillnaden mellan Integral och Gränsvärde

Eulers Ekvivalenter — exponentialekvivalenterna

FORMLAGARNA — tabell med (engelska) härledda referenser till grundintegralerna

Formlagarna — översikt

DIFFERENTIALBEGREPPET — derivata, differential och integral

Integralbegreppet — alla grundbegreppen

INSÄTTNINGSGRÄNSER — hur integralens lösning används

Differentialekvation — termen finns inte etablerat —

Integralkonstanten — termen finns inte etablerat, betecknas konventionellt C

Integrationskonstanten — termen finns inte etablerat, betecknas konventionellt dx

Se även differentialbegreppet mera historiskt i modern akademi:

VARFÖR MISSADE NEWTON DIFFERENTIALEN? — se även etablerade begreppet

Differentialelementet i modern akademi — jämförande analys

DIFFERENTIALTRANSFORMATIONER — några exempel visar hur TYP dm omvandlas till TYP dx

INTEGRALKALKYL — metoder och exempel med lösningar:

Integrala Exempel — atomtriangeln grunderna utan integraler

Integralbegreppet i den högre analysen — mera avancerat

INTEGRALBEVISET — beviset för enhet utan delar

Integralen genom Derivatan — basic

INTEGRALEN I NUMERISKA BERÄKNINGAR — konv. Simpsons Formel: komplicerade integraler

Vissa elementära integralexempel ger i ELEMENTARYTORNA tillsammans med jämförande mera klassiska lösningsmetoder (Sfären, Konen).

I ANALYSENexempel härleds några centralt integrala sambandsformer inom matematik och fysik:

Globala vattenflödets allmänna ekvation — kapacitans och induktans

Ljusets ändring genom materien

Fritt fall med luftmotstånd

Den Logistiska tillväxtekvationen

Allmänna Svängningsekvationen

————————————————————————————————

Välj passande artikel — där beskrivs detaljerna vidare om ej redan bekant

———————————————————————————————————

NOTERA ATT BESKRIVNINGARNA HÄR ANSLUTER TILL relaterad MATEMATIK:

— Fullständigt beskrivbara och härledningsbara grunder i detalj, eller så inte alls.

— Avsnitten innehåller, eller ska i varje fall göra det, särskilda jämförande exempel och genomgångar av etablerade (motsvarande, om alls) begrepp och termer.

Integrallista, UH:

Första Systemintegralen ¦

Integrallista UHDec2018

FÖLJANDE LISTADE INTEGRALER FINNS UPPTAGNA exempel, härledningar I UNIVERSUMS HISTORIA t.o.m. 27Dec2018:

— Listan har ordnats efter typ (art och sort) för bekväm åtkomst och referens.

NEDAN: ALLA direkt integralt uttryckta FÖREKOMSTER i de 129 UH-dokumenten 28Dec2018:

MOTSVARANDE UNICODETECKEN — olika för varje teckensnitt — visas av webbläsarna FULA KLUMPIGA, KLADDIGA:

— WebbVärlden (2015+) behärskas av — bevisbart tydligt — ostädade typer. Titanic. Här används bildkopia av hemmagjort:

MJUKVARUINDUSTRINS OERHÖRT AVANCERADE UTVECKLING 1980+.

Integral INTEGRAND integrationskonstant (dx) — anges om annan el. sammansatt:

UPPTAGNA INTEGRALER, Alla Webbsidor

Löpande UH-dokumenten: DEL 1


1	t(AGW) dx	6[1– (1+[x/10]⁴)^–1]	AGW-komplexet	[‡]	1
2	6(1 – [1+(x/10)⁴]^–1) dx	saknas ännu	energiintegralen	AGW — numer.lösn.	2
3	(a⁴ + x⁴)^–1	saknas ännu	energiintegralen	AGW	3
4	dA	A	räknelagarna för oändligt	[‡]	4
5	0dx	0x	nollintegralen	[‡]	5
6	dx	x	atomtriangeln	[‡]	6
7	y’	y	atomtriangeln	[‡]	7
8	dy	y	atomtriangeln	[‡]	8
9	2x	x²	atomtriangeln	[‡]	9
0	f (x)	b→a[F(x)]	atomtriangeln	[‡]	0
1	kx	kx²/2	atomtriangeln	[‡i]	1
2					2
3	x²/2Z	x³/6Z	atomtriangeln	[‡i]	3
4	πx³/Z	πx⁴/4Z	atomtriangeln	[‡i]	4
5	2·2πx²	4πx³/3	atomtriangeln	[‡i]	5
6	ds=vdt	vt=s	atomtriangeln	[‡z]	6
7					7
8	PI^–2 dI	PI^–1	ljusbågsfysiken	[‡LB]	8
9	mv dv	mv²/2	integrala analogierna	[‡IA]	9
0	LI di	LI²/2	integrala analogierna	[‡IA]	0
1	dp/p	p/p₀	en.gaslag.	[‡BF]	1
2					2
3	aU/RT dh	p₀e^–hUa/^R^{T = –h(0,0341579)/T}	tryckvarianten	[‡BF]	3
4	(1 + T/b)^–2 dT	b/(1 + b/T)	SVPintegralen	[‡BF]	4
5	f (x)(A – y)	A + C e^–F(x)	strålintegral	[‡BF]	5
6	(a/cⁿ) vⁿ dv	(a/cⁿ) vⁿ⁺¹/(n+1)	elektriska förskjutningen	[‡]	6
7	v dv	v²/2	accelerationsbegreppet	[‡]	7
8					8
9	dB_Px	µ₀(I/4πx) cosb	magn. exp. integralen	[‡] PREFIXxSIN [‡f]	9
0	sinb db	b→90[cosb]	rakledaren, induktionen	[‡] PREFIXxSIN	0
1	(cscb – csc²b) db	0→90[ln tan(b/2) + cotb]	rakledaren, induktionen	[‡] PREFIXxSIN	1
2	r^–2 dr	–r^–1	dipolfältstyrkan	[‡]	2
3	µ₀(I/4πx) db_s	µ₀(I/2x)	ringen, magnetismen	[‡]	3
4	µ₀(r²)(I/4πm³) d(2π)_s	µ₀Ir²/2m³	konen, magnetismen	[‡]	4
5					5
6	sina da	cosa	till sfärytan	[‡] PREFIXxSIN	6
7	(r² – x²) dx	r²x – x³/3	till sfärvolymen	[‡]	7

GRUNDINTEGRALER: REF:

	trigonometriska :
1	–cos	sin	Trig1	[‡] PREFIXxSIN	1
2	sin	cos	Trig2	[‡] PREFIXxSIN	2
3	–n(cos nx)	sin nx	Trig3	[‡] PREFIXxSIN	3
4	n(sin nx)	cos nx	Trig3	[‡] PREFIXxSIN	4
5	1/sin²	tan	Trig4	[‡] PREFIXxSIN	5
6	–1/cos²	cot	Trig5	[‡] PREFIXxSIN	6
7	–1/√1–x²	asinx	Trig6	[‡] PREFIXxSIN	7
8	1/√1–x²	acosx	Trig7	[‡] PREFIXxSIN	8
9	1/(1+x²)	atanx	Trig8	[‡] PREFIXxSIN	9
0	–1/(1+x²)	acotx	Trig9	[‡] PREFIXxSIN	0

	exponentiella :
1	a(P)^a^–1Dn(P)	(P)^a	Exp7	[‡]	1
2	ax^a^–1	x^a	Exp8	[‡]	2
3	(P)ⁿDn(P)	(P)ⁿ⁺¹/(n+1)	Exp7	[‡]	3
4	x^a	(x^a⁺¹)/(a+1)	Exp7	[‡]	4
5	A(DnB) + B(DnA)	AB	Exp5	[‡]	5
6	[B(DnA) – A(DnB)]B^–2	A/B	Exp6	[‡]	6
	logaritmiska :
1	e^(P)Dn(P)	e^(P)	Log2	[‡]	1
2	ze^zx	e^zx	Log2	[‡]	2
3	e^x	e^x	Log1	[‡]	3
4	B^(P)Dn(P)lnB	B^(P)	källförklaring:	[‡]	4
5	B^xlnB	B^x	källförklaring:	[‡]	5
6	Dn(P)/(P)	ln(P)	Log5	[‡]	6
7	1/x	ln x	Log6	[‡]	7

NOTERA ÅterDeriveringen: Derivatan (Dn) till integralen = integranden åter.

Del 2: Del 1


1	dI/I	lnI	Ljusflödet	[‡] [‡f]	1
2	dU/(U₀ – U)	–ln(U₀ – U)	GlobalaVattenflödet	[‡]	2
3	(1/RC)dT	T/RC	kondensatorn	[‡]	3
4	(R/L)dT	RT/L	spolen	[‡]	4
5	ω sinωT dT	cosωT	reaktanserna	[‡] PREFIXxSIN	5
6	xⁿe^(P)	metod med helt avsnitt ......................................	...................................	[‡]	6
7	√1–x² dx	(1/2)(acosx+x√1–x²)	cirkelns integral	[‡] PREFIXxSIN [‡]	7
8	√a–x² dx	a(1/2)[acos(x√a) + (x√a)(√1–(x√a)²]]	Variabelsubstitution 1	[‡] PREFIXxSIN	8
9	1/√a–x² dx	acos (x√a)	Variabelsubstitution 2	[‡] PREFIXxSIN	9
0	xe^x dx	e^x(x–1)	Partiell Integration 2	[‡]	0
1	1/√a+x² dx	ln(x + √a+x²)	Hyperbelinversens integral	[‡]	1
2	ρ₀(1+r/R)^–4 dr	ρ₀R/3[1 – (1+r/R)^–3]	Solfysiken	[‡r]	2
3	r_R^–2 dr_R	–r_R^–1	Solfysiken	[‡r]	3
4	Q(4πr²ε₀)^–1 dr	–Q(r · 4πε₀)^–1	Solens kapacitans	[‡C]	4
5	0→2π∫ d(2π)	2π	Solmagnetismen	[‡] [‡f]	5
6	–2(3/2πG)T^–3 dT + k dT	(3/2πG)T^–2 + kT	Pulsarerna	[‡]	6
7	k₁T·1dT_x2dT_y3dT_z	k₁T⁴	Stef.Boltzm. str.lag	[‡]	7
8	x(a+x ²)^–2 dx	(1/2)[a^–1 – (a+x²)^–1]	K-cellens effektfunktion	[‡E] [‡fE]	8
9	c₀^–1(√ 1 – x²b)^–1 dx	c₀^–1(1/√b)acos(x√b)	Ljuvägens integral	[‡] PREFIXxSIN	9
0	dr/r²	–1/r	Fria g-fallets hastighet	[‡]	0
1	T dt	T²/2	Fria g-fallets tid	[‡]	1
2	(x² ± a)^–1/2 dx	ln[x + (x² ± a)^1/2]	Ljuvägens integral	[‡]	2
3	[b]^–1/2(k – x²)^–1/2 dx	[b]^–1/2(acos[x/k^1/2])	Ljuvägens integral	[‡] PREFIXxSIN	3
4	[b]^–1/2(x² – k)^–1/2 dx	[b]^–1/2(ln[x+k^1/2 + ((x+k^1/2)² – k)^1/2] – ln[k^1/2])	Ljuvägens integral	[‡]	4
5	T^–1/3 dT	T^{–1/3 + 1}/(–1/3 + 1)	Exp.v-formen, K-cellen	[‡]	5
6	(Gρ²4π/3) r dr	(Gρ²4π/3)r²/2	HydroBasic	[‡]	6
7	τ^–1dτ	ln τ/K	Jkropparnas värmefysik	[‡]	7
8	dW/W = d(S/b)	lnW = S/b	EntropiIntegralen	[‡]	8
9	y’ dx	y	Differentialbegr.i MAC	[‡]	9
0	p dp	(1/2)p²	Halvertingstiden, radiofys.	[‡]	0

Reguljära rotintegraler:

Till Dec2018 Upptagna REGULJÄRA ROTINTEGRALER UiDel2 i PREFIXxSIN:

———————————————————————————————————

(7) √1–x² dx = (1/2)(acosx+x√1–x²) ; .................................. cirkelns integral
(8) √a–x² dx = a(1/2)[acos(x√a) + (x√a)(√1–(x√a)²]] ; ..... cirkelns generaliserade integral

(9) 1/√a–x² dx = acos (x√a) ; ................................................. generaliserad acos-integral (TRIG7)

(11) 1/√a+x² dx = ln(x + √a+x²) ; ............................................. hyperbelinversens integral [‡]

Jämför den reguljära METODISKA LÖSNINGEN här i IRa — ytterst krävande.

Hyperboliska produktintegraler:

Kompletterande i detta dokument (1Jan2019):

HPi: HYPERBOLISKA PRODUKTINTEGRALENS INTEGRALER:

√x²±a dx = x(√x²±a)/2 ± (a/2)ln(x + √x²±a) ; HYPERBELNS INTEGRAL

1/√x²±a dx = ln(x + √x²±a) ; IRa ¦ (11)

x²/√x²±a dx = (1/2)[x√x²±a a ln(x + √x²±a)] ; Hyperboliska Produktintegralen

Länkar — särskilda referenser som krävs vid utveckling och lösning av integraler:

—————————————————————————————————

APPENDIX sin na

Vinkelsummateoremet

SAMBANDSKARTOR TILL TRIGONOMETRIN

Integraler, komplement:

KOMPLETTERANDE GRUNDINTEGRALER

29Dec2018

GRUNDTABLÅERNA ¦ secans integral ¦ cosecans integral ¦ IRa ¦ Hyperboliska Produktintegralen ¦

INLEDNING:

———————————————————————————————————————————

1/sin = sec; 1/cos = cosec; 1/tan = cotan ; cos/sin=tan=y/x: 1=x²+y²=sin²+cos².

sin cos tan — sec cosec cot — PREFIXxSIN — nomenklaturen genomgående i Relaterad Matematik; rakt, enkelt.

——————————————————————————————————————————————

cos sin tan — cosec sec cot — PREFIXxCOS — nomenklaturen i modern akademi; krånglig, omständlig.

1/cos = sec; 1/sin = cosec; 1/tan = cotan — »taskig koordinering».

———————————————————————————————————————————

ENDA SKILLNAD: etiketterna sin ¦ cos byter plats. Inget annat: »Håll Eggen Skarp, Alltid (KangFuMath)».

MÄNGDEN GRUNDSAMBAND:

— Det är helt uteslutet för den som vill lösa integraler framgångsrikt att INTE ha hela biblioteket med referenser och grundsamband framför sig — antingen uppradade per skrifter på ett separat — långt — bord. Eller genom övning och färdighet per direkt ihågkomst. Referensmaterialet ÄR omfattande. Det finns inga genvägar.

Vi måste — i vilket fall — erinra grundsambanden så att vi, säkert, kan återföra hela lösningsprocessen, detaljerat, på grundformerna. Och det arbetet är väldigt — mycket — stimulerande OCH arbetskrävande. OCH (mycket) rent intellektuellt energiGIVANDE. Absolut.

För trigonometrins del som nedan — grundtablå, grundkonversioner, arcuskonversioner —

Grundtablån — grundkonversionerna — arcuskonversionerna ¦ PREFIX xSIN ¦ TrigBasic ¦ Sambandstablåerna:

med grundsambanden från VINKELSUMMATEOREMET ¦ Sin nA ¦ BastablånFormLagarna ¦;

VST: Vinkelsummateoremet ¦ Sin nA :

sVST: VST SÄRSKILDA TRIGONOMETRISKA RELATIONER från ovanstående — delvis upprepningar för sammanhanget

— se särskilt sammanställd mera utförlig ekvationskarta i SekVST;

1. cos2A = 2cosAsinA ¦ VST13

2. cos2A = √ (1 – sin4A)/2

3. cos(A+90)/2 = √ (1 – cosA)/2

4. sin2A = 2/(1 + [tanA]²) – 1 ¦ VST2

5. sin2A = 1 – 2(cosA)²

6. sin2A = 2(sinA)² – 1

7. sin2A = √ (1 + sin4A)/2

8. tan2A = √ 2/(1 + sin4A) – 1

Kännedomen här grundas på härledningarna till alla samband från GRUNDMATEMATIKEN, med den vidare derivata, differential och integralkalkylens detaljer. NOLLFORMSALGEBRAN är grunden.

— Se vidare här från början i INTEGRALREFERENSER i Universums Historia.

Utöver de grunderna krävs också — vid mera avancerad lösning — kännedom om EKVATIONSLÄRAN (partialbråksuppdelningar särskilt).

Länkarna här i UH till de olika avsnitten ska föreställa SÄKRA repetitionsgrunder för den som har varit borta ett tag från ämnet, och vill ha en SNABB minnesrefresh (PilotTräning).

Vi försöker lägga in sådana länkar i härledningarna (här, på lämpliga ställen) för att förenkla för den läsare att hänga med som inte erövrat tungviktstiteln — än.

GENERELLT: MED ett (genuint) LÄNKAT, detaljerat, läromedel, datoriserat noggranna genomgångar, blir det så ofantligt mycket lättare för i princip vem som vill och har TID att plöja (relativt) komplicerade manualer i matematik (och fysik). Det är ett av syftena med UH: att studera, lära, och begrunda, från platsen vi står på för tillfället — med maximal direkt villkorslös åtkomst. Jorden är — och förblir — rund.

Generellt i UH används beteckningssättet Dn för Derivatan alternativt till det mera normalt etablerade enkla primet (’) efter derivatans objekt (»derivanden»), typ

Dn y = dy/dx = y’. Se f.ö. grunderna i Differentialbegreppet, om ej redan bekant.

DiffTRANS:

— Många integralproblem innefattar nödvändigheten att utföra en DIFFERENTIALTRANSFORMATION (ofta analogt med eller kombination av en s.k. konv. variabelsubstitution). Den delen KAN vara knepig för den som inte riktigt kommer ihåg grunderna. Utöver exemplen som ges här, finns ett särskilt sammanställt avsnitt DialTransEX som visar några olika praktiska UH-exempel.

KOMPLETTERANDE GRUNDINTEGRALER:

cosecans integral ¦ secans integral ¦

Secans Integral — 1/sinx dx = ln[tan (π/2 + x)/2]

SECANS 1/sin = secans (sec) INTEGRAL — PREFIXxSIN — Integralen för 1/sinx

Grundintegralerna

INTEGRAND: 1/sinx

UPPGIFT: Bestäm integralen för den angivna trigonometriska integranden

1/sinx.

GRUNDSAMBAND: sinA = cos(90–A=B) = cos(π/2 – x) = cosa = cosB;

Differentialtransformationer: a = (π/2)–x ; radianvinkeln generellt ¦ SINUSKURVAN ¦ Radianer:

Dn a dx = –dx

sina = cosx ; sin (π/2 – x) = cos x ;

sinx = cosa ;

da = Dn a dx = –dx ;

dx = –da ;

a/2 = b ;

dx = –da = –2db ;

db = –(1/2)dx ;

b = – x/2 ;

a = 2b ;

Lösning:

dx = –da = –2·d(a/2) = –2db ...................................... TÄLJAREN

–db –db sinb –db 1 d(tanb)

↓↑ = —————— = ————— = ————— , [—— = Dn tan = ———— ] ;

cosb sinb cosb sin²b tanb sin²a sin² db

sinx = cosa = 2cos(a/2)sin(a/2) = 2cosbsinb ............ NÄMNAREN = cos2b ; STS(1)

RESULTAT:

dx/sinx = –d(tanb)/tanb

1/sinx dx = –1/tanb d(tanb) = – ln tanb = – ln[tan (π/2 – x)/2] = ln 1/tan b

Tvivlar vi på resultatet genomförs en oberoende prövning;

ÅterDERIVERING Ger : LOG5 :

(x/2) – x = a ; da/dx = Dn(a) = –1 ; da = –dx

Dn –ln(tan b) = –Dn(tan b)/(tan b) ;

Dn(tan b) = d(tan b)/db = –2d(tan b)/dx = 1/sin²b ; TRIG4

d(tan b)/dx = –/2sin²b = Dn(tan –x/2) = Dn(tan b) ;

Dn(tan b)/(tan b) = –1/2(sin²b)(tanb)

= –1/[2(sin²b)(tanb = √(1/sin²b – 1))

= –1/2(sinb)√(1 – sinb²) = –1/2(sin)cos = –1/2(sinacosa) ;

Dn –ln(tan b) = – [–1/2(sinb cosb)] = 1/(2sinb cosb = cos2b [TF13, B=0]) = 1/cos2b ;

; cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2] · sin[(A–B)/2] ¦ B=0; A=2b; VST13, B=0 ;

; cos2b = 2cos[b] · sin[b] = 2sinb cosb ;

; cosb = 2cos(b/2)sin(b/2) ;

; cos2b = cosa = sinx enligt förutsättningarna, se ovan.

= 1/cos2b = 1/sinx ;

Således INTEGRANDEN ÅTER.

Svar: 1/sinx dx = – ln[tan (π/2 – x)/2] ¦ = ln[tan (π/2 + x)/2]

Cosecans Integral — 1/cosx dx = ln(tan x/2)

COSECANS 1/cos = cosecans (cosec¦csc) INTEGRAL — PREFIXxSIN — Integralen för 1/cosx

På samma sätt som i fallet med secans integral utnyttjar vi trigonometriska grundformer för att försöka åstadkomma en upplösning av integranden i grundintegrander. Utvecklingen blir här enklare då vi direkt utan mellanled kan utnyttja att

cosx = 2cos(x/2)sin(x/2) ¦ VST13 ¦ STS(1).

INTEGRAND: 1/cosx

Grundintegralerna

UPPGIFT: Bestäm integralen för den angivna trigonometriska integranden

1/cosx.

GRUNDSAMBAND: cosx = 2cos(x/2)sin(x/2) ;

Differentialtransformationer: Variabelsubstitution — enskild faktorterm ersätter mera sammansatt uttryck för enklare mellanräkningar:

Variabelsubstitutionen ges här som den mera sammansatta typen

t = tan x/2 = tana ;

1/cosx dx ; a = (x/2) ; radianvinkeln generellt ¦ SINUSKURVAN ¦ Radianer:

da = Dn a dx = (1/2) dx ;

Lösning:

dx = 2da ..................................................................... TÄLJAREN

da da sina da 1 d(tana)

↓↑ = —————— = ————— = ————— , [—— = Dn tan = ———— ] ;

cosa sina cosa sin²a tana sin²a sin² da

cosx = 2cos(x/2)sin(x/2) = 2cosa sina ....................... NÄMNAREN

Resultat:

dx/cosx = d(tana)/tana

1/cosx dx = 1/tana d(tana) = ln tana ;

Tvivlar vi på resultatet genomförs en oberoende prövning;

ÅterDERIVERING Ger : LOG5 :

(x/2) = a ; da/dx = Dn(x/2) = 1/2 ; da = dx/2

Dn ln(tan a) = Dn(tan a)/(tan a) ;

Dn(tan a) = d(tan a)/da = 2d(tan a)/dx = 1/sin²a ;

d(tan a)/dx = 1/2sin²a = Dn(tan x/2) = Dn(tan a) ;

Dn(tan a)/(tan a) = 1/2(sin2a)(tana)

= (1/2)[1/(sin²a)(tana = √(1/sin²a – 1))

= 1/(sina)√(1 – sina²) = 1/(sin)cos = 1/(sinacosa)] ;

Dn ln(tan a) = (1/2)/(sina cosa) = 1/(2sina cosa = cos2a ¦ VST13]) = 1/cosx

Således INTEGRANDEN ÅTER.

Svar: 1/cosx dx = ln(tan x/2)

Integralt Rotkomplement (a) — 1/√1+x² dx = ln(x+√1+x²) ¦ 1/√x²±a dx = ln(x+√x²±a)

— Vi använder (här) omväxlande beteckningssätten ”Dn” och ” ’ ” för ”derivatan (till)” typ Dn x = x’:

HYPERBELINVERSENS INTEGRAL — PREFIXxSIN — Integralen för 1/√1+x²:

DEN YTTERST ENKLA LÖSNINGEN genom substitution och bekantskapen med Formlagarna — R = √1+x²:

; 1/R = (R+x)/R(R+x) = [1/(R+x)](R+x)/R = [1/(R+x)](1+x/R) ;

; 1+x/R = Dn(x+R) = Dnx + DnR = x’ + R’ ¦ EXP4 ¦ EXP7 ;

; 1/R = (x+R)’/(R+x) = Dn ln(x+R) ¦ LOG5 .................................. ;

; 1/R dx = ln(x+R)

DEN YTTERST KOMPLICERADE LÖSNINGEN:

I grundintegralerna

ser vi att typen 1/√(1+x²) inte alls har någon representation. Uttrycket ARCUSBEGREPPET finns emellertid i Arcuskonversionerna ¦ Trigonometrins tangensformer som

1/√(1+x²) = sin atan x. Det ger en möjligt ansats:

INTEGRAND: 1/√(1+x²)

Grundintegralerna

UPPGIFT: Bestäm integralen för den angivna trigonometriskt associerade integranden

1/√(1+x²).

GRUNDSAMBAND: 1/√(1+x²) = sin atan x ;

Differentialtransformationer: Variabelsubstitution — enskild faktorterm ersätter mera sammansatt uttryck för enklare mellanräkningar:

Vi söker en passande omformning:

tan x = t ;

x = atan t ;

sin x = sin atan t ;

= 1/√(1+ t²) ;

Integration på dt kräver en reguljär differentialtransformation. Vi får

dt = d(tan x) = Dn tan x dx = (sin x)^–2 dx ; sammanställning ger ;

sin atan t dt = sin x dt

= sin x (sin x)^–2 dx ;

= (sin x)–1 dx

= 1/√(1+ t²) dt ;

dx/sinx = dt/√(1+ t²) ;

MELLANRESULTAT:

Med återställningen t = tan x har fått två likvärdiga integraler

dx/sinx = dt/√(1+x²) :

Lösningen till integralen ò1/Ö(1+ t²) dt återfaller på en lösning till integralen ò (sin x)^–1 dx med t = tan x.

Vi återkommer till den delen senare.

— Härledningen till integralen för 1/(R=√(1+x²)) blir fortsättningsvis:

SÄRSKILDA TRIGONOMETRISKA SAMBANDET STS(8) inom trigonometrin, ekvivalenterna

tan(a/2) = √ (2/[1 + sina]) – 1) hjälper oss vidare:

[tan(a/2)]² = 2/(1 + sina) – 1 ;

• Vi utnyttjar differentialtransformationen från secans integral

a = (π/2)–x ;

b = – x/2 ;

a/2 = b = (π/2 – x)/2 ;

• Konvertering från a till x genom a = π/2 – x ¦ A° = 90° – B° ¦ x = π/2 – a :

2/(1+sina) – 1 = (2 – [1 + sina])/(1 + sina) = (1–sina)/(1 + sina) ;

; sin a = cos x ; sinA = cos(90-B); 1 = sin² + cos² = x²+y²:

= (1–cosx)/(1+cosx) = (1–cosx)[1+cosx]/[1+cosx](1+cosx) = [1 – (cosx)²]/[(1 + cosx)²] → Konjugatlagen;

= (sinx)²/(1+ cosx)² = [tan(a/2)]² ;

tan(a/2) = (sinx)/(1+ cosx) ;

Grundkonversionerna 1/sin = √ 1+ tan² ;

Förenkling — vi utnyttjar grundsambanden från trigonometrin i slutleden: cos/sin=tan=y/x:

1/tan(a/2) = (1+ cosx)/(sinx) = secx + tanx = tanx + √ 1+ (tanx)² ;

Resultat:

1/tan(a/2) = tanx + √ 1 + tan²x ;

ln 1/tan(a/2) = ln(tanx + √ 1 + tan²x)

= –ln tan(a/2) ; Logaritmlagarna (9.1) : ln(A)=–ln(1/A); ln(1/A)=–ln(A);

–ln tan(a/2) = –ln tan b = –ln[tan (π/2 – x)/2]

Enligt secans integral föregående resultat hade vi

–ln tan b = 1/sinx dx

Insättning av ekvivalenten till –ln tanb i ovanstående led ger oss alltså

1/sinx dx = – ln tan b = ln(tanx + √ 1 + tan²x)

Med tan x=t hade vi RIaMR från början de likvärdiga integralerna

1/sinx dx = 1/√ 1+ t² dt

Insättning av ovanstående ekvivalent ger oss

1/sinx dx = ln (tanx + √ 1 + tan²x)

= ln (t + √1+ t²) = 1/√1+ t² dt ;

1/√1+ t² dt = ln (t + √1+ t²)

De bägge sista leden har så visat svaret:

— Vi kan direkt ersätta t med x i leden ovan vilket ger oss

1/R dx = ln (x+R); R = √1 + x² ;

1/√1+x² dx = ln (x+√1+x²)

Tvivlar vi på resultatet genomförs en oberoende prövning;

ÅterDERIVERING Ger : LOG5 :

Dn ln(x+R) = (1+xR–1)/(x+R) = R–1(x+R)/(x+R) = R–1

Således INTEGRANDEN ÅTER.

Svar: 1/√1+x² dx = ln(x+√1+x²)

BONUS:

Återderiveringen via R = √1+x² visar oss att koefficienten (1) är egal: rotinnehållet 1+x² eller ±a+x² går på ett ut;

Svar: 1/√x²±a+ dx = ln(x+√x²±a)

Se även det betydligt enklare integrala utvecklingssättet för integranden ovan i ROTUPPDELNING—Exempel1:

— Den enkla kraftfulla PEFECD-METODEN som finns — men inte existerar (!) — i modern akademi.

Hyperboliska Produktintegralen — x²/R dx = (1/2)[xR a ln(x + R)] ; R = √x²±a

PARTIELLA INTEGRATIONENS KRAFTFULLA METOD — Hyperbelns integral från biprodukter genom Partiell Integration Metod 2:

Utvecklingsexempel som — i jämförelse med samma resultat via andra, mera omständliga metoder, länkar ges nedan — visar kraftfullheten i

PARTIELL INTEGRATION Metod 2:

INTEGRAND: x²/√x²±a

Grundintegralerna

UPPGIFT: Bestäm via Metod 2 Partiell Integration integralen för den sammansatta integranden

x²/√x²±a.

GRUNDSAMBAND: AdB = AB – BdA ; PARTINT Metod 2: Vi använder EXP7 ¦ LOG5:

Lösning:

B = R = √x²±a = (x²±a)^1/2 ; R = (P)^1/2 · P/P = (P)^–1/2 · P = (x²±a)/√x²±a = x²/√x²±a ± a/√x²±a = x²/R ± a/R ;

Dn R = d(R=B)/dx = Dn (P)^1/2 = (1/2)(P)^{1/2–1=–1/2} · [(P)’ = 2x] = (1/2)(x²±a)^–1/22x = x/R ; EXP7

dB = x/R dx ............................................................................................................ ;

A = x ;

x²/R dx = xR – Rdx ..................................................................................................... ; (1)

= xR – (x²/R ± a/R)dx

= xR – x²/R dx a1/R dx ;

2 x²/R dx = xR a1/R dx

; 1/R = (R+x)/R(R+x) = [1/(R+x)](R+x)/R = [1/(R+x)](1+x/R) ;

; (1+x/R) = Dn(x+R) = Dnx + DnR = x’ + R’ ;

; 1/R = (x+R)’/(R+x) = Dn ln(x+R) ¦ LOG5 .................................. ; (2)

; 1/R dx = ln(x+R) ¦ Jämför metodiska lösningen i IRa: 1/R dx = ln(x+R)

= xR a ln(x+R) ;

Resultat:

x²/√x²±a dx = (1/2)[x√x²±a a ln(x + √x²±a)] = x²/R dx = (1/2)[xR a ln(x + R)] ; R = √x²±a.

BONUS (1) — Hyperbelns integral (automatiskt generaliserad):

Rdx = xR – x²/R dx

= xR – [xR/2 (a/2)ln(x + R)] = xR – xR/2 ± (a/2)ln(x + R)

= xR/2 ± (a/2)ln(x + R) ;

BONUS (2) — Integrala Rotkomplementet a IRa på mycket enklare sätt:

1/R dx = ln(x+R) ; R = √x²±a

Tvivlar vi på resultatet genomförs en oberoende prövning;

ÅTERDERIVERINGEN av (1/2)[x√x²±a a ln(x + √x²±a)] Ger ;

Dn x√x²±a = x[ (1/2)[1/(√x²±a)](2x) ] + [√x²±a]

= x²/R + R ;

Dn a·ln(x+√x²±a) = a[ Dn(x+R)/(x+R) ]

= a[ (1+[x/R] )/(x+R) ]

= a[ 1/R ] ;

summering: = (1/2)[x²/R + R a/R]

= (1/2)[x²/R + R²/R (–+) a/R]

= (1/2)[x²/R + [R² (–+) a]/R]

= (1/2)[x²/R + [x²±a (–+) a]/R]

= (1/2)[x²/R + [x²]/R]

= (1/2)[2x²/R]

= x²/R

Således INTEGRANDEN ÅTER

Svar: x²/√x²±a dx = (1/2)[x√x²±a a ln(x + √x²±a)] ; Hyperboliska Produktintegralen

√x²±a dx = x(√x²±a)/2 ± (a/2)ln(x + √x²±a) ; HYPERBELNS INTEGRAL

1/√x²±a dx = ln(x + √x²±a) ; IRa ¦ (11)

Uppslaget till produktintegranden x²/R från PI Metod 1 från RotHyperbeln (R):

Bestäm √ x²+a dx. Förenkla med R = √ x²+a.

Lösning:

f (x) d[·] = f (x)[·] – [·]d[f (x)] ............ Partiell integration, Metod 1

f (x) ................................................................ = R = √ x²+a

[·] .................................................................. = x

R dx = xR – x dR

Differentialtransformation, högerintegralen:

dR = Dn R dx = x/R dx ; insättning ger

R dx = xR – x²/R dx .............................. ; → x²/R :

— Se vidare i Hyperboliska Produktintegralen — hela lösningen visar sig genom PARTINT Metod 2.

Si1: Sammanställt 2Jan2019

S1 ¦ S2 ¦ S3 ¦ S4 ¦ S5

Första Systemintegralen Si1 ELLER »matematikens grundläggande maskinlära» enligt

INTEGRALERNAS ARITMETIK — x^c(Ax^a + Bx^b)ⁿ dx

1997IX27 · 2001III — Binomialteoremets BT Integralaritmetik — numerisk och algebraisk djupanalys till matematikens praktiska användbarhet.

De raka enkla integranderna av formen x^c(Ax^a + Bx^b)ⁿ har — här veterligt 2018+ — ingen direkt konventionell representation. Wikipedia (Jan2019, Lists of integrals) har en enda närmaste representant ”Absolute value-functions” av formen ”(ax+b)ⁿ”. Det är allt.

Det finns (säkert, kanske) mera kött på benen i andra delar, typ

MATHEMATICAL HANDBOOK FOR SCIENTISTS AND EGINEERS Appendix E Integral Tables p925-,

McGraw-Hill Second Edition 1968 — sektioner E-1 till E-9 (Summor och serier från E-4).

Men inget är här känt om dessa ev. förekomster (Biblioteken har för länge sedan magasinerat de klassiska »tegelstensböckerna» från 1900-talets typografiska guldålder — om de alls finns kvar).

Första systemintegralen är — emellertid — relativt lätt att härleda med hjälp av Binomialteoremet. Se Si1-Härledningen.

— Enda skillnaden i att x^c finns med/utesluts är högerledets respektive an+c+1 eller an+1:

SummaINDEXERINGEN har innebörden FRÅN undre m=0 TILL övre n — i rak form: m=0→n.

— Med n<1 ges oändliga serier. Se tillämpade exempel nedan..

Webbläsarna klarar inte naturvetenskapen:

TILL EXEMPLEN

KOLLA SVÅRIGHETERNA ATT PRESENTERA ÄMNET @INTERNET : Bildoriginalet från MsWorks 4.0 importerat till htm-dokumentet i WORD 2000:

MOTSVARANDE I WEBBLÄSAREN — IE9 — fram till 2015 — Även GoogleCHROME 2015+ bortsett från Chromes suddiga text:

KORRIGERINGEN SOM MÅSTE GÖRAS i WORD-htm-dokumentet för korrekt läsbarhet — författarens trevliga dokumentvy:

MOTSVARANDE SLUTLIGT UTSEENDE I WEBBLÄSAREN (i varje fall t.o.m. Dec2018):

Jämför aktuell webbläsare, htm-originalet här:

= Aⁿ([(x^an+c+¹)/(an+c+1)] + m=0→nΣ [[(B/A)(n–m)]_m_!x^{(b–a)(m+1)+an+c+1}]/[[(b–a)(m+1) + an + c + 1] (m+1)!])

EN HEL DEL AV ORIGINALARBETENA i MsWorks 4.0 har på detta sätt mer eller mindre spolierats av Internetvärldens olika tydligt IMPERIALISTISKT FÖRETRÄDDA KöpListaLäsare (klarar — knappt — 0123456789): Matematiken GRATIS är urdåligt representerad: klumpig, rent ut sagt FUL. Det FINNS enkla typsnitt — Times New Roman + Symbol. Men webbläsare i allmänhet är inte utformade för att ta med fingraderna utan skalar bort det mesta i nivåpresentationer och storlekar — för att mera prioritera det verkliga glädjeämnet: allmänna globala slaveriets utbredning: mera vinst, mera makt. SAMT att en del webbläsare (FIREFOX särskilt) INTE läser Symbol, alls — vad exakt Firefox läser är här inte känt (De bevisligt överlägset rent kulturellt utbildade programmakarna funderar på att utesluta Times New Roman också, eller?). Det är i vilket fall — så bevisat — INTE en webbläsare anpassad och utformad för naturvetenskapliga presentationer som kan produceras av vem som helst med internetabonnemang.

— För att undvika GLIDNINGAR, TABBFÖRSKJUTNINGAR och andra olika olägenheter som en del webbläsare envisas med i deras glada köptävlingar med att — SÅ — förstöra så mycket som möjligt av kunskapsinnehållet, har här bildkopior lagts in från originalen (de flesta perioden 1994-2006: Windows 3.1, Windows 95, Windows XP) — ev. tillsammans med raka kopierbara textversioner där så är påkallat.

Exemplen:

S1 ¦ S2 ¦ S3 ¦ S4 ¦ S5 ¦ Se även sammanställning i kalkylprogram

FÖRSTA SYSTEMINTEGRALEN i Tillämpade EXEMPEL

— kraftfulla verktyg i matematikanalysen:

• ALLA INTEGRALA LÖSNINGAR HÄR BLIR DIREKT BESTÄMDA EFTERSOM SERIELEDET ÄR FAKTORISERAT x-BEROENDE: integralen=noll om x=0.

• Fallen an+c+1=0 och (b–a)(m+1)=0 ger division med 0 — systemintegralen är inte (direkt) tillämplig för dessa fall.

• Systemintegralen kan INTE ge formen för ln x direkt eftersom den integralen är obestämd — däremot är integranden 1/(1+x) OK. Se exempel.

• x-värden större än 1 får seriesumman att växa över alla gränser. Se följande exempel.

• n-värden mindre än 1 garanterar oändliga seriesummor.

I modern akademi — BinomialTeoremets strukturkomponent stryks [‡] — kan systemintegralen inte utvecklas. Sättet man skriver BT på komprimerat i den moderna akademins lärosystem utelämnar — stryker, korrumperar, punkterar — kärnan: den fristående avgörande separata strukturkomponenten (m+1)!. Formen kan inte användas — utom SÅ för formerad-dikterad statistik och kombinatorik. Jämför:

relaterad matematik — EULERS EKVIVALENTER — NOLLFORMSALGEBRAN:

(a+b)ⁿ = aⁿ[1 + m=0→nΣ [(b/a)(n–m)]_m_!/(m+1)!] ; a¦b¦n ; (1+1/∞)^∞ = 1 + m=0→∞Σ [(1/∞)(∞)]_m_!/(m+1)! = 1 + m=0→∞Σ [1]_m_!/(m+1)!

= 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ... + 1/m! = e = 2,718 ...

modern akademi — MATEMATIKLEXIKON W&W 1991 s45-47 — Ordet BINOMIALTEOREM ingår f. ö. inte alls i källans boktext:

(a+b)ⁿ = aⁿ[1 + m=0→nΣ (b/a)^mn!)/[(n–m)m!]] ; a¦b¦n ; (1+1/∞)^∞ = 1 + m=0→∞Σ (1/∞)^m∞!)/[(∞–m=∞)m!] = 1 + m=0→∞Σ 1/∞

= 1 + 1/∞ + 1/∞ + 1/∞ + 1/∞ + 1/∞ + ... +1/∞ = 1+ 0 = 1:

Punkter — dx = x/∞ = x · 1/∞ = A/∞ ≠ Δx = x/(n→∞) — kan inte adderas; det existerar inga oändliga mängder: MÄSTARLOGIKENS HUVUDSATS i relaterad matematik och fysik. Existerar inte i den moderna akademins lärosystem. I princip: grundligt bannlyst. Se även i ALLA TAL.

RESULTATBILD — MED BEVIS:

— Den moderna akademins matematiska idé STÄNGER VÄGEN FÖR människans fulla och fria INTELLEKTUELLA UTVECKLING [‡].

Det är en bevisbart trångsynt, inskränkt, träaktig, smalspårig, enögd, enbent existensföreteelse vars främsta bevisliga landvinning är omfattande naturmord.

— Kommunikationerna 1800+ ställdes in. Den korresponderande gemenskapen avlivades. Mänskligheten inträdde i den mänskliga kulturhistoriens allra mörkaste period. Jämför det moderna sättet att härleda e i Citat. Se även vidare i HÄRLEDNINGEN TILL FÖRSTA SYSTEMINTEGRALEN.

Vad gör Modern Akademi för fel i BT-ledet? Uttryckssättet med typen ”n över k” beskrivs f.ö. i bokkällan ovan på s45 (”binomialkoefficienter”);

binomialteoremets ekvivalenta strukturform:

(b/a)^m⁺¹(n–m)!/(m+1)!; Exponent-Koefficientformen T/N = (n–m)!/(m+1)!;

BinomExponenten n insatt i nämnarledet eliminerar naturliga strukturkriteriet: naturprocessernas e-logaritmiska differentialekvationer. Se Den Högre Analysen.

— SVAR: [‡] ”Att övervinna sin mänskliga begränsning och bli herre över universum”, ”Transire suum pectus mundoque potiri”: Fascistattityd. Relaterat.

Det är inte formalian som sådan; Matematiken är aldrig fel. Problemet gäller ATTITYDEN bakom: Den moderna akademins lärosystem 1800+:

Det är inget FEL i att formulera algebra och aritmetik som en typ ”Manipulerad Matematik” — om man klart och tydligt ANGER ATT SÅ ÄR FALLET. Att däremot upphöja tilltaget såsom kriterium på Speciellt Glänsande mänsklig Intelligens är något helt annat — och att också påtvinga studenter, mänskligheten, och elever att MERITERA I BETYG på sådant bevisligt fascistinspirerat kulturellt kloakutflöde: hävden i manipulerande överhet. Kulturmord: naturvandalisering.

Hur så? Den uppenbara, här direkt bevisliga, avsaknaden av inblick i naturläran i den moderna akademins lärosystem, med motsvarande kaxhävder.

— STRUKTURKOMPONENTEN — den fundamentala naturliga icke-manipulerade strukturella ordningen — i BT-ledet är ENTYDIGT RESERVERAD FÖR NUMERISKA KOEFFICIENTER i nämnaren (m+1) — inte täljardelar exponentiella (n). Införs täljarfaktorer (n) i nämnardelen, spolieras grundordningen.

— Varfördå?

— Därför — relaterad matematik och fysik TNED, Eulers Ekvivalenter — att BT-ledet innefattar naturliga logaritmens — talet e:s — fundamentala struktur såsom grundläggande fundamental för alla fysikaliska naturliga processer — naturliga strukturer — genom ett TIDSBEROENDE (t):

— dF/dt leder till e-logaritmiska DIFFERENTIALEKVATIONER — varianter och universaler BT-ledets grundval — som beskriver hela floran av alla möjliga naturprocesser. Och därmed deras STRUKTUR — efter den enda (förbannade) härledbara matematiska grundordning som alls existerar i universum:

BT-ledet, Eulers Ekvivalenter.

— Genom att en exponentfaktor (n) införs i nämnarledet, spolieras den naturligt strukturella ordningen. Och e framträder inte längre: naturstrukturen är raderad. Det S5 är beviset.

Resultatbild:

NATURSTRUKTURERNA PREMIERAR INTE modern akademi: lärosystemet som utesluter naturstrukturerna för att hävda egen natursuveränitet på statistikens bevisligt manipulerande grunder. Naturen premierar Inte Kalhyggen: människans och djurens utveckling genom en Naturskog — icke modernAkademiskt Manipulerad Existensgrund — bevisar Det: Modern Akademisk Intelligens främjar NaturTeknikFientlig Marknad&Produktion — inte naturharmoni. Naturen premierar Inte Uppfunna Akademiska Strukturbegrepp såsom intelligensens mest högtstående. Säg igen. Lägg fram bevisen.

Naturordningen är Rättslära. Matematikgrunderna. UDHR10Dec1948. Rätten att få utvecklas som människa. Inte någon (förbannad) skyldighet att påtvingas utveckling som privat världsakademisk nationell ägodel: STATSFÖRVALTNINGENS FÖRBANNADE SKYLDIGHET ATT FRÄMJA PERSONLIGHETSUTVECKLINGEN men som åsidosätts för andra intressen: